XX高二数学函数的概念范文整理

1、XX高二数学函数的概念 一.知识网络 二.高考考点 映射中的象与原象的概念; 分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题; 复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题; 分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用. 三.知识要点 函数的定义 传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量. 现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f和它对应,那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f,

2、xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合f|xA叫做函数的值域. 认知: 今后若求,因此,是非空数集B、A注意到现代定义中 得函数定义域或值域为,则此函数不存在. 函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定. 映射的概念 将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念. 定义1:设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应叫做集合

3、A到集合B的映射,记作f：AB 定义2:给定一个集合A到集合B的映射f：AB,且aA,bB,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：ab,则b叫做a的象,a叫做b的原象. 认知: 映射定义的精髓在于任一对应唯一,即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可一对多,允许多对一.因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为满射和非满射两类. 集合A到集合B的映射f：AB是一个整体,具有方向. 一般情况下是不同的映射AB：f与BA：f性； 函数的表示法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图

4、象法和口头描述法. 解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数. 图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法. 图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系. 认知:函数符号的意义 在函数的概念中,我们用符号祜昽表示y是x的函数这句话. 其中,对于运用解析法给出的函数y=f,其对应法则晜表示解析式蕴含的对自变量x施加的一套运算的法则,即一套运算的框架. 具体地,对于函数f=5-2x+3

5、 对应法则晜表示这样一套运算的框架:523， 即f:5-2+3,>1. 据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析: f:对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有 f=5-2a+3; f:对自变量x实施上述运算后的结果,故有f=5-2x+3; f):对函数g实施上述运算后的结果,于是有 f)=5-2g+3>1) 感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味、,不难从中悟出这样的代换规律: f的解析式fg的表达式 我们将上述替换形象地称之为同位替换. 显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于等量替换，又高

6、于等量替换，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是等量替换所不能比拟的.由f的解析式导出f的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例. 四.经典例题 例1.如右图,在直角梯形oABc中,ABoc,Bcoc,且AB=1,oc=Bc=2,直线l:x=,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f的大致图象是以下图形中 分析1:立足于f在t0,1上的函数式.直线oA的方程为y=2x, 故当0t1时, ，,由此否定A,B,D,应c. 选 分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态. 当l在,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越

7、来越快,即S1,S2.,Sn是递增的,故排除A和B,对于c和D,由t0,1时f=的凹凸性可排除D,故应选c. 例2.如图所示,梯形oABc各顶点的坐标分别为o,A, B,c,一条与y轴平行的直线从点o开始作平行移动,到点A为止.设直线与x轴的交点为,o=x,并记梯形被直线截得的在左侧的图形面积为y,求函数y=f的解析式,定义域及值域. 分析:如图,由于点位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定左侧图形形状的关键点,故以x=2,4分划讨论的区间. 解: 当0x2时,上述图形是一等腰Rt,此时,即; 当2 当4 因此,综合、得所求y=f的解析式为 由此可知,f的定义域为0,

8、2=0,6. 又当0x2时,即此时0y2; 当2 当4 点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况. 例3.已知f=x2+2x-1,求f的解析式; 已知,求f的解析式. 解:f=x2+2x-1 以2x+1替代上式中的x得f=2+2-1 f=4x2+8x+2 由已知得 以x替代上式中的得 f=x2-1 f=2-1 即f=x2+2x 点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是换元法,还是上面实施的同位替换,它们都包括两个方面的替换: 解析式中的替换; 取值范围中的替换. 根据函数三要素的要求,这

9、两个方面的替换缺一不可. 例4.设y=f的定义域为-1,1,f=x2,试求不等式f 分析:为将不等式f 解:由题设知,在y=f中有-1x1-12x+13, 运用同位替换的思想 在f中应有-1x-13 又由题设知f=2+2+1 由、得f=2+2+1 f=2+2+1 即f=x2-4x+4 f 于是有 因此,所求不等式f 点评:在这里,三个不同函数f,f,f均以x为自变量,x是一仆三主.因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意两方替换,双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例. 例5.设A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f：AB 若映射f满足f>ff,则映射f的个数为 ; 若映射f

10、满足f+f+f=0,则映射f的个数为 ; 若映射f满足f-f=f,则映射f的个数为 设A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,从A到B的映射f满足fffff,则映射f的个数为 分析:注意到f的意义:在映射f：AB之下A中元素a的象,故有f,f,fB.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法. 解:由已知得f,f,fB 列表法：f>ff f只能取0或1,f只能取-1或0. 根据映射的定义,以f取值从大到小的次序列表考察: f f f 0 0 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 由此可知符合条件的映射是4个. 列表法:注意到f+f+f=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两

11、种:0+0+0;1+0,以a的象f的取值为主线列表考察 f f f 0 0 0 0 -1 0 -1 0 -1 -1 0 -1 0 -1 0 由此可知符合条件的映射有7个. 分类讨论：f-f=ff=f+f即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线展开讨论. 当象集合为单元素集合时,只有象集0满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个. 当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为-1,0或1,0-1,0:-1=0+,-1=+0;1,0:1=0+1,1=1+0 此时符合条件的映射有4个. 当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为-1,0,1-1,0,1:0=1+,0=+1此时符合条

12、件的映射f有2个 于是综合、得符合条件的映射f的个数为7. 分类讨论:以象集合中元素的个数为主线展开讨论. 当象集合为单元素集时,象集为6或7或8,故此时满足条件的映射f有3个; 当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有×3=12个; 当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有×1=6个。于是综合、得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21. 点评:在认知f的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法

13、,请同学们在今后的解题中注意应用. 例6.已知函数f对任意实数x,y满足f=f+f+xy+1,且f=-2. 求f的值; 试求满足f=t的整数t的个数,并说明理由. 分析:这是未给出具体的函数解析式,只给出一个函数恒等式.注意到这一恒等式的一般性,循着一般与特殊之间的辩证关系,想到从特殊入手去破解一般,以寻出目标. 解:为了出现f,在上述恒等式中令x=1,y=-1得f=f+f f=-1 得x=0,y=0又令 令x=-1,y=-1得 f=2f+2 f=-2, f=-2 将、代入得f=1. 为利用f=1,在上述恒等式中令x=1得f=f+y+2f-f=y+2 当tZ时,有f-f=t+2 根据,运用阶差

14、法得 f=f+f-f+.+f-ff=1+.+2=1+2+ 即f= f=tt2+t-2=0=0t=1或t=-2 于是可知,满足f=t的整数t只有两个:t=-2,t=1. 点评:函数f当x取正整数时的问题，即为数列问题.所以,这里运用了数列求和的思想或方法.看透问题,把握本质,解题时方能联想顺畅,入手准确.这是我们始终所追求的境界. 五.高考真题 选择题 在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0 A.0 B.1 c.2 D.3 分析:运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2I,且x1 已知,则f的解析式可取为 A. B. c. D. 分析:运用直接法

15、 令=t，则x=,f=f= 应选c 说明:注意到对于,有=1+-1,对于f应有x-1.若选项中的函数附加定义域,则从定义域入手筛选为上乘解法. 设函数f=,若f=f,f=-2,则关于x的方程f=x的解的个数为. A.1 B.2 c.3 D.4 分析:从确定f的解析式入手.由f=f,f=-2得 方程f=x或 或x=2或x=2, 故本题应选c 的取值范围为x的自变量1f则使得f=,设函数 A.0,10 B.0,1 c.1,10 D.-2,01,10 分析:注意到解决分段函数的基本策略:分段研究,综合结论. f1或 x-2或0x10,故应选A 运用特取法:取,则,由此否定c,D;取x=2,得,由此否

16、定B,故本题应选A 填空题 已知a,b为常数,若f=x2+4x+3,f=x2+10x+24,则5a-b= 分析:由f=x2+4x+3得 f=24+3=a2x2+x+b2+4b+3, 由已知条件得a2x2+x+b2+4b+3=x2+10x+24 故有 5a-b=2 对于函数定义域中任意的x1,x2,有如下结论: f=f?f f=f+f ; . 当f=lgx时,上述结论中正确结论的序号是 分析:根据对数的运算法则知正确,不正确; 借助 f=lgx的图象,考察的几何意义;经过点),)的直线的斜率,可知正确;注意到f=lgx的图象上凸,可知正确.故本题应填、. 已知,则不等式x+?f5的解集是 分析:

17、注意到原不等式中晜之下的式子为,为利用已知条件化抽象为具体,故从x+2的符号或取值入手进行讨论和等价转化. 原不等式或或xg时,求函数的最小值. 分析:对于,注意到、b含在f的解析式中,故从探求A、B点坐标切入,利用=建立方程或方程组;对于,则要注意立足于不等式f>g的解集，探求所给函数的最小值. 解:由已知得A,B,从而=、又=,故得所求=1,b=2. f>gx+2>x2-x-6x2-2x-81,解关x的不等式. 分析:对于,从已知方程的实根入手推理.对于,则要注意求解分式不等式的基本过程:移项-通分-分解因式-转化-求解.这是解决这类问题的规范性、完整性以及完解完胜的基础

18、与保障. 解: f-x+12=0-x+12=0 将x1=3,x2=4代入方程得解得f= 原不等式f-0 当12; 当=2时,由得2>012; 当>2时,由得1. 于是可知,当1 . 原不等式的解集为,时>2当 点评:本题突出考察分类讨论与数形结合的思想.在解高次不等式时,若采用根轴法，则可使解答更为快捷准确,请同学们一试. 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f,y=g,规定:函数 若函数f=,g=x2,写出函数h的解析式; 求问题中函数h的值域; 若g=f,其中是常数,且,请设计一个定义域为R的函数y=f及一个的值,使得h=cos4x,并予以证明. 分析:对于,注意到h为分段

19、函数,探求函数解析式要立足于分段探求,综合结论的基本策略.对于,这里g=f,又注意到在大前提中h的表达式以及此时f,g的定义域均为R,可得h=ff,又h=cos4x,于是可由ff=cos4x入手展开联想与探求,这里的探求自然是从cos4x的一分为二的变形入手. 解: 这里Df= Dg=R 当xDf且xDg,即x时，; 当xDf且xDg,即x=1时,h=g=1; 又xDf且xDg的x不存在,故得 当x1时,=+2 若x>1,则x-1>0,h4,当且仅当x=2时等号成立; 若x3时,关于x的方程f=f有三个实数解. 分析:由于二次函数与反比例函数的形式确定,故运用待定系数法探求f1与f2;对于,当对方程f=f直接求解感到 困难时,要想到运用数形结合思想,适时转化为两个函数图象的交点问题. 解: 由题意设f