北京市海淀区2021高三上学期期末考试数学文试题

1、北京市海淀区2021高三上学期期末考试数学文试题 1 北京市海淀区2021届高三第一学期期末考试 数学（文）试题 2021.1 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数2 1i -化简的结果为 a.1i + b.1i -+ c. 1i - d.1i - 2. 向量(1,1),(2,)t =a b , 若a b , 则实数t 的值为 a. 2- b. 1- c. 1 d. 2 3. 在等边abc

2、 ?的边b c 上任取一点p ，则23abp abc s s ? 的概率是 a. 1 3 b. 1 2 c. 2 3 d. 5 6 4.点p 是抛物线24y x =上一点，p 到该抛物线焦点的距离为4，则点p 的横坐标为 a 2 b. 3 c. 4 d.5 5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n s 的值分别为 a. 4,30n s = b. 4,45n s = c. 5,30 n s = d. 5, 45n s = 6.已知点(1,0),(cos ,sin )a b -, 且|ab =则直线ab 的方程为 a. y = + y =- b. 33y =+ 或

3、33 y =- - c. 1y x =+或1y x =- d. y =+y =- 7. 已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ?=? 则下面结论中正确的是 2 a. ()f x 是奇函数 b. ()f x 的值域是1,1- c. ()f x 是偶函数 d. ()f x 的值域是,12 - 8. 如图，在棱长为1的正方体1111abcd a b c d -中，点, e f 分别是 棱1,bc cc 的中点，p 是侧面11bcc b 内一点，若1/a p 平面,a e f 则线段1a p 长度的取值范围是 a 2 b. 4 2 c.

4、 2 d. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. tan 225 的值为_. 10. 双曲线 2 2 13 3 x y - =的渐近线方程为_；离心率为_. 11. 数列n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则 55 _.s a = 12. 不等式组0,3,1x x y y x ? +?+? 表示的平面区域为，直线 1y k x =-与区域有公共点，则实数k 的取值范围为 _. 13. 三棱锥d abc -及其三视图中的主视图和左视图如 图所示，则棱b d 的长为_. 14. 任給实数,a b 定义, 0, 0.a b a b a b a a b b ?

5、 =? 设函数()ln f x x x =， 则1 (2)()2 f f +=_；若n a 是公比大于0的等比数列，且51a =， 123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a + ）则1_. a = 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. d a b c b 1 c 1 d 1 a 1 f e b c d a 3 15. （本小题满分13分） 已知函 数2 1()s i n c o s c o s 2 f x x x x = -+ ，abc ?三个内角,a b c 的对边分别为 ,a b c 且()1f a =. （

6、i ） 求角a 的大小； （）若7a =，5b =，求c 的值. 16. （本小题满分13分） 某汽车租赁公司为了调查a ，b 两种车型的出租状况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表: （i ） 试依据上面的统计数据，推断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只 需写出结果）； （）现从出租天数为3天的汽车（仅限a ，b 两种车型）中随机抽取一辆，试估量这辆汽 车是a 型车的概率； （）假如两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你依据 所学的统计学问，给出建议应当购买哪一种车型，并说明你的理由. 17. （本小

7、题满分14分） 如图，在直三棱柱111abc a b c -中，90bac =?， 1ab ac aa =，且e 是b c 中点. （i ）求证：1/a b 平面1aec ； （）求证：1b c 平面1aec . e c 1 b 1 a 1 c b a 4 18.（本小题满分13分） 已知函数2 11()22 f x x = - 与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设 ()()()f x f x mg x =-(0)m . （i ） 求a 的值 （）求()f x 在区间1,e上的最小值. . 19. （本小题满分14分） 已知椭圆m ： 22 2 1(0)3 x y

8、 a a + =的一个焦点为(1,0)f -，左右顶点分别为a ，b . 经过点f 的直线l 与椭圆m 交于c ，d 两点. （）求椭圆方程； （）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段c d 的长； （）记abd ?与a b c ?的面积分别为1s 和2s ，求12|s s -的最大值. 20. （本小题满分13分） 已知函数()f x 的定义域为(0,)+，若()f x y x =在(0,)+上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”. () 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围； () 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x

9、?+，1212()()()f x f x f x x +； （）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2021f x 有解. 海淀区高三班级第一学期期末练习 数学（文） 参考答案及评分标准20211 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，其次空2分，共30分） 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15（本小题满分13分） 5 6 解：（i ）由于 21()cos cos 2f x x x x = -+ 1 2cos 222x x =

10、- sin(2)6x =- 6分 又()sin(2)16f a a =- =，(0,)a ， 7分 所以 72(,)666a -， 2,623 a a -= 9分 （）由余弦定理2222cos a b c bc a =+- 得到2 492525cos 3c c =+-?，所以25240c c -= 11分 解得3c =-（舍）或 8c = 13分 所以8c = 16. （本小题满分13分） 解：（i ）由数据的离散程度可以看出，b 型车在本星期内出租天数的方差较大 3分 （）这辆汽车是a 类型车的概率约为 3a 3 3 3a ,b 10313=+出租天数为天的型车辆数 出租天数为天的型车辆数总

11、和 这辆汽车是a 类型车的概率为3 13 7分 （）50辆a 类型车出租的天数的平均数为 334305156775 4.6250a x ?+?+?+?+?= 9分 50辆b 类型车出租的天数的平均数为 31041051561075 4.850b x ?+?+?+?+?= 11分 答案一：一辆a 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，b 类车型一个星期 出租天数的平均值为4.8，选择b 类型的出租车的利润较大,应当购买b 型车 13分 答案二：一辆a 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，b 类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而b 型车出租天数的方差较大，所以选择a

12、型车 13分 17. （本小题满分14分） 解：(i) 连接a c 1交ac 1于点o ，连接e o 7 由于1acc a 1为正方形，所以o 为a c 1中点 又e 为cb 中点，所以e o 为1a bc ?的中位线， 所以1/eo a b 3分 又eo ?平面1aec ，1a b ?平面1aec 所以1/a b 平面1aec 6分 ()由于ab ac =，又e 为cb 中点，所以a e b c 8分 又由于在直三棱柱111abc a b c -中，1bb 底面a b c ， 又ae ?底面a b c , 所以1ae bb , 又由于1bb bc b = ，所以ae 平面11bcc b ，

13、又1b c ?平面11bcc b ，所以ae 1b c 10分 在矩形11bcc b 中 , 111tan tan 2 c b c ec c =,所以111cb c ec c =， 所以11190cb c ec b += ，即11b c ec 12分 又1ae ec e = ，所以1b c 平面11bcc b 14分 18. （本小题满分13分） 解：（i ）由于(1)(1)0,f g =所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上 又(),()a f x x g x x = ，所以(1)1,(1)f g a = 所以1a = 3分 （）由于2 11()ln 2 2 f x x m

14、x = - -，其定义域为|0x x 2 ()m x m f x x x x -=- = 5分 当0m 时，2 ()0m x m f x x x x -=-=， 所以()f x 在(0,)+上单调递增 所以()f x 在1,e上最小值为(1)0f = 7分 当0m 时，令2 ()0m x m f x x x x -=- = ，得到120,0x x = (舍) 8 1时，即01m 时，()0f x 对(1,e)恒成立， 所以()f x 在1,e上单调递增,其最小值为(1)0f = 9分 e 时，即2e m 时, ()0f x 对(1,e)成立， 所以()f x 在1,e上单调递减， 其最小值为2

15、 11(e)e 22 f m = - - 11分 当1e ,即2 1e m 时, ()0f x 对成立, ()0f x 对e)成立 所以()f x 在单调递减, 在e)上单调递增 其最小值为1111ln ln 22222m f m m m m = - -= - -13分 综上，当1m 时， ()f x 在1,e上的最小值为(1)0f = 当21e m 时，()f x 在1,e 上的最小值为11ln 2 2 2 m f m m =- 当2e m 时, ()f x 在1,e上的最小值为2 11(e)e 2 2 f m =- -. 19. （本小题满分14分） 解：（i ）由于(1,0)f -为椭圆

16、的焦点,所以1,c =又23,b = 所以2 4,a =所以椭圆方程为 2 2 14 3 x y + = 3分 （）由于直线的倾斜角为45 ,所以直线的斜率为1, 所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到 22 14 31x y y x ?+=? ?=+? ,消掉y ,得到27880x x +-= 5分 所以121288288,7 7 x x x x ?=+=- = 所以1224|7 c d x x = -= 7分 （）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-, 此时3 3 (1,),(1,)2 2 d c -, ,a b d a b c ?面积相等， 12|0s s -= 8分 当直

17、线l 斜率存在（明显0k ）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+, 设1122(,),(,)c x y d x y 9 和椭圆方程联立得到22 143 (1)x y y k x ?+=? ?=+? ,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +-= 明显0?，方程有根，且22 12122 2 8412,3434k k x x x x k k -+=- = + 10分 此时122121|2|2|s s y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+ 212 12|2|()2|34k k x x k k =+= + 12分 由于0k , 上式1234

18、| | k k = =+ （2 k = 所以12|s s - 14分 20. （本小题满分13分） 解：（i ）由题2 ()f x ax ax y ax a x x += = =+在(0,)+是增函数， 由一次函数性质知 当0a 时，y ax a =+在(0,)+上是增函数， 所以0a 3分 （）由于()f x 是“一阶比增函数”，即 ()f x x 在(0,)+上是增函数， 又12,(0,)x x ?+，有112x x x +，212x x x + 所以 1121 12 ()()f x f x x x x x +， 2122 12 ()()f x f x x x x x + + 5分 所以112112 ()()x f x x f x x x + +，212212 ()()x f x x f x x x + + 所以112212121212 12 ()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x + + =+ 所以1212()()()f x f x f x x + 8分 10 （）设0()0f x =，其中00x . 由于()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x 时，00()() 0f x f