线性代数PPT课件

1、一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入用消元法解二元(一次)线性方程组:1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 22221211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1) a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2) a12:a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,两式相减消去x2, 得(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;第1页/共89页211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 当(a11a22 a12a21) 0时, 方程组的解为:由方程组(1)的四个

2、系数确定由4(2 2)个数排成二行二列(横排称行, 竖排称列)的数表a11 a12a21 a22(3)(4)则表达式 a11a22 a12a21 称为由数表(4)所确定的二阶行列式, 并记作22211211aaaa(5)类似地, 消去x1, 得(a11a22 a12a21) x2 = b2a11 b1a21;第2页/共89页22211211aaaa22211211aaaaD = a11a22 a12a21即主对角线副对角线二阶行列式的计算二阶行列式的计算= a11a22 a12a21对于二元线性方程组D称为线性方程组(1)的系数行列式系数行列式. 22221211212111bxaxabxax

3、a22211211aaaaD 若记(1)第3页/共89页22211211aaaaD 22221211212111bxaxabxaxa2221211ababD 22211211aaaaD 22221211212111bxaxabxaxa2121112babaD ,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意: 分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx 则该二元线性方程组的解(3)式211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax (3)表示为:第4页/共89页.1212232121

4、xxxx1223 D112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 解解:= 3 (4) = 7 0,第5页/共89页333231232221131211aaaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa(7)式称为由数表(6)所确定的.二、三阶行列式二、三阶行列式: 设由9(3 3)个数排成3行3列的数表(7)(6)333231232221131211aaaaaaaaaD 列标列标 行标行标第6页/共89页3

5、23122211211aaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 312213aaa .332112322311312213aaaaaaaaa (1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D322311aaa 332112aaa 332211aaa 312312aaa 322113aaa 即332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa第7页/共89页 说明说明2. 三阶行列式包

6、括3!项, 每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负. 注意注意: 红线上三元素的乘积冠以正号, 蓝线上三元素的乘积冠以负号说明说明1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.243122421-D 计算三阶行列式按对角线法则, 有D = 1 2 (2)+ 2 1 (3)+ (4) (2) 4 (4) 2 (3) 2 (2) (2) 1 1 4= 4 6 + 32 24 8 4 = 14第8页/共89页. 094321112 xx方程左端为一个三阶行列式, 其值为:D = 3x2 + 4x + 18 12 2x2 9x = x2 5x + 6 由D = x2 5

7、x + 6 = 0 解得:x = 2 或 x = 3. 第9页/共89页 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的. 是线性代数中最基本的计算问题之一.对角线法则二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小结三、小结第10页/共89页1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 3

8、32112322311312213aaaaaaaaa 一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式说明说明(1) 三阶行列式共有6项, 即3!项. 说明说明(2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积. 说明说明(3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列下标排列的逆序数.1.3第11页/共89页nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 记作简记作 det(aij). 数 aij 称为行列式 det(aij) (第 i 行第 j 列)的元素. nnppptaaaD2121)1(即 说明说明1. 行列式是一种特定的算式, 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程

9、组的需要而定义的; 说明说明2. n 阶行列式是 n! 项的代数和; 说明说明3. n 阶行列式的每项都是位于不同行, 不同列 n 个元素的乘积,nnpppaaa2121的符号为(1)t; 第12页/共89页0004003002001000 说明说明4. 一阶行列式的符号 | a | = a, 不要与绝对值符号相混淆, 一般不使用此符号.例例1: 计算对角行列式.0004003002001000解解: 分析.展开式中项的一般形式是,43214321ppppaaaa, 011 pa从而这个项为零,同理可得: p2=3, p3=2, p4=1.所以只能 p1=4;若p1 4, 则 43211432

10、1 t.24 即行列式中非零的项为:(1) t (4321) a14 a23 a32 a41即第13页/共89页例例2: 计算上三角行列式.00022211211nnnnaaaaaa解解: 分析展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa所以非零的项只可能是: a11 a22 ann .从最后一行开始讨论非零项. 显然pn=n, pn1=n1, pn2=n2, , p2=2, p1=1, nnntaaa2211121 .2211nnaaa nnnnaaaaaa00022211211即第14页/共89页8000650012404321 D显然= 1 4 5 8nnnnnnnnnnaaaaaa

11、aaaa121111211222111000000 .2211nnaaa 同理可得下三角行列式对角行列式对角行列式;21n n 21第15页/共89页n 21 .12121nnn 例例5: 设nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 证明: D1=D2.第16页/共89页证证: 由行列式定义有 nnnpppnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnnppppnppnpppppptbaaa21212121()2()1211nn

12、nnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnppppppnnpppppptbaaa2121212121211第17页/共89页由于 p1+ p2+ + pn= 1 + 2 + + n, .1212121212nnnnppppppppptaaaD 所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt 故 行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式. n 阶行列式共有n!项, 每项都是位于不同行, 不同列的 n 个元素的乘积, 正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结三、小结第18页/共89页 1211123111211xxxxxf 已

13、知多项式 1211123111211xxxxxf 求 x3 的系数.思考题解答思考题解答含 x3 的项有仅两项, 即对应于= x3+ (2x3)故 x3 的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+ (1)t(1243)a11a22a34a43第19页/共89页1.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质行列式DT称为行列式D的转置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 记证明证明: 记行列式 D=det(aij) 的转置行列式为: 行列式与它的转置行列式相等, 即D

14、T = D.1.5第20页/共89页,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD 按定义 .1121212121 nppptnppptTnnaaabbbD .12121 nppptnaaaD即 bij=aji ( i, j=1, 2, , n),又由行列式的另一种表示得,所以, DT = D, 结论成立 说明说明: 行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 互换行列式的两行(列), 行列式变号.第21页/共89页设行列式,212222111211nnnnnnbbbbbbbbb nnninjnpnpipjpnijaaaaaaaaaaa

15、aD11111111 nnnjninpnpjpipnjiaaaaaaaaaaaaD1111111 是由行列式互换 i, j (i j)两列得到.即, 当 k i, j 时, bpk= apk; 当 k = i, j 时, bpi= apj, bpj= api; 第22页/共89页于是 npjpipptnjibbbbD1111 npipjpptnjiaaaa111 npjpipptnijaaaa111 其中 t 为排列 p1 pi pj pn的逆序数, 设 s 为排列p1 pj pi pn的逆序数. 显然 t 与 s 的奇偶性不同, 即(1)t = (1)s, 所以, npjpipptnijaa

16、aaD1111 npjpippsnijaaaa111 D 571571266853825361567266853例如 825361567 第23页/共89页 推论推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零.证明证明: 互换相同的两行, 则有D = D,所以D = 0. 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 即行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 性质性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行

17、列式为零第24页/共89页证明证明:nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211. 0 nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 性质性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 例如nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 第25页/共89页nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111则D等于下列两个行列式之和: 性质性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)

18、对应的元素上去, 行列式不变. nqiqiqqqsniiaaaaaD)(12121 证明证明: nqiqqqsnqiqqqsniniaaaaaaaa 2121212111故结论成立.第26页/共89页nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjjiaakaaaaakaaaaakaaa)()()(1222221111111 k例如 引入记号: 用 ri 表示第 i 行, ci 表示第 i 列. 在计算行列式时, 我们经常利用性质2,3,6对行列式进行变换. 利用性质2交换行列式的第 i, j 两行(列), 记作ri rj ( ci cj

19、); 第27页/共89页 利用性质6把行列式的第 j 行(列)的各元素乘以同一数 k 然后加到第 i 行(列)对应的元素上去, 记作ri + rj k ( ci + cj k ); 利用性质3行列式的第 i 行(列)乘以数k, 记作ri k ( ci k );二、行列式计算二、行列式计算 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值第28页/共89页.2101044614753124025973313211 D例例1: 计算5阶行列式解解:2101044614753124022010013211 Dr2 + 3r1r

20、3 2r12101044614753140202010013211 第29页/共89页210104435120140202010013211 2220035120140202010013211 r4 3r1r5 4r12220035120201001402013211 r2 r3第30页/共89页2220021100201001402013211 2220001000201001402013211 r4 + r2r4 + r36200001000201001402013211 r5 + 2r3第31页/共89页6000001000201001402013211 12 r5 + 2r4解解: 将

21、第2, 3, , n 列都加到第一列得:例例2: 计算 n 阶行列式.abbbbabbbbabbbbaD abbbnababbnabbabnabbbbnaD1111 第32页/共89页 babababbbbna 1)1(00 .)()1(1 nbabna abbbabbbabbbbna1111)1( 第2, 3, , n 行都减去第一行得:第33页/共89页例例3: 设,0111111111111nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD ,11111kkkkaaaaD ,11112nnnnbbbbD 证明: D = D1D2. 证明证明: 对D1作行运算 ri + t rj , 把D

22、1化为下三角形行列式:;0111111kkkkkpppppD 第34页/共89页.0111112nnnknqqpqqD 对D2作列运算 ci+kcj , 把D2化为下三角形行列式:,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 先对D的前k行作行运算 ri+trj , 然后对D的后n列作列运算 ci+kcj , 把D化为下三角形行列式:故, D = p11 pkk q11 qnn= D1D2.第35页/共89页 行列式的6个性质. 行列式中行与列具有同等的地位, 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 计算行列式常用方法: (1) 利用定义; (2) 利用性质把行列式化

23、为上(下)三角形行列式, 从而算得行列式的值.三、小结三、小结思考题思考题11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 其中已知 abcd=1.计算行列式,第36页/共89页思考题解答思考题解答111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 第37页/共89页dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 第38页/共89页1.6 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式,3

24、12213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa引例, 考察三阶行列式 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa .333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即1.6第39页/共89页nnnjnjnjnnniji

25、jijiiiinijijijiinijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD1121111111121111211111111121121221222211111111211 nnnjnjnnnijijiiinijijiiinjjnjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaM1121111111211111111211212122221111111211 第40页/共89页例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,444241343231141211

26、23aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 记 Aij = (1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA 第41页/共89页 引理引理: 如果一个阶行列式D的第 i 行元素除 aij 外都为零, 那么, 行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij的乘积, 即 D = aij Aij . 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.nnnjnjnj

27、nnnijijijiiiijnijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11211111111211111111112112122122221111111121100000 = aij Aij .第42页/共89页证证: 当 aij 位于第一行第一列时,nnnnnaaaaaaaD21222211100 又由于 A11=(1)1+1M11=M11, 再证一般情形, 此时由上节例3, 即教材中的例10得: D = a11M11 .从而 D = a11A11, 即结论成立.nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 ija第43页/共89

28、页 nnnjnnijiiijiaaaaaaaD1, 1, 11 , 11001 把D的第 i 行依次与第 i 1行,第 i 2行, , 第1行交换, 得 把D的第 j 列依次与第 j 1列, 第 j 2列, , 第1列交换, 得 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1110011 ijaija第44页/共89页 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 12001 nnjnnjnijijiijjiaaaaaaa1, 11, 1, 1001 =(1)i+j aij M 11,显然, M 11恰好是aij在D中的余子式Mij, 即M 11=M

29、ij,因此, D = (1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理结论成立.ijaija第45页/共89页 定理定理3: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n);D = a1iA1i + a2iA2i + + aniAni ( i =1, 2, , n).证证:nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa212

30、1121100 nnnninnaaaaaaa211121100 第46页/共89页D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n).由引理得:引理的结论常用如下表达式: nkkikinkikikAaAaD11( i =1, 2, , n).277010353 D解解: 按第一行展开, 得27013 D.27 27005 77103 例例1: 计算行列式如果按第二行展开, 得2733)1)(1(22 D.27 第47页/共89页.3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 例例2: 计算行列式解: D

31、0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 第48页/共89页 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(例例3: 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式证证: 用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx所以, 当 n=2 时, (1)式成立.假设对 n-1 阶范德蒙德行列式, (1)式成立. 对 n 阶范德蒙德行列式, 作如下变换, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得第49页/共89页)()()(0)()()(0011111

32、213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 按第一列展开, 并把每列的公因子( xi x1 )提出, 就有:223223211312111)()( nnnnnnnxxxxxxxxxxxxDn1阶范德蒙德行列式)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 则根据归纳假设得证:第50页/共89页0532004140013202527102135 D0532004140013202527102135 D例例4: 计算行列式解解: 53204140132021352152 66027013210 5

33、3241413252 6627210 .1080124220 第51页/共89页 推论推论: 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ;a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j .,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAaD 证证: 把行列式D = det(aij) 按第 j 行展开, 得把 ajk 换成 aik (k=1, 2, , n ), 当 i j 时, 可得第52页/共89页,11111111nnniniinin

34、jninjiaaaaaaaaAaAa 第 j 行第 i 行相同同理 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j 所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质;01 jijiDDAaijnkjkik当当当当 .01 jijiDDAaijnkkjki当当当当 .01 jijiij当当当当 其中第53页/共89页 1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. ijnkjkiknkkjkiDAaAa 11三、小结三、小结2.第54页/共89页思考题思考题n

35、nDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ +A1n . 设 n 阶行列式思考题解答思考题解答解解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成n001030100211111 ).11( !2 nkknA11+A12+ +A1n第55页/共89页1.7 克拉默克拉默(Cramer)法则法则 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组 若常数项b1, b2, , bn不全为零, 则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组; 若常数项b1, b2, , bn全为零, 则称此方程组为

36、齐次线性方程组齐次线性方程组; 定理定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零, 即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD(1)1.7第56页/共89页.,2211DDxDDxDDxnn 其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即nnnjnnjnnjjjaabaaaabaaD11111111111 那么, 线性方程组(1)有解, 且解是唯一的, 解可以表为 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa)()()(22112222222

37、1211111212111 证明证明: 用系数行列式D的第 j 列元素的代数余子式A1j, A2j, Anj依次乘方程组(1)的n个方程, 得第57页/共89页在把 n 个方程依次相加, 得,)()()(111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa 由行列式代数余子式的性质可知, 上式中xj 的系数等于D, 而 xi (i j) 的系数均等于0, 等式右端为Dj .于是因此, 当 D 0 时, 方程组(2)有唯一解:Dxj=Dj ( j=1, 2, , n)(2).,2211DDxDDxDDxnn 由于方程组(2)与方程组(1)等价,故也是方程组(1)的

38、唯一解.,2211DDxDDxDDxnn 第58页/共89页 定理定理2: 如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零. 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理3: 如果齐次线性方程组(3)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(3)没有非零解.(3) 定理定理4: 如果齐次线性方程组(3)有非零解, 则它的系数行列式 D 必为零. 在后面我们将证明: 齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件为(3)的系数行列式 D 必为零.第59页/共89页例例1: 用克拉默法则解方程组 06745229638524

39、3214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解:6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 第60页/共89页67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx所以第61页/共89页 652361144332

40、5343214321424321xxxxxxxxxxxxxx解解:2311111140301253 D67 , 0 例例2: 用克拉默法则解方程组23165111611403412531 D,367 23651116111404012332 D, 0 第62页/共89页26511161111443013533 D,267 65311611111403032534 D,67 ,316736711 DDx, 067022 DDx,216726733 DDx. 1676744 DDx所以第63页/共89页例例3: 问 取何值时, 齐次方程组 010320421321321321xxxxxxxxx 有

41、非零解? 111132421D)1(4)1()3(482)3()1(2 由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0, 解解:则 =0, =2或 =3时, 齐次方程组有非零解.)3()3()1(2 )3(1)1(2 第64页/共89页1. 用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系. 它主要适用于理论推导, 并不适用于实际计算.小结第65页/共89页思考题思考题 当线性方程组的系数行列式为零时, 能否用克拉默法则解方程组? 此时方程组的解为何?思考题解答思考题解答不能. 此时方程组

42、可能为无解, 或有无穷多解.第66页/共89页第一章第一章 习题课习题课习题课第67页/共89页nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnpppnppptaaa212121)1(或 nnpppnppptaaaD212121)1(第68页/共89页 行列式与它的转置行列式相等, 即DT = D. 互换行列式的两行(列), 行列式变号. 推论推论: 如果行列式有两行(列)完全相同, 则此行列式为零. 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数k乘此行列式.行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 性质性质4: 行列式中如果有两行(列)元素

43、成比例, 则此行列式为零 性质性质5: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和, 则该行列式等于两个行列式之和. 性质性质6: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式不变.第69页/共89页 在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 记 Aij = (1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式. jijiDDijjknkikkjnkkiAaAa当当当当011 jijiij当当当当01 nnnnnn

44、nnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)第70页/共89页 定理定理1: (克拉默(Cramer)法则)如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零, 那么, 线性方程组(1)有解, 且解是唯一的, 解可以表为.,2211DDxDDxDDxnn 其中Dj 是把系数行列式D中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即 定理定理2: 如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零. 定理定理3: 如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组没有非零解. 定理定理4: 如果齐次线性方程组有

45、非零解, 则它的系数行列式 D 必为零. 在后面我们将证明: 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为它的系数行列式D必为零.第71页/共89页例例1: 计算行列式.00000000053524342353433323125242322211312aaaaaaaaaaaaaaaaD aaaaaaaaaaaaaaaaD35343332312524232221535243421312000000000 35342524535243421312000aaaaaaaaaa 解解:. 0 第72页/共89页例例2: 计算.333222111222nnnnnnnD 解解: Dn中各行元素分别是同一个数的不同

46、方幂, 方幂的次数自左至右按递升次序排列, 但不是从0到 n1, 而是从1递升至 n. 若提出各行的公因子, 则方幂的次数便是从0升到 n1, 于是得:.133312211111!1212212nnnnnnnnD 第73页/共89页上面等式右端行列式为 n 阶范德蒙行列式的转置, 由范德蒙行列式知 1)(!jinjinxxnD评注评注: 本题所给行列式各行(列)都是某元素的不同方幂, 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同, 需要利用行列式的性质(如提取公因子, 调换各行(列)的次序等)将此行列式化成范德蒙行列式.)1()2()24)(23)(1()13)(12( ! nnnnn!.1!

47、 2)!2()!1( ! nnn第74页/共89页例例3: 计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxnnnnD xxxxxxxaaaaaaaaaaaaaDniinniinniinniin32121212111 解解: 将第2, 3, , n+1列都加到第1列, 得第75页/共89页axaaaaaxaaaxaDnniinx 23122121111010010001)(提取第一列的公因子, 得.1111)(32222111xxxxaaaaaaaaaaDnnnniin . )()(11 niiniiaxaxcj+1+(aj)c1, j=2, 3 , , n+1. 得

48、第76页/共89页评注: 本题利用行列式的性质, 采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式. 化零时一般尽量选含有 1 的行(列)及含零较多的行(列); 若没有1, 则可适当选取便于化零的数, 或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1; 若所给行列式中元素间具有某些特点, 则应充分利用这些特点, 应用行列式性质, 以达到化为三角形行列式之目的.例例4: 计算.4abcdbadccdabdcbaD 解: 将行列式的2, 3, 4行分别加到第1行,并提出公因子(a+b+c+d), 得:,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 第77页/共89页,0001)(4dadbdcd

49、cbcacdcbcbdbabdcbaD 在将第2, 3, 4列分别减去第1列, 得:.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD 把上面行列式的第2行加到第1行, 再提取第1行的公因式(a-b-c+d), 得:第2列减去第1列, 得,011)(4dadbdccbcacddcbadcbaD ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD 第78页/共89页)()()(22cbdadcbadcba )(dcbadcba dacbcbdadcbadcbaD )(4)(dcbadcba 所以,评注评注: 本题是利用行列式的性质和所给行列式的特点, 将所给行列式的某行(列)化成只含有

50、一个非零元素的情形, 然后按此行(列)展开. 每展开一次, 行列式的阶数降低 1 阶. 如此继续进行, 直到行列式能直接计算出来(一般展开成二阶行列式)为止. 这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用.第79页/共89页例例5: 计算.21nnxaaaaxaaaaxaD 解解: 依第n列把Dn拆成两个行列式之和,aaaaaxaaaaaxaaaaaxannD121 nnxaaaxaaaaxaaaaxa000121 第80页/共89页,0000000001122DxaaxaxaxDnnnn 将上式右端第一个行列式的第n列的(1)倍分别加到第1, 2, , n1列上去; 将上式右端第二个行列式按第n列展开. 得,从而得递推公式:于是如此继续下去, 可得Dn = x1x2xn-1a + xnDn-1.故Dn-1 = x1x2xn-2a + xn-1Dn-2.Dn = x1x2xn-1a + x1x2xn-2axn + xn-1xnDn-2.Dn = x1x2xn-1a + x1x2xn-2axn + + x1x2ax4xn + x3 xn-1xnD2.第81页/共89页而2121212