材料力学专题一梁的内力和内力图

1、材料力学专题一梁的内力和内力图 材料力 专题一 梁的内力和内力图 例1求图1(a)所示梁截面 a、c的剪力和弯矩。 解：1）求反力 fa 5kn，fb 4kn 2）求a左截面的内力，如图(a)所示。 yi 0， fp fsa左 0，fsa左 3kn mo 0，fp 2 ma左 0， ma左 6kn m 3）求a右截面的内力，如图(b)所示。 yi 0， fp fsa左 fa 0，fsa左 2kn mo 0，fp 2 ma右 0， ma右 6kn m 4）求c左截面的内力，如图(c)所示。 yi 0，fa fp q 2 fsc左 0，fsc左 0 mo 0，fp 4 fa 2 q 2 1 mc左

2、 0，mc左 4kn m 5）求c右截面的内力，如图(d)所示。 yi 0，fa fp q 2 fsc右 0，fsc右 5 3 2 0 mo 0，fp 4 fa 2 q 2 1 m1 mc右 0，mc右 6kn m (a) (b) (c) (d) (e) 图 1 【小结】求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果全都。一般取外力比较简洁的一段进行分析。在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最终计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。 材料力 例2试计算图2所示各梁指

3、定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。 (b) (a) q b 图2 图(d) (c) 解：(a)取a+截面左段讨论，fsa f, ma 0 取c截面左段讨论，fsc f, mc 取b-截面左段讨论， fsb f, mb fl (b) 求a、b处约束反力 如图(d)所示，fa fb me/l 取a+截面左段讨论，fsa fa me, ma me l 取c截面左段讨论， mlm fsc fa e, ma me fa e l22 m 取b截面右段讨论，fsb fb e, mb 0 l (c) 求a、b处约束反力 取a截面右段讨论，fsa + b fl 2 lqll3l3ql2 q , ma q 222

4、48 2 取c-截面右段讨论，fsc q l ql, mc q l l ql 22248 lqlllql2 取c截面右段讨论，fsc q , mc q 22248 -取b截面右段讨论，fsb 0, mb 0 + 材料力 例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。 (b) (a) 图 3 解：(a) 求支反力 mc 0： fay 6 12 10 3 0， fay 7kn y 0： 列内力方程， fay fby 10 0， fby 3kn 7x 12 kn m 0 x 3 0 x 3 7 kn m(x) ， fs(x) 3(6 x) kn m 3 x 6 3 x 6 3 kn 作剪力图

5、和弯矩图。 (b) 求支反力 1l mb 0：fay l 2ql2 ql 2 0， fay=0 y 0：fay fby q l ql 0，fby 2ql 列内力方程 qx 0 x l fs(x) ql l x 3l2 0 x l qx2 m(x) l x 3l2 ql(3l2 x) 作剪力图和弯矩图。 材料力 例4利用内力方程作图4(a)所示 简支梁的剪力图和弯矩图。 解：ac段有：q(x) 5x （0x2） fs(x) 10 2.5x2， (a) 53， m(x) 10x x（0x2） 6 其剪力图和弯矩图如图(b)(c)所示。 由于结构是对称的，荷载也是对称的， bc段与ac段的fs图是反

6、对称的，m图 是对称的，据此特点可便利地作出ac段 (b) 的剪力图和弯矩图。 例5试用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系推断图5所示各梁的内力图形态，画出剪力图和弯矩图。 解：(a) 依据微分关系：dm x fs x 和 (c) dx dfs x d2m x q dxdx2图4 ac段：q为常数，且q 0，fs图从左到右为向下的斜直线，m图为向上凸的抛物线。 cb段：q为常数，且q 0，fs图从左到右为向上的斜直线，m图为向下凹的抛物线。 在c截面处，fs图连续，m图光滑。 求得几处特别截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。 (a) (b) (b) 求支反力 qa1 ma 0： fby

7、3a qa2 2 q 2a 2 0， fby 3 5qa y 0： fay fby q 2a 0， fay 3 材料力 推断内力图形态并作内力图 ac段：q为常数，且q0，fs图从左到右为向下的斜直线，m图为向上凸的抛物线，在 5 距a端a截面处，m取极大值。 3 cb段：q 0，fs图为水平直线，且fs0，m图从左到右为向下的斜直线。 在c截面处，fs图连续，m图光滑。 求得几处特别截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。 (c) 求支反力 1 m 0：f 3a q 2a 2 qa a 0， fby qa aby 2 y 0： fay fby q 2a qa 0， fay 2qa 推断内力

8、图形态并作内力图 ac段：q为常数，且q 0，fs图从左到右为向下的斜直线，m图为向上凸的抛物线。c 截面处，有集中力f作用，fs图突变，m图不光滑。 cd段：q为常数，且q 0，fs图从左到右为向下的斜直线，m图为向上凸的抛物线。 db段：q 0，fq图为水平直线，且fs0； m图从左到右为向下的斜直线。 (d) (c) 5 图 (d)求支反力 1 mb 0： fay 6 8 2 6 42 0，fay 9.33 kn y 0： fay fby 6 4 0， fby 14.67 kn 推断内力图形态，作内力图 fs图：ad段，q 0，为水平直线； db段，q 0，从左到右为向下的斜直线。 m图

9、：ac段，q 0，且fs0，从左到右为向上的斜直线； c截面处，有集中力偶me作用，有突变； 材料力 cd段，q 0，且fs0，从左到右为向上的斜直线，且b c/ab； db段，q 0，为向上凸的抛物线，且b c与ce在c点相切； 22 在距d端m截面处，fs=0，m取极大值17.93kn m。 9 例6试用叠加法画出图6所示梁的弯矩图。 图6 解： (a) (b) 材料力 例7试用画出图7 (a)所示梁的剪力图和弯矩图。 【解】1）将梁从铰b处分开，计 (a) 算梁的外约束反力，如图7 (b)。 fax=fbx=f'bx=0， fay=fby=f'by=fd =qa， ma=

10、 qa2 2）该梁的内力图应分成ab，(b) bc和cd三段绘制，各段的起点和终点内力值时应首先确定，用截面法计算出这些截面的内力并列 (c) 于表1中，其中2a-和2a+分别为c 偏左和偏右侧截面的坐标。 3）依据梁的内力微分关系，逐段推断内力图的大致外形并作(d) 梁的剪力图和弯矩图。 先作剪力图。按肯定比例，在坐标系中首先确定ab、bc和cd梁段端点的剪力坐标点。ab df(x) 段梁无分布载荷，由s q(x) dx 可以知道其剪力图线为水平直线；bc段梁因q0，剪力图为下斜直线；同理，cd段梁因q0，剪力图为上斜直线，用上述直线连接这三段梁的端点，即可得到该梁的剪力图，如图7 (c)所

11、示。 再作弯矩图。ab梁段因q=0，剪力图为水 图7 2 (x)平线，且其剪力fs =qa0，则知道弯矩图为上斜直线；同理，bc梁段因dm2 q(x)， 弯矩图为上凸抛物线，cd梁段由于q0，为下凸抛物线。在c截面作用有集中力偶qa2， 弯矩数值由qa2/2突变到-qa2/2。依据关于梁的弯矩图的曲线外形的分析，从梁左端a截面开头，连接各梁段端截面的坐标点，即可便利地绘制出梁的弯矩图，如图(d)所示。 例8试用分段叠加法作图8(a)所示梁的弯矩图。 解：1）计算支座反力 kn fa 15 kn，fb 11 2）求掌握截面处的弯矩。 本例中掌握截面为c、a、d、e、b、f (a) 各处，其弯矩分

12、别为： dx md 6 6 15 4 2 4 2 8 kn m mb 2 2 1 4 kn m mf 0 mc 0 ma 6 2 12 kn m me 2 2 3 11 2 10 kn m (b) 图8 材料力 3）把整个梁分为cb、ad、de、eb、bf五段，然后用区段叠加法绘制各段的弯矩图。方法是：先用肯定比例绘出cf梁各掌握截面的弯矩纵标，然后看各段是否有荷载作用，假如某段范围内无荷载作用（例如ca、de、eb三段），则可把该段端部的弯矩纵标连以直线，即为该段弯矩图。如该段内有荷载作用（例如ad、bf二段），则把该段端部的弯矩纵标连一虚线，以虚线为基线叠加该段按简支梁求得的弯矩图。整个梁

13、的弯矩图如图8(b)所示，其中ad段中点的弯矩为：mad 2kn m。 例9图9(a)为梁的剪力图，试求此梁的荷载图与弯矩图（已知梁上无集中力偶）。 图9 解：1）求荷载图 由fsa=50kn知梁在a处有一向下集中力为50kn，b截面两侧剪力由50kn突变到50kn，故梁在b截面必有一向上荷载100kn。 ab段、bc段fs图为水平线，故两段无分布荷载作用，q=0。ce段为右下斜直线，斜率为常量，故梁上必有向下的均布荷载，荷载集度大小等于剪力图的斜率，即 q 50 25kn/m 2 e截面的剪力由50kn变到0，故梁上必有向上的集中力50kn。依据以上分析结果，可画出梁的荷载图如图9(b)所示

14、。 （2）求弯矩图 ab段：fs为负值，且为水平线，故m为一向上斜直线。ma0，mb的大小等于ab间剪力图面积，即 mb50150knm bc：fs为正值，且为水平线，故m为一向下的斜直线。 mc mb fs(x)dx 50 50 1 0。 b a ce段：q0，m为一下凸曲线。q=25kn/m，d点fsd0，m有极值， 1 md mc (50 2) 0 50 50kn m。 2 e端铰处无集中力偶，ma0。 依据上述分析，画出梁的弯矩图，如图9(c)所示。 材料力 练习题 1、试求下列各梁在指定1、2、3截面上的剪力和弯矩值。 题1图 2、试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩

15、图。 (a) (b) (d) (e) (f) 题2图 3、分别用微分法和叠加法作图示各梁的剪力图和弯矩图（支座反力已给出）。 (a) (b) 材料力 (c) (e) (g) (i) (k) 练习题参考答案 1、 (a)fs1 0，fs2 (d) (f) (h) (j) (l) 题3图 m0m0m0 f m ，s3， m1 m0，m2 m0，3 2a2a2 323232 (b) fs1 ql，fs2 ql，fs3 ql，m1 ql，m2 ql，m3 ql 222 322 (c) fs1 qa，fs2 qa，fs3 qa，m1 0，m2 qa，m3 qa 4 1111 q0l，fs3 q0l，m1

16、 0，m2 q0l2，m3 0 (d) fs1 q0l，fs2 624316 材料力 (e) fs1 5kn，fs1 5kn，fs1 5kn，m1 0，m2 0，m3 0 (f) fs1 10kn，fs2 10kn，fs3 10kn，m1 5kn m，m2 5kn m， m3 10kn m 2、 (a) (b) (c) (d) fs(x) 2f,(0 x a) m(x) f(2x a),(0 x a)m(x) fa,(a x 2a)fs(x) 0,(0 x a)fs(x) f,(a x 2a)m(x) 0,(0 x a) fs(x) 0,(a x a) m(x) f(2a x),(a x 2a) (a) (b) (c) (d) fs(x) q(2a x),(0 x 2a) fs(x) qx,(0 x a) 2 m(x) q(2a x)2/2 qa2,(0 x 2a)m(x) qa2,(2a x 3a) fs(x) 0,(2a x 3a) fs(x) qa,(a x 2a) m(x) qa(x a/2) qa,(a x 2a) 1a fs(x) qa,( x a) 82 a1a )m(x) qa(a x),( x a)282 2 m(x) qx/2,