能控性和能观测性讲PPT课件

1、14.3 对偶原理对偶原理一、线性定常系统的对偶关系11111111xCyBxAx1u22222222xCyBxAx2u设有两个系统，一个系统另一个系统T12T12T12BC,CB,AA21若满足下列条件，则称与是互为对偶的。 r维输入,m 维输出n的 阶系统 维输入,mr 维输出n的 阶系统 第1页/共78页24.3 对偶原理对偶原理 1系统结构图 2 系统结构图 输入输出互换；输入输出互换；信号传递反向；信号传递反向；信号引出与综合点互换；信号引出与综合点互换；各矩阵转置。各矩阵转置。第2页/共78页34.3 对偶原理对偶原理11111B)AI(C)(ssGT11T1T121222C)AI

2、(BB)AI(C)(sssGT1111T1T11T1B)AI(CC)AI(Bss)(T1sG1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。2、互为对偶的系统，其特征值相同。 1T12AIAIAIsss第3页/共78页44.3 对偶原理对偶原理二、对偶原理2)(1111C,B,A)(2222C,B,A系统 与 是互为1 能观性, 的能观性等价于 的能控性。或者2 的能控性等价于1对偶的两个系统， 则的 是状态完全能控的（完全能观的），1说，若 是状态完全能观的（完全能控的）。2则能控能观能观能控2121 第4页/共78页5例如：能观标准形例如：能观标准形-显然能观的显然能观的能控标准形能控标准形显然能控的

3、显然能控的4.3 对偶原理对偶原理第5页/共78页6 好处好处对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析十分方便。十分方便。能控标准型对于状态反馈比较方便能观标准型对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便 由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。 在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的应的几种标准形式（如前述的对角标准型、约当标准型对角标准型、约当标准型 ）4.

4、4 线性系统的能控标准形和能观标准形第6页/共78页7能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的A 和和 C 表现为能观的标准形式。表现为能观的标准形式。能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的A 和和 B 表现为能控的标准形式。表现为能控的标准形式。4.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形第7页/共78页84.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线 性变换关键：在于寻找相应的变换矩阵。理论依据：非奇异变换不改变系统的自然模 态及能控、能观性注意：只

5、有系统完全只有系统完全能控能控（能观）才能化（能观）才能化 成成能控能控（能观）标准型（能观）标准型 第8页/共78页94.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形一、能控标准形 uxxxxaaaaxxxxnnnnn10001000010000101211210121x1210nCCCCy如果一个系统的状态空间表达式为： 能控标准形则，该系统一定完全能控。则，该系统一定完全能控。第9页/共78页10 回顾：第二章讲过，根据传递函数1210100001000010naaaaA1000b110,nbbbCCxbAxxyu可写出其状态空间表达式：能控标准形0111012211)(asasasbs

6、bsbsbsGnnnnnnn 第10页/共78页114.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形若系统是完全能控的，则必定存在非奇异线性变换 或 使其变换成能控标准形： CxybuAxx设系统的状态空间表达式为：xPx1ubxAxnBAABBQnC 1Pxx 第11页/共78页124.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形xCyubxAx12101100001000010naaaaPPAA1000bbP1210nCCCC-1CPCCxybuAxx能控标准形非能控标准形xPx10111asasasAsInnn第12页/共78页134.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形1211

7、0 0 00 1npbAbA bA b且线性变换矩阵：且线性变换矩阵：其中：1111nAPAPPP证明：(由 推得 )PAPA1 PAPA第13页/共78页14nnnPPPaaaaAPPP2112102110000010000104.4 线性系统的能控标准形和能观标准形3212PAPAP21PAP1212nnnPAPAPnnnPAPAP111PAPA第14页/共78页154.4 线性系统的能控标准形和能观标准形1111nAPAPPP11110001nPbPAbbPbPAb 100011bAAbbPn10 0 11bAAbbPn111 100 0 bAAbbPn第15页/共78页164.4 4.

8、4 线性系统的能控标准形和能观标准形例例4.13 试将下列系统变换为能控标准形解解：（1）先判别系统的能控性1101AbbcQ2crankQ 系统是能控的 111101xxu x01y第16页/共78页174.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形（2）计算非奇异变化矩阵 110111AbbcQ10111P第17页/共78页184.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形（3）求得能控标准形：xCyubxAxccc第18页/共78页194.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 二、 系统的能观测标准形系统的能观测标准形 ubbbbxxxxaaaaxxxxnnnnnn12101

9、21121012110000001000010000 x1000y0111012211)(asasasbsbsbsbsGnnnnnnn 则系统必定完全能观测。如果一个系统的状态空间表达式为： 能观标准形第19页/共78页204.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形设系统的状态空间表达式为：CxybuAxx若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变换将系统变换为能观标准形xTxooooxA xb uyc x100111nCACACT1111TAATTTno o变换矩阵为：变换矩阵为：第20页/共78页214.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形xCyubxAx12101100000

10、1000010000nooaaaaATTA12101nobbbbbTb1000oCTCCxybuAxx能观标准型非能观标准型xTxo0111asasasAsInnn第21页/共78页22例例4.144.14111, 1022xxyx O11210cUcA解：解：1）判断能观性判断能观性 能观性矩阵：能观性矩阵： 试判断如下系统是否能观。如果能观，则变换成能观标准形。2）求变换矩阵求变换矩阵 第22页/共78页23423111ATTT131101242ycTxxx 第23页/共78页244.4 4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形本节小结1、能控标准型、能观标准型的基本形式；2、牢固掌握将系

11、统的传递函数或状态方程和输出方程转化为能控标准型、能观标准型的方法； （重点：变换矩阵）3、注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标准 型、能观标准型 （即：在化能控标准型时需先判断系统是否能控，而在化能观标准型需先判断系统是否能观）。第24页/共78页254.5 线性系统的结构分解p 系统中只要有一个状态变量不能控，则称系统不能控； 不能控系统一般含有能控和不能控两种状态变量。p 只要有一个状态变量不能观，则称系统不能观； 不能观测系统一般也有能观和不能观两种状态变量。把系统能控或能观部分同不能控或不能观部分区分开来，将有利于更深入了解把系统能控或能观部分同不能控或不能观部分区分开来，将有利

12、于更深入了解系统的内部结构。系统的内部结构。因此，从能控性、能观性角度出发： 状态变量可分成：状态变量可分成：能控能观状态变量、能控不能观状态变能控能观状态变量、能控不能观状态变量、不能控能观状态变量、不能控不能观状态变量量、不能控能观状态变量、不能控不能观状态变量四类。四类。 采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态变量作坐标轴构成采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分成四类子系统，这些统称为的子空间也分成四类，并把系统也相应分成四类子系统，这些统称为系统的结系统的结构分解构分解。第25页/共78页26000cc

13、cccxxxx0cx0cxx-能控能观能控能观-能控不能观能控不能观-不能控能观不能控能观-不能控不能观不能控不能观coxcox4.5 线性系统的结构分解第26页/共78页27一、按系统的能控性分解 设线性定常系统为 其能控性判别矩阵， 系统不能控。 存在非奇异变换矩阵 ，对系统进行状态变换BuAxx.CxynrrankcQ 的构成CPxPxCCP4.5 线性系统的结构分解r个线性无关列向量任意n-r个列向量第27页/共78页28则 其中：xCyuBxAx21CCCPCc011BBPBCccxxxrcRx rncRx -能控状态子向量能控状态子向量-不能控状态子向量不能控状态子向量rn-rr

14、n-r4.5 线性系统的结构分解22121110AAAAACCPPrrnrrn第28页/共78页29将变换后的动态方程按前r维和后n-r维展开，则有:ccxAx22uBxAxAxccc112112121yyxCxCyccCxCy2222ccxA x4.5 线性系统的结构分解c1c12c11cxCBxAxAx11yu其中，r维能控子系统:n-r维不能控子系统:第29页/共78页304.5 线性系统的结构分解关键：非奇异变换阵的构造n个列向量的求法如下：1）前 r 个列向量 是能控性判别矩阵 中的r个线性无关的列；2）另外 个列向量 ，在确保 为非奇异的条件下任意选择。n1rr21cPPPPPPr

15、21,PPPBAABBQ1nc)(rn n1r,PPcP第30页/共78页31u4.5 线性系统的结构分解y1Bs/11C11A12As/12C22Acxcx cx cx1y2y按能控性分解的系统分解结构图按能控性分解的系统分解结构图CxCy2222ccxA xc1c12c11cxCBxAxAx11yu第31页/共78页324.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解注意！注意！系统按能控性分解后：系统按能控性分解后：1 1）能控性不变；）能控性不变；2 2）传递函数矩阵不变；）传递函数矩阵不变； 且且能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函 数矩阵相同

16、数矩阵相同 （换言之，不完全能控系统中，（换言之，不完全能控系统中，传递函数矩阵只传递函数矩阵只描述能控子系统的特性描述能控子系统的特性）。）。11( )()()G sC sIABC sIAB第32页/共78页33由前面知识，已知，分由前面知识，已知，分解后的能控子系统：解后的能控子系统：能控子系统的传递函数矩阵4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解c1c12c11cxCBxAxAx11yu第33页/共78页34例4.15、试对系统进行能控性分解。xyuxx210 011310301100.32210311101 2rankbAAbbrankQrankc4.5 线性系统的结构分解线性系统

17、的结构分解解：所以系统不能控。第34页/共78页35若选取11121122131 1100112011 -CCPPxPxC4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解xCPybuPxAPPxCCCC11则通过第35页/共78页361维不能控子系统：ccccxyuxxx11012121101ccxxcxy224.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解2维能控子系统：第36页/共78页374.5 线性系统的结构分解能控子系统： ccccxxxx11012121101yucccxxx22y方程：同理可得分解后的动态若改选110011001cP不能控子系统:ccccxyuxxx11012121101

18、ccxxcxy22第37页/共78页38练习：为了进一步理解在构造变换阵列时，第n-r个列向量是任意选取的（只需保证变换阵为非奇异的前提条件下） 若对例4.15，选取 请自行对系统进行能控性分解。TCP10134.5 线性系统的结构分解第38页/共78页39二、按系统的能观性分解设系统的状态空间表达式为xAxBuyCx 假设对系统的能观性矩阵有（n为状态向量维数），则系统不完全能观。 4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解nlrankoQ 那么，必然可引入非奇异线性变换：则uBxAx.xCy xTxo第39页/共78页40ooxxxloxRn loxR-能观子状态能观子状态-不能观子状不

19、能观子状态态lnlnlllnl4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解nllm12oBBT BBn llr-1-1第40页/共78页41则uBxAx10110.21222oooxA xA xB u1oyC x11111, oooxA xB uyC xy212222 , 0oooxA xA xB uy4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解将变换后的动态方程按前L维和后n-L维展开，L维能观子系统：n-L维不能观子系统：第41页/共78页421Bs/11C11As/12B22Aox oxuyy 121Aox ox4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解按能观性分解的系统分解结构图按能

20、观性分解的系统分解结构图11111, oooxA xB uyC xy212222 , 0oooxA xA xB uy第42页/共78页434.5 线性系统的结构分解关键：非奇异变换阵的构造n个行向量的求法如下：1）前 L个行向量 是能观性判别矩阵 中的L个线性无关的行向量；2）另外 个行向量 ，在确保 为非奇异的条件下任意选择。lTTT,21ToCCC1nAAQ)(ln n1,TTl1TTlloTTTTTTn1211oQ 中L个线性无关的行向量 任意n-L个行向量1oT第43页/共78页44例4.16、进行能观性分解。xuxx2-10y 0113103011004.5 线性系统的结构分解线性系

21、统的结构分解所以不能观。解： （1）判断能观测性第44页/共78页45（2）构造非奇异变换阵 取在保证 非奇异的条件下，任取 ，有：oT3211oTTTT2101T321 2T1oT1003T1003212103211oTTTT10020111211oo)(TT4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解第45页/共78页46于是 ， ，即 经过4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解uBxAxxCyuTTTBxxAxx1oooo1oooooxxy001uxxoo011101021010 xTxo第46页/共78页47不能观子系统：1011 1 0121oooxxu yx21 0 , 0o

22、ooxxxy4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解能观子系统：第47页/共78页48三、同时按能控性和能观性进行结构分解能控性分解定理+能观性分解定理=卡尔曼的典型分解定理，又称标准分解定理。 假设系统：不能控也不能观标准分解的步骤：标准分解的步骤： BuAxx.CxycccxxPx进行能控性分解进行能控性分解对能控子系统进行对能控子系统进行能观性分解能观性分解4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解第48页/共78页49 不能控子系统，能观性分解不能控子系统，能观性分解ococococococcooccccccccxTPxTPxTPxTPxPxPxxPx22114.5 线性系统的结

23、构分解线性系统的结构分解第49页/共78页50 xTx x4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解ocococcoococococxxxxTPTPTPTPx2211TococococococcooccccccccxTPxTPxTPxTPxPxPxxPx2211第50页/共78页5111131212223242334344000000000cocococococococoAAxxBxxAAAABuxxAxxAA13123400cocococoxxyyyyyCCxx4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解后，有：经非奇异线性变换xTx 第51页/共78页52能控能观：能控不能观：不能控能观

24、：不能控不能观：1113111 cocococoxA xA xB uyC x2122232422 0cococococoxA xA xA xA xB uy:co:co:co3333 , cococoxA xyC x43444, 0 cococoxA xA xy:co4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解第52页/共78页53111 1133111 1xA xA xBuyC x221 1222233244220 xA xA xA xA xB uy3333333xA xyC x443344440 xA xA xy3y1y4.5 线性系统的结构分解线性系统的结构分解11111()( )coC

25、sIABGs1( )()G sC sIAB系统的传递函数矩阵仅仅决定于系统的传递函数矩阵仅仅决定于能控能观子系统能控能观子系统。即，传递函数矩阵是对系统结构的不完全描述。即，传递函数矩阵是对系统结构的不完全描述。第53页/共78页54xuxx210y 011310301100例4.17、 试对该系统进行标准分解。第54页/共78页5532210311101 2rankbAAbbrankQrankc32 ocQrankQrank系统不能控且不能观。系统不能控且不能观。 由：解:第55页/共78页56(A，b，c)进行能控性分解进行能控性分解( , , )AbcxPxcccxxx210311101

26、 2rankbAAbbrankQrankc取110011001cP第56页/共78页57取110011001cP1110110011cP1002211101ccAPPA0011bPbc211cCPC则：第57页/共78页58xuxx211y 001100221110.ccccxyuxxx1101212110cccxyxx2 能控子系统：能控子系统：不能控子系统：不能控子系统：显然显然 ccoxx 能观第58页/共78页59只需对能控子系统进行能观性分解：cocoxxx取ccccxyuxxx1101212110第59页/共78页601011 1120cococoxxux ccccxyuxxx11

27、01212110第60页/共78页61标准分解:101111200010cocococococoxxxxuxx 102cococoxyxxocococxyxx2 1011 1120cococoxxux 第61页/共78页624.6 4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系能控性、能观性-描述系统的内部特性传递函数-描述系统的外部特性问题：两者关系如何？ 换言之，基于传递函数的能控、能观性条件是怎样的？第62页/共78页63 例：如下所示的两个状态空间模型能控不能观！4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系1 1）第63页/共78页64能观不能控！传递函数相同的不同状态空间模型带来显著的能控

28、、能观性的差异！4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系2 2）第64页/共78页65可见， 其传递函数中均其传递函数中均出现了出现了零极点相消或重合零极点相消或重合现象现象。 虽然虽然都是存在零极点相消现象，但一个不都是存在零极点相消现象，但一个不能控，一个不能观。能控，一个不能观。 传递函数的零极相消会导致系统能控、能传递函数的零极相消会导致系统能控、能 观或能控能观性的缺失；观或能控能观性的缺失； 具体缺失什么，与状态变量的选取有关。具体缺失什么，与状态变量的选取有关。4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系第65页/共78页66设 单输入单输出系统buAxx.Cxy)()()()(

29、)(1sDsNbASIASIadjCbASICsG4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系定理定理1 1：单变量系统能控又能观的：单变量系统能控又能观的充要条件充要条件 是是G(s)G(s)中中没有零极点相消没有零极点相消现象。现象。 第66页/共78页67设A的特征值互异： , 则系统可化为：n,21ubbbxxnn2121.niiinxCxCCCy12100iiCbixix00iiCb系统能控能观系统能控能观不能控不能控不能观不能观4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系第67页/共78页68验证能控性： 设 不能控，则 一定存在零极点对消。 01b1xbASI1)(4.6 能控性、能

30、观性与传递函数矩阵的关系第68页/共78页69验证能观性： 设 不能观，则 一定存在零极点对消。01C1)( AsIC121210)(nnsssCCAsIC1xnnnnnnCssCsssssssCsCs)()()()(0 )()(012232112214.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系第69页/共78页70 一个系统的传递函数所表示的是该系统既一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统。能控又能观的那一部分子系统。 一个系统的传递函数若有零极点对消现象一个系统的传递函数若有零极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的或是不能控亦不能观能控的或是不能观的或是不能控亦不能观的。的。两个推论两个推论 4.6 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系第70页/共78页71例4.18、考虑下列传递函数所描述系统的能控能观性