大学高等数学下考试题库(附答案)

1、大学高等数学下考试题库(附答案) 高等数学试卷1（下） 一.选择题（3分 10） 1.点 8.幂级数 n 1 x n 的收敛域为（ ）. n m1 2,3,1 到点 m 2 2,7,4 的距离 m1m 2 a. 1,1 b 1,1 c. 1,1 d. 1,1 n （ ）. a.3 b.4 c.5 d.6 2.向量a i 2j k,b 2i j a. x 9.幂级数 n 0 2 ，则有（ ）. 在收敛域内的和函数是（ ）. a b b. a b c. a,b a. 11 x b. 22 x c. 21 x d. 12 x 3 d. a ,b 4 3.函数 y 2 x2 y2 1的定义域是 x2

2、y2 1 （ ）. a. x,y x 2 y 2 2 b. x,y x 2 y 2 2 c. x,y x 2 y 2 2 d x,y x 2 y 2 2 4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是（ ）. a. a b 0 b. a b 0 c. a b 0 a d. b 0 5.函数 z x3 y3 3xy 的微小值是（ ）. a.2 b. 2 c.1 d. 1 6.设 z xsiny ，则 z y （ ）. 1,4 a. 22 b. 22 c. 2 d. 2 7.若 p 级数 1 ）. n 1 n p 收敛，则（ a. p 1 b.p 1 c.p 1 d.p 1 10.微分方程 xy ylny

3、 0 的通解为（ ）. a. y ce x b. y e x c. y cxe x d. y e cx 二.填空题（4分 5） 1.一平面过点 a 0,0,3 且垂直于直线 ab ，其中点 b 2, 1,1 ，则此平面方程为_. 2. 函 数 z sin xy 的全微分是 _. 3. 设 z x3y2 3xy 3 xy 1 ，则 2 z x y _. 4. 12 x 的麦克劳林级数是_. 5.微 分方程 y 4y 4y 0 的通解为 _. 三.计算题（5分 6） 1.设 z eu sinv，而u xy,v x y ，求 z x, z y . 2. 已 知 隐 函 数 z z x,y 由 方 程

4、 x2 2y2 z2 4x 2z 5 0确定，求 z x,z y . 3.计算 sin x2 y2 d ， 其 中 d d: 2 x2 y 2 4 2 . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ r 为 1. z x e xy ysin x y cos x y ， z y e xy xsin x y cos x y . 2. z x 2 x z2y , z 1 yz 1 2 . 3. 2 d r 3 sin d 6 2 . 4. 163 . 5. y e 3x e 2x . 四.应用题 5.求微分方程 1.长、宽、高均为 2m 时，用料最省. y 3y e 2x 在 y x

5、0 0条件下的特解. 2. y 13 x. 2 四.应用题（10分 2） 1.要用铁板做一个体积为2m 3 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各 高数试卷2（下） 一.选择题（3分 10） 1.点m 取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 2.曲线 y f x 上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的 1 ，求此曲线方程 3 1 4,3,1 ，m2 7,1,2 的距离m1m2 b. （ ）. 连线斜率的2倍，且曲线过点 1, a. c. d. 2.设两平面方程分别为 . 试卷1参考答案 一.选择题 cbcad accbd 二.填空题 1. a. x 2y 2z 1 0 和 x y 5 0，则两平面的夹角

6、为（ ）. 6 b. 4 c. 3 d. 2 2x y 2z 6 0. 3.函数 z arcsinx y 22 的定义域为（ ）. 2. cos xy ydx xdy 6xy 9y 1 . 2 2 . a. x,y 0 x x,y 0 x 2 2 y 2 1 3. b. y 2 1 4. n 0 1 n 2 n 1 x n . c. 22 x,y0 x y 2 5. y c1 c2x e 2x . d. x,y 0 x y 22 三.计算题 2 的距离为 4.点 p 1, 2,1 到平面x 2y 2z 5 0 a.3 b.4 c.5 d.6 5.函数 z 2xy 3x2 2y 2 的极大值为（

7、 ）. a.0 b.1 c. 1 d. 12 6.设 z x2 3xy y 2 ，则 z x 1,2 （ ）. a.6 b.7 c.8 d.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的，则（ ）. n 0 a. r 1 b. r 1 c.r 1 d.r 1 8.幂级数 n 1 x n 的收敛域为（ ）. n 0 a. 1,1 b. 1,1 c. 1,1 d. 1,1 9.级数 sinna4 是（ ）. n 1 n a.条件收敛 b.肯定收敛 c.发散 d.不能确定 10.微分方程 xy ylny 0的通解为（ ）. a. y e cx b. y ce x c. y e x d. y cxe x 二.

8、填空题（4分 5） x 3 t1.直线l过点a 2,2, 1 且与直线 y t平行，则直线l z 1 2t的方程为_. 2.函数 z e xy 的全微分为_. 3.曲面 z 2x2 4y 2 在点 2,1,4 处的切平面方程为 _. 4. 11 x 2 的麦克劳林级数是_. 5.微分方程 xdy 3ydx 0 在 y x 1 1条件下的特解为 _. 三.计算题（5分 6） j k,b 2 1.设ai 2j 3k，求a b. 2.设 z u2v uv 2 ，而u xcosy,v xsiny ，求 z x, z y . 3.已知隐函数 z z x,y 由 x3 3xyz 2 确定，求 z x, z

9、 y . 4.如图，求球面 x2 y2 z2 4a 2 与圆柱面 x2 y 2 2ax（a 0 ）所围的几何体的体积 . 5.求微分方程 y 3y 2y 0的通解. 四.应用题（10分 2） 1.试用二重积分计算由y x,y 2x 和 x 4 所围图 形的面积. 2.如图，以初速度v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规 2 律 x x t .（提示： dxdt 2 g.当t 0时，有x x0 ， dxdt v0） 2. x 12 gt 2 v0t x0 . 高等数学试卷3（下） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 ） 4 a、10 b、20 c、24 d

10、、22 试卷2参考答案 一.选择题 cbaba ccdba. 二.填空题 1. a、i-j+2k b、8i-j+2k c、8i-3j+2k d、8i-3i+k 3、点p（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b 的向量积为（ ） x 21 y 21 z 12 . a、2 b、3 c、4 d、5 2. e xy ydx xdy . 4、函数z=xsiny在点（1， 4 ）处的两个偏导数分别为（ ） 3.8x 8y z 4. a、 2222 , 22 , b、 222 , 22 c、 22 4. n2n 1x n 0 . 3 d、

11、 22 2 , 5. y x . 5、设x2+y2+z2=2rx，则 . a、 三.计算题 1.8i 3j 2k 2. z z, x y 分别为（ ） x r zzzzx ryx ry , 3 d、 z z233 3xsinycosy cosy siny , 2xsinycoszysiny cosy xsiny coszzz x y , y b、 x r , y c、 3 y . 6、设圆心在原点，半径为r，面密度为 x y 22 的薄板的 3. z x32 yzxy z 2 , z y xzxy z 2 . 质量为（ ）（面积a= r 2 ） a、r2a b、2r2a c、3r2a d、 4

12、. 12 ra 2 2 a . 33 2 3 2x 7、级数 x ( 1) n 1 n x n n 的收敛半径为（ ） 5. y c1e c2e . a、2 b、 12 四.应用题 1. c、1 d、3 163 . 8、cosx的麦克劳林级数为（ ） 2n a、 ( 1) n x 2n ( 1) n x n 0 (2n)! b、 n 1(2n)! c、 2n x 2n 1 ( 1) n x n n 0 (2n)! d、 ( 1) n 0 (2n 1)! 9、微分方程(y)4+(y)5+y+2=0的阶数是（ ） 2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. a、一

13、阶 b、二阶 c、三阶 d、四阶 10、微分方程y+3y+2y=0的特征根为（ ） a、-2，-1 b、2，1 c、-2，1 d、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1 、 直 线 l1 ： x=y=z 与 直 线 l2 ： x 1 y 33 、 计 算 2 1 z的夹角为 _。 直 线 l由直线y 1,x 2及y x围成 3： xyd ， 其中dd x 1y 22 1 z与平面3x 2y 6z 0之间的夹角为 . 2 _。 2、（0.98）2.03 的近似值为_,sin100 的近似值为_。 3 、二 重积分 d ,d:x2 y 2 1的值为 _。 d 4、幂级数 n!

14、x n 的收敛半径为 _， 4 、问级数 n 0 n ( 1)n s 1i？若收敛n，则是条件收敛还是肯定 x n! 的收敛半径为 _。 n 1 n 收敛吗n 0 5、微分方程y=xy的一般解为_，微分方程xy+y=y2的解 为_。 三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组 2x-5y+3z=3 x+7y-5z=2 5、将函数f(x)=e3x展成麦克劳林级数 收 6、用特征根法求y+3y+2y=0的一般解 四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。 2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含

15、量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量m成正比，（已知比例系数为k）已知t=0时，铀的含量为m0，求在衰变过程中铀含量m（t）随时间t变化的规律。 参考答案 一、选择题 1、d 2、c 3、c 4、a 5、b 6、d 7、c 8、a 9、b 10,a 二、填空题 1、ar cos 2,arcsin 821 2、0.96，0.17365 3、 4、0，+ x 2 5、 y ce 2 ,cx 1 1 y 三、计算题 1、 解： （-3 -5 3 -2+（-82 -5 =-138 1 7 -5 7 -5 1 -5 3 3 +-8）-5 =-138 2

16、7 -5 7 -5 2 -5 2 7 同理： -3 -8 z= 414 1 2 -5 所 以 ， 方 程 组 的 解 为 x xy z 1,y 2,z 3 2、解：由于x=t,y=t2,z=t3, 所以xt=1,yt=2t,zt=3t2， 所以xt|t=1=1, yt|t=1=2, zt|t=1=3 故切线方程为： x 1y 1 11 2 z3 法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0 即x+2y+3z=6 3、解：由于d由直线y=1,x=2,y=x围成， 所以 d： y2 则2（xy+yz+zx）=a 构造帮助函数 f（x,y,z）=xyz+ (2xy 2 2yz 2zx a

17、) 2 求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得： y2 故 ： yz+2 (y+z)=0 xz+2 (x+z)=0 (x+y)=0 与2(xy+yz+zx)-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零 可得x=y=z 4、解：这是交叉级数，由于 d xyd 2 1 xydxdy y 2 2 1 (2y y 3 2 )dy 1 18 vn sin 1n1n 0，所以，vn 1 vn,且limsin 1n 代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z= 6a 0，所以该级数为莱布尼兹sin 1n 1 6型级数，故收敛。 所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为 3 1，6anv xyz 36

18、又 sin n 1 当x趋于0时，sinxx，所以，lim 发散，从而 n 1 sin 1n 发散。 n 1n 所以，原级数条件收敛 5 、 解 。 ： 因 为 e w 1 x 12! x 2 13! x 3 1n! x n x ( , ) 用2x代x，得： e 2x 1 (2x) 2 2 2 12! (2x) 2 3 3 2 13! (2x) 2 n n 3 1n! (2x)2、解：据题意 n 1 2x 2! x 3! x n! x x ( , ) 6、解：特征方程为r2+4r+4=0 所以，（r+2）2=0 得重根r1=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e,y2=xe 所以，方程的

19、一般解为y=(c1+c2x)e 四、应用题 1、解：设长方体的三棱长分别为x，y，z -2x -2x -2x dmdt m 对于元线性方程组，当r(a) r(a) r时,它有无穷多组解,则 （） （） （） （）无法确定 其中 0为常数初始条件m对于dmm dmdt mt 0 下列级数收敛的是 m式 （） ( 1) n 1 n 1 nn 1 （） 3n n n 12 （） n 1 ( 1)n 1 n （） dt lnm t lnc ce t 00 t n 1 1n 两端积分得所以，m又由于m所以，m所以，m 正项级数 un n 1 和 vn n 1 满意关系式un vn， m 则 c m0e

20、t （）若 un收敛，则 n 1 n 1 vn收敛 （）若 n 1 vn收敛，则 un n 1 由此可知，铀的衰变规律为 收敛 ：铀的含量随时间的增加 而按指数规律衰减 。 （）若 vn发散，则 n 1 un n 1 发散 （）若 un n 1 收敛，则 vn n 1 发散 高数试卷4（下） 已知： 11 x 1 x x2 ，则 11 x2 的幂级数绽开 一 选择题：3 10 30 下列平面中过点（,1）的平面是 （） （） （） （） 式为 （）1 x2 x4 （） 1 x2 x4 （） 1 x2 x4 （）1 x2 x4 二 填空题：4 5 20 在空间直角坐标系中，方程x2 y2 2表示

21、 （）圆 （）圆域 （）球面 （）圆柱面 数z x2 y2 1 ln(2 x2 y2)的定义域 为 若f(x,y) xy，则f( 已 知 二元函数z (1 x)2 (1 y)2的驻点是 （）（,） （）（,） （）（,） （）（,） yx ,1) f(x,y) 的 驻 点 ， 若 (x0,y0) 是 二重积分的积分区域是1 x2 y2 4，则 (x0,y0) 3,fyy (x0,y0) 12,fxy (x0,y0) a则 fxx 当 时，(x0,y0)肯定是微小点 矩阵为三阶方阵，则行列式3 a dxdy d （） （）4 （）3 （）15 1 x 级数 un收敛的必要条件是 交换积分次序后

22、1 1y 0dx 0 f(x,y)dy n 1 三 计算题(一)：6 5 30 （） 0 y0 dy f(x,y)dx dy 0 （）0 x 10 11 f(x,y)dx （） 已知：z xy，求： z x ， z y 0 1 dy f(x,y)dx （）0 dy f(x,y)dx 计算二重积分 d 4 x2d ，其中 阶行列式中全部元素都是，其值是 （） （） （）！ （） d (x,y)|0 y 4 x2,0 x 2 已知：，其中 12 1 1 27 2 1 ， 3解：b 1 02 01 2 ,ab 1 1 4 15 . 1 2 3 00 1 2 012 ，求未知矩阵 00 1 解：r 1

23、,当|x|1时，级数收敛，当x=1时，得 ( 1)n 1 n 1 n 收敛， n 1 求幂级数 ( 1)n 1 xnn 1 n 的收敛区间 当x 1时，得 ( 1)2n 1 n 1n 1 n 发散，所以收敛区间为 ( 1,1. 解：.由于e x xn ),所以 求f(x) e x的麦克劳林绽开式（需指出收敛区间） n 0 n! x ( , e x ( 1)nnx ( , ). ( x)n n 0 n! n 0 n! x i jk 四计算题(二)： 10 2 20 四1解：.求直线的方向向量: 求平面和的交线的标准 s 1 21 i 3 j 5k, 方程 21 1 求点:令z=0,得y=0,x=

24、2,即交点为(2,0.0),所以交线的标准方程 为:. x 21 y3 z5 x y z 1 设方程组 2解： x y z 1，试问： 分别为何值时，方程 x y z 1 111 1 1 1 1 a 1 组无解、有唯一解、有无穷多组解 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 11 1 1 01 1 2 (1) 当 2时,r(a) 2,(a ) 3,无解; (2) 当 1, 2时, r(a) (a ) 3,有唯一 解: x y z 12 ; 参考答案 一；(3) 当 1时, r(a) (a ) 1,有无穷多组解: ； x 1 c二 (x,y)|1 x2 y2 2 y1 c 6 a 6 2 x

25、 y c1 (c1,c2为任意常数) z c 2 limun 0 n 四 1解： z 1 z x yx y y xylny 高数试卷5（下） 2解： 一、 2选择题（3分/题） 4 x2 d 2 2 2 2 0dx 4 x2 4 xdy 0(4 x)dx x3 0 4x d 1、已知3 0i j，b k，则a b （ ） 1 0 1 a 0 b i j c i j d i j 2、空间直角坐标系中 x2 y 2 1表示（ ） a 圆 b 圆面 c 圆柱面 d 球面 3、二元函数 z sinxyx 在（0，0）点处的极限是（ ） a 1 b 0 c d 不存在 1 1 4、交换积分次序后 dx

26、x f(x,y)dy =（ ） 1 1 a dy f(x,y)dx b 0 1 dy 1 f(x,y)dx x 1 c dy 1y f(x,y)dx d 0 1 dy y0 f(x,y)dx 5、二重积分的积分区域d是 x y 1，则 dxdy （ ） d a 2 b 1 c 0 d 4 6、n阶行列式中全部元素都是1，其值为（ ） a 0 b 1 c n d n! 7、若有矩阵 a3 2，b2 3，c3 3 ，下 ） a ac b cb c abc d ab ac 8、n元线性方程组，当r(a) r( a) r 时有无穷多组解， 则（ ） a r=n b rn c rn d 无法确定 9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（ ） a 必等于零 b 必不等于零 c 可以等于零，也可以不等于零 d 不会都不等于零 10、正项级数 u n 和 v n 满意关系式un vn，则（ ） n 1 n 1 a 若 u n 收敛，则 v n 收敛 b 若 v n 收敛，n 1 n 1 n 1 则 u n 收敛 n 1 c 若 v n