2020年湖南省衡阳市中考数学试卷

1、2020年湖南省衡阳市中考数学试卷、选择题（本大题共 12个小题，每小题3分，满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(3分)3的相反数是（2.3.(3分)(3分)C.F列各式中，计算正确的是C.2 35(a ) aD . a4a2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来,直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（4.5.6.8A . 1.2 10B . 1.2107QC . 1.2 10D. 1.210 8（3分）下列各式中正确的是 （A.| 2| 2C. 393D . 30（3分）下面的图形是用数学家名字命名的,其中

2、既是轴对称图形又是中心对称图形的是(1（3分）要使分式 有意义，则X的取值范围是（X 1C. X 1（3分）如图，在四边形 ABCD中，对角线AC和BD相交于点F列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A. AB/DC , AD /BCC . AB/DC , ADB . AB DC , ADBCBCD . OA OC ,第7页（共24页）OB OD& （ 3分）下列不是三棱柱展开图的是（）A .C .9. （ 3分）不等式组X 1的解集在数轴上表示正确的是（）2t I J2l0 12 AA .10. （3分）反比例函数y-10 12k经过点（2,1），则下列说法错误的是（）XB

3、 函数图象分布在第一、C 当X 0时，y随X的增大而增大D .当X 0时，y随X的增大而减小11.（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道， 使种植面积为600平方米，则小道的宽 为多少米？若设小道的宽为 X米，则根据题意，列方程为 （）2A. 35 20 35x 20x 2x 600B. 35 20 35x 2 20X 600C. （35 2x）（20 X） 600D. （35 x）（20 2x） 60012.（3分）如图1 ,在平面直角坐标系中， Jabcd在第一象限，且 bc/x轴.直线y X 从原点O出发沿

4、X轴正方向平移，在平移过程中，直线被 LJABCD截得的线段长度n与直线 在X轴上平移的距离 m的函数图象如图2所示.那么CABCD的面积为（）二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，满分18分.）213. （3分）因式分解：a a .2X X14. （3 分）计算：X一X X _.X15. （3分）已知一个n边形的每一个外角都为 30 ,则n等于_16. （3分）一副三角板如图摆放，且 AB/CD ,贝U 1的度数为17. （ 3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 名.J2218. （3分）如图，在平面直角坐标系中，点R的坐标为（,）,将线段OR绕点0

5、按2 2顺时针方向旋转45 ,再将其长度伸长为 OPI的2倍，得到线段OB ;又将线段0F2绕点0按顺时针方向旋转45 ,长度伸长为0P2的2倍，得到线段OPi ;如此下去，得到线段0巳，OR ,的坐标是1920题每题6分，2124题每题8分，25题10分,26题12分，满分66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19. （6 分）化简：b（a b） （a b）（a b）.2个黑球和n个白球，搅匀后20. （6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13（1）求 n的值;2个球，求（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随

6、机摸出第两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.请用画树状图或列表的方法进行说明.21. （8分）如图，在ABC中， B C ,过BC的中点D作DE AB, DFAC ,垂足分别为点E、F .(1)求证：DE DFBAC的度数.中，全22. （8分）病毒虽无情，人间有大爱.2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”国（除湖北省外）共有 30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下:（数据分成 6组：1500 ,900 ,1300, 130EX 1700, 170EX 210

7、0, 210X 2500 .*频数/省E市厂'卜数Lo100 500 900 1300 1700 2100 2300支援武汉的医务人员人数f个根据以上信息回答问题:（1）补全频数分布直方图.（2） 求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“ 00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁.小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“ 90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有 83人是

8、“ 90后”.（3） 请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23. （8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线 OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120时，感觉最舒适（如图 ）侧面示意图为图 ；使用时为 了散热，他在底板下面垫入散热架， 如图，点B、0、C在同一直线上，OA OB 24cm ,BC AC , OAC 30 . ®（1）求OC的长；（2） 如图，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB与水平线的夹角仍保持 120 ,求点B到AC的距离.（结果保留

9、根号）24. （8分）如图，在 ABC中， C 90 , AD平分 BAC交BC于点D ,过点A和点D的 圆，圆心O在线段AB上，0O交AB于点E ,交AC于点F .（1）判断BC与0O的位置关系，并说明理由；（2）若 AD 8 , AE 10,求 BD 的长.(2,0).第5页（共24页）225.（ 10分）在平面直角坐标系 XOy中，关于X的二次函数y X px q的图象过点（1,0）,(1)求这个二次函数的表达式;时，y的最大值与最小值的差;(2)求当第6页(共24页)2y X PXq的图象交点的横坐标分ABC的底边BC在X轴上，BC 8 ,在BC的同侧，设运动的时间为t秒(1)当点H落

10、在AC边上时，求t的值;(2)设正方形EFGH与 ABC重叠面积为S ,请问是否存在t值，使得S91 ?若存在,36求出t值；若不存在，请说明理由;(3) 如图2,取AC的中点D ,连结OD ,当点E、F开始运动时，点 M从点O出发，以每秒2 5个单位的速度沿 OD DC CD DO运动，到达点 0停止运动.请问在点 E的整个运动过程中，点 M可能在正方形EFGH内(含边界)吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内(含边界)的时长；若不可能，请说明理由.(3) 次函数y (2 m)x 2 m的图象与二次函数别是a和b ,且a 3 b ,求m的取值范围.4321IIlIIIlII.-5 -4 -

11、3 -2 -1 I-1-2-3*426. (12分)如图1,平面直角坐标系 XOy中，等腰顶点A在y的正半轴上，OA 2 ,一动点E从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB向 左运动，到达OB的中点停止.另一动点 F从点C出发，以相同的速度沿 CB向左运动，到达点O停止.已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形 EFGH ,使正方形EFGH和 ABC2020年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. （ 3分）3的相反数是（）A. 3B.3C.【分析】根据相反数的意义，只有符号不同

12、的数为相反数.【解答】解：3的相反数是3.故选：A 2. （ 3分）下列各式中，计算正确的是（）A3 25= 32,2、352占35A. a a aB. a a aC. （a） aD. a Ia a【分析】根据合并同类项、同底数幕乘除法的性质进行计算即可.【解答】解：a3 a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项 B不符合题意；（a2）3 a23 a6 ,因此选项C不符合题意；a2a3 a23 5 ,因此选项D符合题意；故选：D .3 . （ 3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用

13、科学记数法表示为 （）87Q8A . 1.2 10B . 1.2 10C . 1.2 10D . 1.2 10【分析】科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中Iqlal 10 , n为整数.确定n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.【解答】解：1.2 亿 120000000 1.2 108 .故选：A.D . 30 14. （ 3分）下列各式中正确的是 （）A .| 2| 2B .42C . 3Q 3【分析】根据算术平方根，绝对值，立方根，零指数幕即可解答.第7页（共24页）【解答】 解：A、| 2|2 ,故此选项错误;B、42 ,故此选项错

14、误；C、3 93 ,故此选项错误；D、301 ,故此选项正确；故选：D .5. （ 3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是赵爽弦图A .【分析】 直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.【解答】 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意;B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意.故选：B .6. （ 3分）要使分式 丄有意义，则X的取值范围是（）X 1A. X 1B. X 1C. X 1D. X 0【分析】直接利

15、用分式有意义的条件分析得出答案.【解答】解：要使分式 有意义，则X 10,X 1解得：X 1.故选：B .7 . （ 3分）如图，在四边形 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O ,下列条件不能判断四 边形ABCD是平行四边形的是（）B AB DC , AD BCC AB/DC , AD BCD OA OC ,OB OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形 ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平

16、行四边形；选项 C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形.【解答】 解：；AB/DC , AD /BC ,四边形ABCD是平行四边形，故选项 A中条件可以判定四边形 ABCD是平行四边形；* Ii AB DC , AD BC ,四边形ABCD是平行四边形，故选项 B中条件可以判定四边形 ABCD是平行四边形；:AB/DC , AD BC ,则无法判断四边形 ABCD是平行四边形，故选项 C中的条件，不 能判断四边形 ABCD是平行四边形； II OA OC , OB OD ,四边形ABCD是平行四边形，故选项 D中条件可以判定四边形 ABCD是平行四边形； 故选：C .& （ 3

17、分）下列不是三棱柱展开图的是（）【解答】 解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三 棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图.C不能围成三棱柱.B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有故故选：B X 10,的解集在数轴上表示正确的是32II II M0 12；I 4"BLa_II 】-XA 9（3分）不等式组 X 2-1 O-J_J_I_IA0 123J_*-Inl 2【分析】分别求出X【解答】解：X的解集,0,23再找到其公共部分，在数轴上表示出来即可求解.第14页（共24页）由得,由得X 2 ,在数轴上表示为:故不

18、等式组的解集为2-10 12故选：C 10. （3分）反比例函数yk-经过点（2,1），则下列说法错误的是（）XB 函数图象分布在第一、三象限C .当X 0时，y随X的增大而增大D .当X 0时，y随X的增大而减小【分析】根据反比例函数y k经过点（2,1）,可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质,X即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.【解答】解：T反比例函数y -经过点（2,1）,XJk2，解得，k 2 ,故选项A正确; II k 20 ,该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确;当X 0时，y随X的增大而减小，故选项C错误、选项D正确;故选：C 11. (3分)如图，学校

19、课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道， 使种植面积为600平方米，则小道的宽X米，则根据题意，列方程为(为多少米？若设小道的宽为A. 35 20 35x 20x22x 600B. 35 20 35x 2 20x600C. (35 2x)(20 x) 600D. (35x)(202x)600第18页（共24M）【分析】若设小道的宽为X米，则阴影部分可合成长为(35 2x)米，宽为(20 x)米的矩形,利用矩形的面积公式，即可得出关于X的一元二次方程，此题得解.【解答】 解：依题意，得：(352x)(20 x) 600 .故选：C

20、.12. ( 3分)如图1 ,在平面直角坐标系中,ABCD在第一象限，且 BC/X轴.直线y X从原点O出发沿X轴正方向平移，在平移过程中，直线被ABCD截得的线段长度n与直线在X轴上平移的距离 m的函数图象如图2所示.那么ABCD的面积为()T' = VBBlB . 32AD的长和边AD边上的高D . 62【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边BM的长，从而可以求得平行四边形的面积.【解答】解：过B作BM AD于点M ,分别过B , D作直线y X的平行线，交AD于E , 如图1所示，y+ -由图象和题意可得，AE 6 42 , DE 7 61 , BE 2,AB 2

21、 13,直线BE平行直线y X ,BM EM 2 ,平行四边形 ABCD的面积是： ADlBM 3 ,23 2 .故选：B .二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 3分，满分18分.）213. （3 分）因式分解：a a _a（a 1）_.【分析】 直接利用提取公因式法分解因式得出答案.【解答】解：a2 a a（a 1）.故答案为：a（a 1）.2X X14. （3 分）计算：X一X X _JL-.X【分析】直接利用分式的基本性质化简进而计算即可.【解答】解：原式空卫XXX 1 X1 .故答案为：1 .15. （3分）已知一个n边形的每一个外角都为 30 ,则n等于 _.【分析】根据多边形的

22、外角和等于 360列式计算即可.360 ,【解答】 解：一个n边形的每一个外角都为 30 ,任意多边形的外角和都是n 3603012 .故答案为：12 .16. （ 3分）一副三角板如图摆放，且AB/CD ,贝U 1的度数为105【分析】利用平行线的性质得到2 D 45 ,然后结合三角形外角定理来求1的度数.【解答】 解：如图，：AB/CD， D 45，2 D 45 .* iI 123，3 60 ，1234560105 .17. （3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的 2倍少17人，则女生有 23名. 【分析】设女生有X名，根据某班有 52名学生，其中男生人数是女生人数的 2倍少1

23、7人，可以列出相应的方程，解方程即可求解.【解答】解：设女生有X名，则男生人数有（2x 17）名，依题意有2x 17 X 52 ,解得X 23 .故女生有23名.故答案为：23.18. （3分）如图，在平面直角坐标系中，点R的坐标为 迸,）,将线段OR绕点0按2 2顺时针方向旋转45 ,再将其长度伸长为 OR的2倍，得到线段0P2 ；又将线段0F2绕点0按 顺时针方向旋转45 ,长度伸长为OB的2倍，得到线段OR ;如此下去，得到线段OR ,OR ,OPn（n为正整数），则点2019P>Q20的坐标是_ (0, 2)yPlO【分析】根据题意得出1 , OP22 , OP34 ,如此下去，

24、得到线段OP4823 ,OP5 16 24 , OPn 2n1 ,再利用旋转角度得出点P2Q20的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案.【解答】解：点R的坐标为（至,吃），将线段OPl绕点O按逆时针方向旋转45 ,再将2 2其长度伸长为OPI的2倍，得到线段OP2；OPl 1，OF22，34OP34 ,如此下去，得到线段 OR 2，OP52OPn2n由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， II 2020 82524，点P2020的坐标与点Pt的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上,点P2020的坐标是（0, 22019）.故答案为：（0, 22019）.三、解答题（木大题共 8个小题，

25、1920题每题6分，2124题每题8分，25题10分,26题12分，满分66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. （6 分）化简：b（a b） （a b）（a b）.【分析】根据单项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简即可.【解答】解：b（a b） （a b）（a b）2 2 2ab b a bab a2 .20. （6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为1 .3（1）求n的值；（2） 所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.请用画树

26、状图或列表的方法进行说明.【分析】（1）根据摸到白球的概率为 1 ,列方程求解即可；3（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率.【解答】解：（1）由概率的意义可得，1 ,解得，n 1 ,2 n 3答：n的值为1 ;（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:1 第1>2白1 1112I白勲Il斗虫白駛白黑1白黒2白白白共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种.第20页（共24M）21. （8分）如图，在 ABC中， BC ,过BC的中点D作DE AB, DF AC ,垂足分别为点E、F .(1) 求证：DE DF ;(2

27、) 若 BDE 40 ,求 BAC的度数.【分析】(1)根据DE AB, DF AC可得 BED CFD 90 ,由于 B C , D是BC的中点，AAS求证 BED CFD即可得出结论.（2）根据直角三角形的性质求出B 50 ,根据等腰三角形的性质即可求解【解答】（1）证明：IIDE AB , DF AC ,*BED CFD 90，:D是BC的中点，BD CD，在BED与CFD中，BED CFDB C ，BD CDBED CFD（AAS），DE DF ；（2）解：Z BDE 40，1B 50 ，C 50 ，BAC 80 .22. （ 8分）病毒虽无情，人间有大爱.2020年，在湖北省抗击新冠

28、病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有 30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直（数据分成 6组：10KX 500 ,方图（不完整）和扇形统计图如下:900 ,1300, 130¾X 1700, 170X 2100, 210X 2500.根据以上信息回答问题:第21页（共24页）(1) 补全频数分布直方图.(2) 求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数.据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“ 00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁.小华在收

29、集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“ 90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有 83人是“ 90后”.(3) 请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中，“90后”大约有多少万人？(写出计算过程，结果精确到0.1万人)【分析】(1)根据题意和直方图中的数据，可以计算出130KX 1700这一组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；(2) 根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占 圆心角度

30、数；(3) 根据小华给出的数据，可以计算出在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中，“90后”大约有多少万人.【解答】解：(1)由直方图可得，130KX 1700 ,这一组的频数是：30 3 10 10 2 1 4 ,补全的频数分布直方图如右图所示；3(2) 36036 ,30即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36 ；(3) 4.2404 103 831.2 (万人)，1614 338 148答：在支援湖北省的全体医务人员(按4.2万人计)中，“90后”大约有1.2万人.第24页(共24页)线OA所在水平线的夹角为120时，感觉最舒适(如图 )侧面示意图为图

31、；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图，点B、0、C在同一直线上，OA OB 24cm，BC AC， OAC 30 ®(1)求 OC 的长;(2)如图，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB与水平线的夹角仍保持 120 ,求点B到AC的距离.(结果保留根号)【分析】(1)解Rt AOC即可求出OC的长；(2)求出 BOE 60 ,在Rt BOE中求出B E ,进而求出 B D .【解答】 解：(1)如图，在Rt AOC中，OA 24, OAC 30 .11OC OA 2412(Cm)；22(2)如图，过点B作BD AC ,垂足为 D ,过点O作OE B D ,垂足为E ,由题意

32、得，OA OB 24 ,当显示屏的边缘线OB与水平线的夹角仍保持 120 ,看可得， AOB 150BOE 60 ,I ACO B EO 90 ,在 Rt BoE 中，BE OB sin 6012.3 ,又' 'OC DE 12 ,B D B E DE 12 12.3 ,即：点B到AC的距离为(12 12.3)cm .24. (8分)如图，在ABC中,C90 , AD平分BAC交BC于点D ,过点A和点D的圆，圆心O在线段 AB上，0O交AB于点E ,交AC于点F .(1) 判断BC与0O的位置关系，并说明理由；(2) 若 AD 8 , AE 10,求 BD 的长.B【分析】(

33、1)连接OD ,根据平行线判定推出 OD /AC ,推出ODBC ,根据切线的判定推出即可;32(2)连接DE ,根据圆周角定理得到ADE 90 ,根据相似三角形的性质得到AC 一 ,5根据勾股定理得到CD AD2 AC2 F*)2貯，根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】解：(1) BC与0O相切,理由：连接OD ,«II OA OD ,OAD11I AD平分ODA ,BAC ,BADCAD ,ODA CAD ,OD / /AC ,C 90 ,ODC 90 ,OD BC ,；OD为半径，BC是0O切线；（2）连接DE ,:AE是OO的直径,ADE 90 ,C 90 ,ADEC

34、,EADDAC ,ADE SACD ,AE ADAD AC10 88 ACAC325，CD/22 232 224AD AC8()55* IODBC , AC BC ,OBDS ABC ,QD BDAC BC5325BDBD24，5BD120第20页（共24页） _ 2 1 -,25. （10 分）在平面直角坐标系 XOy中，关于X的二次函数y x px q的图象过点（1,0）,(2,0) (1)求这个二次函数的表达式;(2)求当第22页（共24M）PX q的图象交点的横坐标分(3) 次函数y (2 m)x 2 m的图象与二次函数 y 2别是a和b ,且a 3 b ,求m的取值范围.W4321I

35、IlIIIlII.-5 -4 -3 -2 -1 I-1-2P I23斗5工【分析】(1)由二次函数的图象经过(1,0)和(2,0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式;(2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当X,函数有最大值4;当1X -是函数2有最小值 9 ,进而求得它们的差;4(3)由题意得 X2 X 2(2 m)X 2m，整理得(m 3)x m 40,解方程求得XI1 , X24 m ,根据题意得到43 ,解得【解答】解：(1)由二次函数PXq的图象经过(1,0)和(2,0)两点,1 P q 0 ,解得P4 2p q 0q此二次函数的表达式 y X2(2) 抛物线开口向上，对称轴为直线在2范围内，当X2 ,函数有最大值为:y 4 224 ;当X -是函数有最小2的最大值与最小值的差为:4(9)25 ;44(3) y (2 m)x 2 m与二次函数y 2 2图象交点的横坐标为 a