考研数学D考研基础班PPT课件

1、( , )dDf x y 定积分定积分:.),(lim10iiniif 二重积分二重积分: :三重积分三重积分: :( )dbaf xx iinixf )(lim10 ( , , )d d df x y zx y z iiiniivf ),(lim10 设设 是是平平面面或或空空间间的的一一个个可可度度量量的的几几何何体体，f为为定定义义在在 上上的的函函数数, ,T对对 作作分分割割1maxd( )ii n 称称 ,in 它它把把 分分成成 个个可可度度量量的的小小几几何何体体T为为分分割割 的的细细度度, ,iiP 且且在在上上任任取取一一点点01lim( ),niiif PJ 极极限限若

2、若有有iJTP且且 的的值值与与分分割割 及及介介点点 的的取取法法无无关关, ,.fJf则则称称 在在 上上可可积积极极限限 为为 在在上上的的积积分分. .01lim( )( )dniiif PF P 记记作作：第1页/共48页 x当当 是是 轴轴上上的的时时, ,上上式式就就直直线线段段是是定定积积分分; ;01lim( )niiifx ( )d ;baf xx 当当 是是时时, ,上上式式就就是是二二平平面面区区域域重重积积分分；01lim( ,)niiiif ( , )d ;Df x y 当当 是是时时, ,上上式式就就是是三三空空间间区区域域重重积积分分；01lim( ,)niii

3、iifV ( , , )df x y z v 平平面面曲曲线线或或当当 为为空空间间曲曲线线时时，第第一一型型（对对弧弧长长的的）上上式式为为曲曲线线积积分分；01lim( )( )dniiif PF P 空空间间当当 为为曲曲面面时时，第第一一型型（对对面面积积的的）上上式式为为曲曲面面积积分分；第2页/共48页（一）（一）曲线积分的概念与性质曲线积分的概念与性质（二）曲线积分的计算方法（二）曲线积分的计算方法（三）格林公式及其应用（三）格林公式及其应用 一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法（四）线积分的应用（四）线积分的应用第3页/共48页（一）（一）曲线积分的概念与性质曲线积分的概

4、念与性质（1）定义设xoy面上的连续曲线L是分段光滑的， 且有有限长度，函数z=f(x,y)在L上有界，在曲线L上依次插入分点nMMM,100(M及nM为L的两个端点),把L分成n个小弧段，iiMM1 记小弧段iiMM1 的长度为,is ,max1nss 并在iiMM1 上任取一点).,(iiiN 如果极限iiinisf ),(lim10 存在，oxyABL),(ii 1 nMiM1 iM1M2Mis 第4页/共48页iiinisf ),(lim10 存在，如果极限则称此极限为函数f(x,y)在平面曲线L上对弧长的曲线积分，记作.d),( Lsyxf即 Lsyxfd),(iiinisf ),(

5、lim10 积分变量积分弧段被积表达式弧长元素积分和式曲线形构件的质量 ( , )d .LMx ys 也称第一类曲线积分.第5页/共48页注意： (1)曲线积分也是一个确定的常数，它只与被积函数f(x,y)及积分弧段L有关.d),( Lsyxf(2) f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为.d),(d),(d),(2121 LLLLsyxfsyxfsyxf(3)若L分段光滑的)(21LLL 则有(4)存在条件：当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时， Lsyxfd),(对弧长的曲线积分存在.第6页/共48页(5)物理意义：( , )dLMx ys 是线密度在L上的线积分.d),( Lsyx

6、fA柱柱面面面面积积(6)几何意义：即：高在底L上的线积分.(7)推广:函数f(x,y,z)在空间曲线弧 上对弧长的曲线积分为 szyxfd),(01lim(,).niiiiifs .d Lls特别地：,d abxba ,d D .d Vv 联想：),(yxfz zxoyALABab Lsyxfd),(iiinisf ),(lim10 第7页/共48页（2）性质 (1) ( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yg x ysf x y sg x y s (2)( , )d( , )d().LLkf x y skf x y sk 是是常常数数12 (3)( , )d( ,

7、 )d( , )d .LLLf x y sf x y sf x y s 12().LLL (4)无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.即( , )d( , )dABBAf x y sf x y s 思考: 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中dx 可能为负.回忆定积分： ( )d( )dbaabf x xf x x 故第一类曲线积分与定积分是有区别的.第8页/共48页（1）定义定义设L为xoy面上从点A到点B的一条分段光滑的有向曲线， 函数),(),(yxQyxP、在L上有界. 沿L的方向依次取分点,10BMMMAn 把L分成n个有

8、向小弧段iiMM1 ，), 2 , 1(ni 设iiMM1 , jyixii 并记 为所有小弧段长度的最大值.在iiMM1 上任意取一点),(ii 如果极限iiniixP ),(lim10 存在，那么这个极限称为函数),(yxP在有向弧段L上对坐标x的曲线积分， 记作.d),( xyxPL 第9页/共48页类似地， 如果极限iiniiyQ ),(lim10 存在，那么这个极限称为函数),(yxQ在有向弧段L上对坐标 y记作.d ),( yyxQL 的曲线积分，即 xyxPLd ),( ，iiniixP ),(lim10 yyxQLd ),( iiniiyQ ),(lim10 其中),(),(y

9、xQyxP、称为被积函数，yyxQxyxPd ),(d ),(、称为被积表达式，(1) L称为积分路径.说明：(2)与第一类曲线积分记号的区别.iiyx ,可正可负.这里的第10页/共48页(3)组合形式( , )d( , )dLLP x yxQ x yy Wddd.rxiyj 由实例和定义知:变力 沿A B所作的功为：F( , )d( , )dABP x yxQ x yy dABFr LyyxQxyxPd),(d),(4)特殊路径情况,bax由,ba L若则 LLyyxQxyxPd),(d),( , )( , )FP x y iQ x y j 为为向向量量值值函函数数， 记作01lim(,)

10、niiiiPx 01lim(,)niiiiQy ( ,0)d0baP xx ( ,0)d .baP xx . ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW cosWFAB .F AB ix iy ),(yxFoxyLBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF 第11页/共48页),(),(yxQyxP当在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分 存在. LyyxQxyxPd),(d),(.),(limd),(10 iiiniixPxzyxP ( , , )d( , , )d( , , )dP x y zxQ x y zyR x y zz .),(limd),(10 iiiniiyQyzyx

11、Q .),(limd),(10 iiiniizRzzyxR 空间有向曲线弧第12页/共48页对坐标的曲线积分的性质对坐标的曲线积分的性质 1()性性质质 线线性性性性质质, 设设 、 是是常常数数 则则12 ( , )( , ) dLF x yF x yr 12 ( , ) d( , ) d .LLF x yrF x yr 性性质质2 2( (可可加加性性) )L如如果果有有向向曲曲线线弧弧 可可分分成成两两段段光光滑滑的的有有12,LL向向曲曲线线弧弧 和和则则12 ( , ) d( , ) d( , ) d .LLLF x yrF x yrF x yr 性性质质3 3( (有有向向性性)

12、)LLL 设设 是是有有向向光光滑滑曲曲线线弧弧, , 是是 的的反反曲曲线线弧弧，则 ( ,) d( ,) d .LLF x yrF x yr 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关有关. abbaxxfxxf d)(d)(回忆定积分： ( , ), ( , )d(d ,d ),( , )d( , )ddLLLFP x y Q x yrxyP x yxQ x yyFr 有有线线曲曲线线元元故定积分是第二类曲线积分的特例. .( , )d( , )dLP x yxQ x yy 01lim( ,)niiiiPx 01lim( ,)niiiiQy 第13页/共48页性性质质4 4 dABxLx 在在

13、轴轴上上的的投投影影( (可可正正可可负负) ) dAByLy 在在 轴轴上上的的投投影影( (可可正正可可负负) ) ( , )dLP x yx 01lim(,)niiiiPx ( , )dLQ x y y 01lim(,)niiiiQy 性性质质5 5( (垂垂直直性性) )( ,)0Lxx yx L L若若轴轴P Pd d( ,)0LyQ x yy L L若若轴轴d dix iy ),(yxFoxyLBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF BAxx = =BAyy = =第14页/共48页例1. ,1f x y 设曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N， 为L上 d,fx y

14、y （B） d,f x y s （C） ,d,dxyfx yxfx yy （D） ,fx y（具有一阶连续偏导数）, ,df x yx （A）则下列小于零的是（ ）从点M到点N的一段弧， oxy MNB第15页/共48页（二）曲线积分的计算方法（二）曲线积分的计算方法基本思路基本思路:计算定积分转 化求曲线积分1.计算第一类曲线积分的基本方法计算第一类曲线积分的基本方法)( 01( , )dlim( ,)niiiLif x ysfs 1. :( ),( ) L xtytt 22 ( , )d ( ), ( )( )( )d Lf x ysfttttt 2. :( ) L yxaxb 2 ( ,

15、 )d , ( ) 1( )dbLaf x ysf xxxx )(ba 3. :( ) L xycyd 2 ( , )d ( ), 1( )ddLcf x ysfyyyy )(dc 第16页/共48页u对弧长的曲线积分的计算步骤：(1)积积分分画画出出弧弧段段的的图图形形；(2)将将积积分分弧弧段段用用参参数数方方程程表表示示；(3)用用“”的的方方线线积积分分法法把把化化为为三三代代一一定定定定积积分分. .:( ),( ) ()L xtytt 如如： ( , )dLf x ys ( )xt “一一代代”；( )yt “二二代代”；22d( )( )dsttt “三三代代”；,. “一一定定

16、限限”: :小小的的 是是下下限限 大大的的 是是上上限限化为： 22 ( ),( )( )( )d .fttttt 第17页/共48页222xya 0 x 0 yLOA OBAB (1) :0,0OA yxa ，21dOAIx s 23011 0d3axxa ，(2) :0,0OB xya ，22dOBIy s 2 01 0dayy 31.3a22(3) :,0AB yaxxa 23dABIa s 212.4aa 333312311121()33232IIIIaaaa 22222()d ,0,0LIxysL xya xy 计计算算其其中中 为为所所围围区区域域.的的整整个个边边界界第18页/

17、共48页xy42 ox1-22yd , LIy s 计计算算例2.24 ,(1,2)(1, 2)Lyx ：从从到到的的一一段段弧弧； :2L yx 21 : , 22,4L xyy 22 21 ( ) d2yIyy 0注意到：关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数. .计算第一类曲线积分的简化方法：计算第一类曲线积分的简化方法：1.利用第一类曲线积分的几何意义利用第一类曲线积分的几何意义.2.利用第一类曲线积分的对称性利用第一类曲线积分的对称性.3.利用第一类曲线积分的利用第一类曲线积分的积分弧段的方程积分弧段的方程化简被积函数化简被积函数.第19页/共48页注：第一类曲线积分的对称性：注：第一

18、类曲线积分的对称性：1.Ly若若 关关于于 轴轴对对称称，则则 ( , )dLf x ys (, )( , )fx yf x y ，0，(, )( , )fx yf x y ，1 2( , )dLf x ys ，LL1Oyx2.Lx若若 关关于于 轴轴对对称称，则则LL1Oxy ( , )dLf x ys ( ,)( , )f xyf x y ，0，( ,)( , )f xyf x y ，1 2( , )dLf x ys ，LL1Oxy3.L若若 关关于于原原点点对对称称，则则 ( , )dLf x ys (,)( , )fxyf x y ，0，(,)( , )fxyf x y ，1 2( ,

19、 )dLf x ys ，4.Lyx 若若 关关于于直直线线轴轴对对称称，则则 ( , )dLf x ys ( , )d .Lf y xs 第20页/共48页22222,(+)d ,0.xyzaIxyzsxyz 求求其其中中 为为圆圆周周例3.解:由由对对称称性性知知：222ddd .xsyszs 2221()d3Ixyzs 故故2d3as 32.3a (2d ,)as 球球面面大大圆圆周周长长对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为参数方程，这个过程一般是比较困难的， 在特殊情况下可用特殊方法处理.要计算函数对弧长的1dd()d03y sz sxyzs 第21页/共48页推广推

20、广: 设空间曲线弧的设空间曲线弧的参数方程参数方程为为则:( ),( ),( )()xtytztt ( , , )df x y zs ( ), ( ), ( )fttt 222( )( )( ) dtttt d ,Iy s 计计算算其其中中 为为空空间间点点( (1 1, ,0 0, ,0 0) )与与( (0 0, ,1 1, ,1 1) )的的直直线线段段. .例4.解:1111xyz 直直线线 : :1, 01xtyttzt 直直线线 的的参参数数方方程程: : 1 0I 1 1 1dtt 1 03dt t 3.2 xyzO( (0 0, ,1 1, ,1 1) )1第22页/共48页

21、例5. 计算22d ,Lxys 其中L为圆周22.xya x 提示: 原式 =dLaxs 22a 说明: 1.若用参数方程计算,:L(02) xaoyr2(1cos )ax 2sinay 则22ddsxy d2a 2.若用参数方程：:L2cosxa cossinya 22ddsxy da ()22 cossinxryr dLaxs 原原式式202(1cos )d2aaa 2222cosdaa dLaxs 原原式式22a 第23页/共48页2.计算第二类曲线积分的基本方法计算第二类曲线积分的基本方法)( 定理( ),( )ttLxyt : :的的参参数数方方程程为为， ( , )d( , )dL

22、P x y x Q x y y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )dPtttQtttt 特殊情况：(1)曲线弧L的方程为：，)(xyy x自a到b, )(: xyyxxL则(2)曲线弧L的方程为：，)(yxx y自 c到d,则(3)推广 ：则 )(: yyyxxL dd , ( ) , ( ) ( )d .bLaP x Q yP x y xQ x y x y xx dd ( ), ( ) ( ), d .dLcP x Q yP x y y x yQ x y yy ( )( ),( )xtyt zt ，t 自自到到， ddd ( ), ( ), ( ) ( )LP xQ yR z

23、Ptttt ( ), ( ), ( )( ) ( ), ( ), ( )( )dQttttRttttt 第24页/共48页u对坐标的曲线积分的计算步骤：(1)画画出出的的图图形形, ,标标明明积积分分路路径径积积分分路路径径的的方方向向；(2)将将积积分分路路径径用用参参数数方方程程表表示示；(3)用用“”的的方方法法把把线线积积分分二二代代第第二二类类化化一一定定为为定定积积分分. .(: ),( )xtyttL 如如：从从 变变到到，( )xt “一一代代”；( )yt “二二代代”；,.tt “一一定定限限”: :起起点点下下限限 终终点点上上限限化为：yyxQxyxPLd),(d ),

24、( ,d,d( )( )( )()( )tttttPQt ( )( )( )( ) ,d( )( )tttttQttP 第25页/共48页 ( , )dLf x ys 1.第第一一类类曲曲线线积积分分：22 ( ), ( )( )( )d fttttt 大大小小 ( , , )df x y zs 222 ( ), ( ), ( )( )( )( )d fttttttt 大大小小2.第第二二类类曲曲线线积积分分： ( , )d( , )dLP x yxQ x yy ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )dPtttQtttt 终终点点起起点点 ( ), ( ), ( )( ) ( ),

25、 ( ), ( )( )dQttttRttttt ( , , )d( , , )d( , , )dP x y z x Q x y z y R x y z z ( ), ( ), ( ) ( )Ptttt 终终点点起起点点( ),( )( ),( )( ),Lxtytxtytzt的的参参数数方方程程为为；的的参参数数方方程程为为, ,比较比较直接法或参数方程法直接法或参数方程法第26页/共48页例6. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法1:化为对x的定积分，则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyy

26、yyxyxLd)(d2112xyxy 解法2:化为对y的定积分，则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx 第27页/共48页例7.计算,2dd 22 Lyxyyxx其中L为圆周122 yx沿逆时针方向.解一:,sincos yxL： Lyxyyxx 222dd222cossindcos2sin =0.解二:在L上，122 yx则.1222222yxyx 于是 Lyxyyxx 222dd Lxxx 22d Lyyy 21d0.xxfBAxxd)( BAxx 0.( )dABf xx , 从从变变到到

27、- -则则这里( ),Pf x 0Q ，故0,Py 0Qx ，由格林公式设L围成区域D，( )d0.Lf x x 第28页/共48页ozyx例例8.解解:()d()d()d ,Izyxxzyxyz 求求其其中中221:,.2xyzxyz 从从 轴轴正正向向看看为为顺顺时时针针方方向向 取取的的参参数数方方程程cos ,sin ,2cossin( :20)xt yt zttt 02I (2 cos )( sin )tt ( 22cossin )costtt (cossin )(cossin )dttttt 20 2(4cos1)dtt 220(1 4cos)dtt 220(1 4cos)dtt

28、2 . 第29页/共48页3.两类曲线积分之间的联系 (cos ,cos(), x yLL 设设为为光光滑滑有有向向与与曲曲线线弧弧 上上点点处处方方向向一一致致的的单单位位切切向向量量, ,则则 ( , )d( , )d( , )cos( , )cosdsLLP x y x Q x y yP x yQ x y ( ),( )Ttt xyodsdxdyx(cos,cos,cos ) 类类似似地地, ,设设为为光光滑滑 单单位位与与方方切切的的一一向向致致向向量量, ,则则 dddcoscoscosdsP xQ yR zPQR ( , , )x y z 有有向向曲曲线线弧弧上上点点处处第30页/

29、共48页（三）格林公式及其应用（三）格林公式及其应用 LDyQxPyxyPxQdddd )(1)格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广，其中L是D的正向边界曲线（有向性）. D是有界闭区域（封在D上有一阶连续偏导数（连续性）.上的二重积分二重积分与区域边界上的线积分线积分的联系.注意：(2) 公式的记忆方法：沟通了区域( , ), ( , )P x y Q x y d d Dxy x yPQ dd .LP xQ y (3)对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全全部部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向都是正向 闭性），第31页/共48页(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反

30、方向,则有：()d dddDDQPx yP xQ yxy ddLP xQ y ()d dDQPx yxy (5) 格林公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算平面曲线上的第二类线积分的计算.(6)如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别点上一阶偏导数不连续，一阶偏导数不连续， 格林公式不能直接使用，此时往往需添加辅助线， 然后再作计算.第32页/共48页(2) 简化计算曲线积分(1) 利用曲线积分计算平面图形的面积闭区域D的面积.dd21 LxyyxA)d(d ddDDQPyxx yPQ yx (3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件(4)二元函数的全微分求积()d dd

31、dDDQPx yP xQ yxy 第33页/共48页与路径无关的四个等价命题条件 LyQxP dd，xQyP 等价命题(1)在G内与路径无关，(2)在G内存在u(x,y),，yQxPuddd 使(3)在G内， CyQxP , 0dd(4)闭曲线.GC 在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题等价.说明：1.四个等价命题第34页/共48页2.多元函数的原函数：,P Q若若满满足足定定理理的的条条件件, ,则则由由上上述述证证明明中中已已经经看看到到: :000( , )(,)( , )ddM x yMxyu x yP xQ y 二二元元函函数数d ( , )

32、( , )d( , )du x yP x yxQ x yy 具具有有性性质质: :( , )( , )d( , )d.u x yP x yxQ x yy 所所以以我我们们称称为为的的一一个个原原函函数数由此,可以求某个全微分的原函数，( , )d ( , )ddu x yu x yP x Q y 3 3. .如如何何求求使使？),(0yxC ( , )M x y xyo000(,)Mxy 0ddM CMP x Q y 00( , )(,)d( ,dx yx yuPyx Q yx 0 0 ( ,)dxxP x yx 0 ( , )dyyQ x y y 0(, )D xy0( , )d(, )d(

33、)M DMP x y xyQyu xxy 或或0 0 (, )dyyQ x y y 0 ( , )dxxP x y x 00( , )(,)ddx yxyP xQ y ，第35页/共48页xQyP xQyP 0dd LyQxPI 00( , )(,)dd ()x yxyIP xQ y 更更换换路路径径 ddLIP xQ y 1.1.直直接接法法计计算算方方法法 2.2.格格林林公公式式法法3.3.与与路路径径无无关关法法的的1 1. .满满足足连连续续性性的的条条件件，则则可可直直接接用用格格林林公公式式. .2 2. .不不满满足足连连续续性性的的条条件件，则则添添加加曲曲线线挖挖去去洞洞眼

34、眼. . ddddL llIP xQ yP xQ y 则则第36页/共48页L为由点为由点(a,0) 到到(0,0)的上半圆周的上半圆周xyo)0 ,(aA如图，如图，D (sin)d(cos)dxxLIeymyxeymy 计计算算, ,其其中中22,0.xyax y ( , )sin,xP x yeymy ( , )cos,xQ x yeym cosxPeymy ，cosxQeyx ，()d dDQPx yxy I 208ma 2.8ma 0,:0OAyxa： ddddL OAOAIP xQ yP xQ y 则则 ddOAP xQ y ddOAP xQ y 00 d() 0axxem 0,(

35、)d dDQPx yxy d dDmx y 28ma 添加辅助线：添加辅助线：第37页/共48页1 1. .补补充充曲曲线线的的原原则则： xy1 1. .尽尽可可能能与与 、 轴轴平平行行；.DD 2 2. .与与原原来来的的图图形形围围在在一一起起为为或或2.2.注意格林公式成立的条件. .说明：有向性； 连续性； 封闭性.()d dddDDQPx yP xQ yxy 第38页/共48页例2.的分段光滑的连续闭曲线， L的方向为逆时针方向.22 ddLx yy xxy 计计算算，xyoLD解:记L所围的闭区域为D，令2222,yxxQyxyP 220,xy 则则当当时时2222 2,()Q

36、yxPxxyy 由格林公式知，(1)(0, 0),D 当当时时22 ddLx yy xxy ()d dDQPx yxy 0.其中L为一无重点且不过原点第39页/共48页作位于D内圆周L1Dal(2)(0,0),D 当当时时222:l xya ，1,DLl记记 由由 与与围围成成应用格林公式,得22 ddL lx yy xxy 1()d d0,DQPx yxy 即2222 dddd0,Llx yy xx yy xxyxy 2222 ddddLlx yy xx yy xxyxy 22222cossindaaa 2 0 2 . 220,xy 1 1. .当当时时2222 2()QyxPxxyy dd

37、ddL llIP xQ yP xQ y 2.2.第40页/共48页解解:xyo11Asin2xy L计算计算为由点为由点O(0,0)到点到点A(1,1)的曲线的曲线， LyyxxxyxId)(d)2(422.2sinxy 其中其中L，xyxP22 因为因为，42yxQ ，xyP2 ，xxQ2 则则PQyx 即即.面面上上与与路路径径无无关关故故曲曲线线积积分分在在 xoyxoyxoy在在 平面上成立平面上成立.xoy第41页/共48页120dxx 2315 选择如图所示的路径选择如图所示的路径xyo11A1:0Ly 2:1Lx 0 1x由由 到到0 1y由由 到到1L2L140(1)dyy 1

38、2224(2)d()dLLxxyxxyyL选择新路径应注意：（3）一般选与坐标轴平行的新路径（1）新路径的起点与终点不变（2）新路径G 224(2)d()dLIxxyxxyy 第42页/共48页例4. 验证： 在整个xoy平面内，yyxxxydd22 是某个函数的全微分， 并求出它的一个原函数.解: 这里，2xyP ;2xyyP ，yxQ2 ,2xyxQ 则在整个xoy平面内有：.PQyx 于是在整个xoy平面 (它是一个单连通区域)内，yyxxxydd22 是某个函数的全微分， 由公式;d),()d,(),( 0 00 yyxxyyxQxyxPyxu( , )u x y .2122yx xyo),(yxx xxxd02 0 yyyx 0 2d线积分法线积分法第43页/共48页例4. 验证：在整个xoy平面内，yyxxxydd22 是某个函另解:2,uxyx 2duxy x 221( ),2x yy 2,ux yy 而而221(