抽象函数习题精选精讲

1、抽象函数习题精选精讲 第一篇范文：抽象函数习题精选精讲 含有函数记号“ 由于函数概念比较抽象，同学对解有关函数记号 f(x)”有关问题解法 f(x)的问题感到困难，学好这部分学问，能加深同学对函数概念的理解，更好地 把握函数的性质，培育敏捷性；提高解题力量，优化同学数学思维素养。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的敏捷性及变形力量。 表示原自变量x的代数式，从而求出 f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培育同学 x )?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x?1?解：设f(u)?2x?11?u1?u1?u 例1：已知 f( f(x

2、)? 2?x 1?x 2.凑合法：在已知 f(g(x)?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 11f(x?)?x3?3 xx ，求 f(x) 解： 1111111 f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)(x?)2?3)又|x?|?|x|?1 xxxxxx|x| f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3 已知解:设 f(x)二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x)

3、. f(x)=ax2?bx?c，则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c ?2(a?c)?4 1313?22 ?a?,b?1,c?f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?1 2222?2b?2 ? 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解: y=f(x)为奇函数,当 x0时,f(x)?lg(x?1),求f(x) f(x)为奇函数，f(x)的定义域关于原点对称，故先求x0时的表达式。-x0,f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x), ?lg(1?x),x?0

4、f(x)为奇函数，lg(1?x)?f(?x)?f(x)当x0时f(x)?lg(1?x)f(x)? ?lg(1?x),x?0 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)? 1 ， 求f(x),g(x). x?1 例5一已知解： f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(?x)?f(x),g(?x)?g(x), f(x)+g(x)= 1 ?中的x, x?1 1 不妨用-x代换 11 即f(x)g(x)? ?x?1x?1 1x 显见+即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入求出g(x)?2 x?1x?1 f(?x)?g(?x)? 5.赋值法：给自变量取特别值，从而发觉规律，求出例6

5、：设解： f(x)的表达式 f(x)的定义域为自然数集，且满意条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x) f(x)的定义域为n，取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1 f(1)=1,f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3?f(n)?f(n?1)?n n(n?1)1 以上各式相加，有f(n)=1+2+3+?+n=f(x)?x(x?1),x?n 22 二、利用函数性质，解 f(x)的有关问题 1.推断函数的奇偶性： 例7 已知 f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。 f(y)?f(?y

6、)?2f(0)f(y)? 证明：令x=0, 则已知等式变为在中令 y=0则2f(0)=2f(0) f(0)0f(0)=1f(y)?f(?y)?2f(y)f(?y)?f(y)f(x)为偶函数。 2.确定参数的取值范围 例8：奇函数解：由 f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满意f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围。 f(1?m)?f(1?m2)?0得f(1?m)?f(1?m2)，f(x)为函数，f(1?m)?f(m2?1) ?1?1?m?1? 又f(x)在（-1，1）内递减，?1?m2?1?1?0?m?1 ?1?m?m2?1? 3.解不定式的有关题目 例9：假如 f(x)=ax2

7、?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 f(2?t)?f2?t)x=2为抛物线y=ax2?bx?c的对称轴 f (2)最小， 解：对任意t有 又其开口向上 f (1)= f (3)在2，)上， f(x)为增函数 f (3) f (4), f (2) f (1) f (4) 五类抽象函数解法 1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。 例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间2，1上的值域。 分析：由题设可知，函数f（x）是 的抽象函数

8、，因此求函数f（x）的值域，关键在于讨论它的单调性。 2 解：设 在条件中，令yx，则（x）为奇函数， ，当 ， ，即 ， ，f（x）为增函数。 ，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。 例2、已知函数f（x）对任意 ，满意条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x）2，f（3）5，求不 等式的解。 分析：由题设条件可猜想：f（x）是yx2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，假如这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设 ，当 ， 即 ，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3 。 ， ，则 ， 2、指数函数型抽象函数 ， 即，解得不等式的解为1 a 3。 例3、设函数f（x）的定义域是（，），满意条件： 存在成立。求： （1）f（0）；