第六章 第3节定积分在物理上的应用

1、第六章 第3节定积分在物理上的应用 第三节 定积分在物理上的应用一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力四、小结及作业 一、变力沿直线所作的功由物理学知道，假如物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力f 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向全都，那么，在 物体移动了距离 s 时，力f 对物体所作的功为 w f s.假如物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采纳“微元法” 思想. 例1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐 标原点处，它产生一个电场.这个电场对四周的电 荷有作用力.由物理学知道，假如一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为 r 的地方，

2、那么电场 q 对它的作用力的大小为 f k 2 ( k 是常数) , r 当这个单位正电荷在电场中从 r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 f 对它所作的 功. 解 取 r 为积分变量， q r a , b, o a r r dr b 1 r kq 取任一小区间r , r dr , 功元素 dw 2 dr , r kq 1 1 1 a r 2 dr kq r a kq a b . 假如要考虑将单位电荷移到无穷远处所求功为 w bb w a kq kq 1 . dr kq 2 a r r a 例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全

3、部 吸出，需作多少功？点击图片任意处播放暂停 解 建立坐标系如图取x为积分变量， x 0,5取任一小区间 x , x dx , ox x dx5 x 这一薄层水的重力为9.8 32 dx ox x dx5 功元素为 dw x 88.2 dx, x w 88.2 x dx0 5 x 88.2 3462 (千焦). 2 0 2 5 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功 n 相等，问第 n次锤击时又将铁钉击入多少？ 解 设木板对铁钉的阻力为 f ( x ) kx , 第一次锤击时所作的功为 w1 01 k

4、 f ( x )dx , 2 设 n次击入的总深度为 h厘米 n次锤击所作的总功为 wh f ( x )dx.h 0 kh2 wh 0 kxdx , 2 依题意知，每次锤击所作的功相等.h kh 2 k wh nw1 n , 2 2 n 次击入的总深度为 h n,第 n 次击入的深度为n n 1. 二、水压力由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p h ,这里 是水的比重.假如有一面积为 a 的平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平 板一侧所受的水压力为 p p a . 假如平板垂直放置在水中，由于水深不同 的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力 就不能直接使用 此公式，而采纳“微元

5、法”思 想. 例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， r 设桶的底半径为 ，水的比重为 ，计算桶的一端面 上所受的压力. 解 在端面建立坐标系如图取x为积分变量，x 0, r取任一小区间 x , x dx ox 小矩形片上各处的压强近 似相等 p x , 小矩形片的面积为 2 r2 x 2 dx. x dx x 小矩形片的压力元素为 df x 2 r 2 x 2 dx端面上所受的压力 f 2 x r x dx2 2 0 r 0 r r x d(r x )2 2 2 2 2 3 r x2 2 3 2 3 3 r. 0 r 例5 将直角边各为 a 及 2a 的直角三角形薄板 垂直地浸人水

6、中，斜边朝下，直角边的边长与 水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的 边长，求薄板所受的侧压力. 解 建立坐标系如图 2a 斜 边的 方程 y 2(a x ) :面积微元 2(a x )dx , oa 2a df ( x 2a) 2(a x)dx x f a 0 7 3 2( x 2a)(a x) dx a . 3 三、引力由物理学知道，质量分别为m1 , m 2 相距为 m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为f k , 2 r 其中k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向. 假如要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的，且各点对该质点的引力

7、方向也是变化的， 就不能用此公式计算. 例 6 有一长度为 l 、线密度为 的匀称细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点 m ,计算该棒对质点 m 的引力. 解 建立坐标系如图 l l 取y为积分变量 y , , y 2 2 o 取任一小区间 y , y dy 将典型小段近似看成质点 小段的质量为 dy , l y 2 y dy r l 2 a m x yy dy 小段与质点的距离为 r a y , o2 2 y r a m x m dy 引力 f k 2 , 2 a y水平方向的分力元素 dfx k am dy3 2 (a 2 y 2 ) l am dy 2km l 2 fx l k 2 , 3 2 2 2 (a y ) a(4a 2 l 2 )1 2 ,