概率论 第3节 古典概型

1、一、古典概型一、古典概型二、典型例题二、典型例题三、几何概率三、几何概率四、小结四、小结第三节第三节 古典概型古典概型. . )2(; )1(古古典典概概型型验验称称为为等等可可能能概概型型或或具具有有以以上上两两个个特特点点的的试试生生的的可可能能性性相相同同试试验验中中每每个个基基本本事事件件发发有有限限个个元元素素试试验验的的样样本本空空间间只只包包含含1. 定义定义一、古典概型一、古典概型 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成， A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件，且包含且包含 m 个样本点个样本点，则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记

2、为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式.)(样本点总数样本点总数所包含样本点的个数所包含样本点的个数AnmAP 称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义. 二、典型例题二、典型例题例例1 1 从标号为从标号为1,21,2，1010的的1010个同样大小的个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：球中任取一个，求下列事件的概率：A A：“抽到抽到2 2号号”B B：“抽中奇数号抽中奇数号”C C：“抽中的号数不小于抽中的号数不小于7 7”解：解：P(A)=1/10P(A)=1/10 P(B)=5/10 P(B)=5/10 P(C)=4/10 P(C)=4/10例例

3、2 从从6双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，求：其中恰只，求：其中恰有一双配对的概率；至少有两只鞋子配成一双有一双配对的概率；至少有两只鞋子配成一双的概率。的概率。解：解： 分析：先从分析：先从6双中取出一双，两只全取；双中取出一双，两只全取；再从剩下的再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一只，则双中任取两双，每双中取到一只，则中所含样本点数为中所含样本点数为1212252216CCCCC所以所求概率所以所求概率P4121212252216/CCCCCC 3316 设B表示至少有两只鞋子配成一双，则：1)(1)(BPBP4121212121 .2. 46/CCCCCC3317还能写出别

4、的表达式吗？还能写出别的表达式吗？例例3 （分房问题）有（分房问题）有n个人，每个人都以同样的概个人，每个人都以同样的概率被分配在率被分配在N（n N）间房中的每一间中，试求下）间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：列各事件的概率： (1) A =“某指定某指定n间房中各有一人间房中各有一人”； (2) B =“恰有恰有n间房，其中各有一人间房，其中各有一人”； (3) C =“某指定房中恰有某指定房中恰有m (m n)人人”解解：因为每个人都可以分配到因为每个人都可以分配到N间房中任一间，间房中任一间，所以所以n个人分配房间的方式共有个人分配房间的方式共有Nn种，即样本空种，即样本空间中所

5、有样本点的个数为间中所有样本点的个数为Nn (1) A =“某指定某指定n间房中各有一人间房中各有一人”，“某指定某指定n间房中各有一人间房中各有一人”的分配方法共有的分配方法共有n! 种，种，因而事件因而事件A中含有中含有n!个样本点，个样本点，于是于是nNnAP!)( (2) B =“恰有恰有n间房，其中各有一人间房，其中各有一人”这这n间房可自间房可自N间中任意选出，间中任意选出，共有种选法，共有种选法，因而事件因而事件B中含有中含有 个样本点，个样本点，于是于是nNC!nCnN nnNNnCBP!)( )!(!nNNNn (3) C =“某指定房中恰有某指定房中恰有m (m n)人人”

6、事件事件C中的中的m个人可自个人可自n个人中任意选出个人中任意选出, 共有种选法，共有种选法，其余其余n m个人可以任意分配在其余个人可以任意分配在其余N 1间房里，间房里，共有共有 个分配法，个分配法，因而事件因而事件C中有中有 个样本点，个样本点，于是于是mnCmnN )1(mnmnNC ) 1(nmnmnNNCCP ) 1()(mnmmnNNNC 1)1(例例4 4 有六本不同的书，任意分给甲，乙，丙三人，有六本不同的书，任意分给甲，乙，丙三人，如果每人可得如果每人可得0 0本，本，1 1本，本，2 2本，本， ，6 6本不限，求本不限，求下列各事件的概率。下列各事件的概率。（1 1）甲

7、得）甲得3 3本，乙得本，乙得2 2本，丙得本，丙得1 1本本（2 2）一人得）一人得3 3本，一人得本，一人得2 2本，一人得本，一人得1 1本本（3 3）每人各得）每人各得2 2本本解：（解：（1） （2） （3） （分子需要乘以（分子需要乘以3！吗？）！吗？）61123363/CCCP 61123363/! 3CCCP 62224263/CCCP 例例5 从数字从数字1,2,9中有放回地取出中有放回地取出n个数字，求取个数字，求取出这些数字的乘积能被出这些数字的乘积能被10整除的概率整除的概率?解：设解：设 n 次抽取中取到可被次抽取中取到可被2整除的数的事件为整除的数的事件为A ,取到

8、可被取到可被5整除的数的事件为整除的数的事件为 B ,则取出的数的则取出的数的乘积乘积能被能被10整除的事件为整除的事件为AB ,所以有所以有)(1)(1)(BAPABPABP)()()(1BAPBPAPnnn9498951例例6 若若n个人站成一行，其中有个人站成一行，其中有A，B两人，问两人，问（1）夹在）夹在A，B之间恰有之间恰有r个人的概率是多少？个人的概率是多少？（2）如果）如果n个人围成一个圆圈，求从个人围成一个圆圈，求从A到到B顺时顺时针方向，针方向，A，B之间恰有之间恰有r个人的概率？个人的概率？!/)!2)(1(2) 1 (nnrnP!/)!1( !22nrnrCPrn或或!

9、/)!2()2(nnnP例例7 7 袋中有袋中有a a只白球，只白球，b b只红球，依次将球一只只摸出，只红球，依次将球一只只摸出，不放回。求第不放回。求第k k次摸出白球的概率？次摸出白球的概率？baababaaP)!()!1(怎么理解这个结果？怎么理解这个结果？定义定义具有以下两个特点的试验称为几何概型：具有以下两个特点的试验称为几何概型： (1) 随机试验的样本空间为某可度量的区域随机试验的样本空间为某可度量的区域 ； (2) 中任一区域出现的可能性的大小与该区中任一区域出现的可能性的大小与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关关三、几

10、何概型三、几何概型对于几何概型，若事件对于几何概型，若事件A是是 中的某一区域，且中的某一区域，且A可以度量，则事件可以度量，则事件A的概率为的概率为其中，如果其中，如果 是一维、二维或三维的区域，则是一维、二维或三维的区域，则 的几何度量分别是长度、面积和体积的几何度量分别是长度、面积和体积的几何度量的几何度量的几何度量的几何度量 AAP )(说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型就归结为几何概型. 那么那么.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为, tyx 例例10 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到

11、T 这段时间内这段时间内, 在在预定地点会面预定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时间经过时间 t( t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b( ba )的针的针,试求试求针与某一平行直线相交的概率针与某一平行直线相交的概率.ax M,直线的距离到最近的一条平行针的中点表示针投到平面上时解：以Mx.夹夹角角表表示示针针与与该该平平行行直直线线的的 .),(完全确定完全确定置可由置可由那么针落在平面上的位那么针落在平面上的位 x矩形区域矩形区域果与果与投针试验的所有可能结投针试验的所有可能结0 ,20),( axxS.中

12、的所有点一一对应中的所有点一一对应由投掷的任意性可知由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题.o中中的的点点满满足足发发生生的的充充分分必必要要条条件件为为针针与与某某一一平平行行直直线线相相交交所所关关心心的的事事件件SA ax M.0,sin20 bx的面积的面积的面积的面积SGSGAP )()()(2dsin20 ab .22abab o蒲丰投针试验的应用及意义蒲丰投针试验的应用及意义2)(abAP 那么那么的近似值代入上式的近似值代入上式作为作为即可即可则频率值则频率值的次数的次数测出针与平行直线相交测出针与平行直线相交很大时很大时当投针试验次数当投针试验次数根据频率的稳定性根据频率的稳定性,)(,APnmmn2abnm .2ambn . 的近似值的近似值利用上式可计算圆周率利用上式可计算圆周率历史上一些学者的计算结果历史上一些学者的计算结果(直线距离直线距离a=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000