工程力学(上)电子教案第八章分解

1、第八章点的合成运动第一节相对运动牵连运动绝对运动第二节点的速度合成定理教学时数：2 2 学时教学目标：1 1 深刻理解三种运动、三种速度和三种加速度的定义，运动的合成与分解以及运动相对性的概念。2 2、 对具体问题能恰当地选择动点、动系和定系，进行运动轨迹、速度分析。3 3、 会推导速度合成定理，并能熟练地应用该定理。教学重点：运动的合成与分解，速度合成定理及其应用教学难点：动点、教学方法：动系的选择和相对运动的分析。板书+ PowerPoi nt教学步骤:一、概念前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。而在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的为了研究方便，把所研究的点称为动点，把其中一个坐标

2、系称为静坐标系（一般固连于地球上）；而把另一个相对于静坐标系运动的坐标系称为动坐标系。为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定：动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动。动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动。动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，而牵连运动是指参考体的运动，实际上是刚体的运动。动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度。动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为相对轨迹、相对速度和相对加速度。在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点(瞬时牵连点)相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时的牵连速度和牵连加速度。用va和aa

3、分别表示绝对速度和绝对加速度。用vr和ar分别表示相对速度和相对加速度。用ve和ae分别表示牵连速度和牵连加速度。例 1 1 如图杆长I ,绕0轴以角速度3转动，圆盘半径为r,绕0轴以角速度3转动。求圆盘边缘 M Mi和 M M2点的牵连速度和加速度。解：静系取在地面上，动系取在杆上，则2Vei=(l -r) aei=(l -r) ve2二12r2ae2二I2r22、点的速度合成定理例 1 1、在凸轮顶杆机构中已知凸轮以速度v直线平动，已知半径为R，求图示角时顶杆F面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速度的关系。如图，由图中矢量关系可得:将上式两端同除 t t，并令 t tT0 0,取极限,MM

4、 *MM1 tM1M Iim T由速度的定义:iimMM1iimM1MMM2-和m二Vr于是可得:Vr即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。Vriy解：1 1 选动点、动系：动点 A A,动系凸轮。2 2 三种运动分析：绝对运动：直线相对运动：圆周运动牵连运动：直线平动3 3 速度分析：Va=VeVr4求解：VAB=va=vectg =vctg思考：如选 ABAB 杆为动系，凸轮上的点为动点，怎样分析?例 2 2 如图车 A A 沿半径为 150m150m 的圆弧道路以匀速vA=45kmh行驶,速VB=60km h行驶，两车相距 30m

5、,30m,求：（1 1）A A 车相对 B B 车的速度;解：（1 1）以车 A A 为动点，静系取在地面上，动系取在车B B 上。动点的速度合成矢量图如图。1 1B B 沿直线道路以匀（2 2）B B 车相对 A A 车的ABAB 的速度。vA45 c c sin “-0.6vr175-M=36.9 ve=180 0.083 = 15m/s = 54km/svr2二vBv；= 80.72km/hv-R45 1033600 150=0.083rad /s由图可得：vr1=Jv；+v；=v；+v；=75km/h(2(2)以车 B B 为动点，静系取在地面上，动系取在车A A 上。动点的速度合成矢

6、量图如图。Vriyve54sin -2一0.669vr280.72例 3 3 曲柄摇杆机构，设OA = r，以匀角速度0转动图中OiO =1。求OA_OO时，摇杆O，动系O1B。2 2 三种运动分析：绝对运动：圆周运动直线相对运动：直线牵连运动：圆周运动3 3 速度分析：va二vevr4求解：ve=vasinO1BO|B思考：如选OA杆为动系，O1B上的点为动点，怎样分析？例 4 图示平底顶杆凸轮机构，顶杆 AB 可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速 度3绕 O 轴转动，O 轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面， 设凸轮半径为 R 偏心距 OC=e，OC 与水平线的夹角为，试求当

7、:=45时, 顶杆 AB 的速度。O1B的角速度。解：1 1 选动点、动系：动点解：以凸轮圆心 C C 为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上，动点的速度合成矢量图如 图。由图可得：ve=vacos = e，cos45 = 2e，e a2课堂小结：由上述例题，可将应用速度合成定理求解问题的大致步骤总结如下：1 1、选取动点、动系和静系。动点、动系和静系的正确选择是求解点的复合运动问题的 关键。在选取时必须注意：动点、动系和静系必须分属三个不同的物体，否则三种运动 中就缺了一种运动，而不成其为复合运动。此外动点、动系和静系的选择，应使相对运 动比较简单明显。2 2、 分析三种运动。对于绝对、相对

8、运动，主要是分析其轨迹的具体形状；而对于牵连 运动，则是分析其刚体运动的具体形式。分析三种运动的目的是为了确定三种运动的方位线，以便于画出速度平行四边形。3 3、画出速度平行四边形，分析问题的可解性。三种运动速度的大小和方向共六个量， 其中至少已知四个才可解。必须注意，作图时要使绝对速度成为平行四边形的对角线。4、根据速度平行四边形的几何关系求解未知量。作业布置：1 1、课本思考题 8-28-22 2、 课本习题 8-38-3、8-48-4、8-58-5、8-68-6、8-78-7、8-88-8、8-98-9、8-108-10。教学后记:A 13第三节牵连运动为平动时的加速度合成定理教学时数：

9、2 2 学时教学目标：1 1、对具体问题能恰当地选择动点、动系和定系，进行加速度分析。2 2、会推导牵连运动为平动时点的加速度合成定理，并能熟练地应用该定理。教学重点：加速度合成定理及其应用。教学难点：牵连点、牵连速度、牵连加速度的概念教学方法：板书+ PowerPoi nt教学步骤：、关于速度合成定理上一节课剩余的例题例 5 5 两直杆分别以Vi、V2的速度沿垂直于杆的方向平动，其交角为a,求套在两直杆上的小环 M M 的速度。ABAB 杆上，动点的速度合成矢量图如图。V2于是有：va= ve1Vr1(1)以小环 M M 为动点，静系取在地面上，动系取在CDCD 杆上，动点的速度合成矢量图如

10、图。比较（1 1）、（ 2 2）式，可得：Ve1+Vr1=Ve2+Vr21 1(VeiCOS匚-Ve2)(ViCOS：- V2)sin二sin :1_22 - .V1V2-2V1V2COS：sin :V2D Dr2AC C(2)于是有：Va二Ve2Veie即:于是可得:用丄（心）2建立如图的投影轴，将上式投影到投影轴上，得:1 1 加速度的概念绝对加速度：动点相对静系的加速度aa牵连加速度：牵连点相对静系的加速度ae相对加速度：动点相对动系的加速度ar2 2、牵连运动为平动时的加速度合成定理如图，设oxy z为平动参考系，动点 M M 相对于动系的相对坐标为x,y,z，则动点 M M 的相对速

11、度和加速度为_k*I II II I相对运动万程：r =x i y j - z ka*IIIIIIvr= x i y j z kit*iKfIIIIIIar二x i y j z k将前式对时间求一阶导数，并和上式比较，有：aa.aa.aa.63-163-1vr二x jy j z k二ar由点的速度合成定理有：Va=VeVr两边对时间求导，得：Va=Ve，Vr由于a = VaVe二Vo二比二ae即：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加 速度的矢量和。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定理。上式为牵连运动为平动时点的加速度合成定理的基本形式。其最一般的形式

12、为：-夕-_ -n - n一 _ 飞-_- naaaa =aeaearar具体应用时，只有分析清楚三种运动，才能确定加速度合成定理的形式。例 1 1 图示曲柄滑杆机构，曲柄长 0A=0A=,当曲柄与铅垂线成B时，曲柄的角速度为 0，角 加速度为；0 0 ,求此时 BCBC 的速度和加速度。于是可得:aa =aearITTTT1fTTTTl建立如图的投影坐标轴A，由Va二Ve Vr,将各矢量投影到投影轴上，得VaCOST- Ve即：Ve二Vacos)- r，0COS J该速度即为BC的速度。动点的加速度合成矢量图如图。其中：aa= r；0a； =，2建立如图的投影坐标轴A，由aa a：二ae a

13、r，将各矢量投影到-aacos：- a；sin J - ae于是可得：ae= -r（；0cosTIsinR该加速度即为BC的加速度。例 2 2 图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=，在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角日=30:杆端 A A 与凸轮相接触，点O与O在同一铅直线上，凸 轮的的速度为V,加速度为a。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并求OA杆的角速度和解：以滑块 A A 为动点，静系取在地面上，动系取在BCBC 杆上，动点的速度合成矢量图如图。轴上，得角加速度。建立如图的投影坐标轴A ,动点的速度合成矢量图如图。由Va=VeVr，将各矢量投影到投影轴上，得v

14、aCOST -ve-vrCOSTvasin)- vrsin v解得：心OA干的角速度为v2cos30 . 3、3v3OA 3r由aaa；2vOA3r建立如图的投影轴，二ae aj arn将各矢量投影到投影轴上，得- , n na；cos30 a；cos60 = aecos60 -ar所以aa=1V3v2例 3 3 铰接四边形机构中，O1A = O2B=10cm，O,O2二AB，杆O,A以匀角速度= 2rad /s绕Oi轴转动。AB杆上有一滑套C,滑套C与CD杆铰接，机构各部件在同一铅 直面内。求当 即=60时，CDCD 杆的速度和加速度。解：以滑套 C C 为动点，静系取在地面上，动系取ABA

15、B 上，动点的速度合成矢量图如图。由于Ve= VA=OIA =10 2 = 20cm s所以Va=vecos卩=20cos60 =10cm s2 *aaPCOS30=rcos30所以2。/ 2=10 2 cos30 = 34.6cm s课堂小结:上节得到的速度合成定理， 对于任何形式的牵连运动都是适用的。 但是在加速度的合成 问题中， 对于不同故0A杆的角加速度,33r(a形式的牵连运动， 将有不同的结果。 本节就牵连运动为平动的情况进行讨 论。所以大家在进行加速度合成时，一定要首先判断牵连运动的形式。作业布置：1 1、 课本思考题 8-38-32 2、 课本习题 8-168-16、8-178

16、-17、 8-188-18、8-218-21 、 8-238-23。教学后记：第四节 牵连运动为转动时的加速度合成定理dix dt；dj；dk z一dt在图中r = r - r，o?r是常矢量，有odrdtdr -= =va= =vedta e教学时数：2 2 学时 教学目标：1 1、 对具体问题能恰当地选择动点、动系和定系，进行加速度分析。 并能正确计算科氏 加速度的大小并确定它的方向。2 2、弄懂牵连运动为转动时的加速度合成定理。并能熟练地应用该定理。教学重点：加速度合成定理及其应用教学难点：牵连点、牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念教学方法：板书+ PowerPoi nt教学步骤:1

17、 1、牵连运动为转动时的加速度合成定理为方便，可将动系oxyz的坐标原点选在转轴上，即在图中设o点不动，此时牵连速度、牵连加速度可表示为：ve=erVa= VeVr=er X i y j Z k在静系中，将式（b b）对时间 t t 求一阶导数，有:由泊桑公式：dieidjej=ekdtdtdt式(c c)的最后三项可表示为-.e(x i y j z k ) =evr将式(d)(e)(d)(e)代入式(c c), ,有：aa= er，evear其中:er evae令ak= 2 evr称为哥氏加速度所以牵连运动为转动时的加速度合成定理为aa =aearak2 2、ak的计算及产生的原因分析：参看

18、图ak= =2，evrsi nr在静系中观察，vr的方向发生了改变，其中变化率lim鼻“im生vr o, .：t.：t的方向所致。当 M M 点运动到M位置的时候时，牵连速度 的大小发生了变化，其变化率为.Ve “S 当匕_ *时有产生的原因分析:ak= =ak2eVr时。设动点 M M 沿直杆 0A0A 的速度Vr匀速运动，而杆又以 匀速转动，如图所示。方向垂直与 OAOA 杆,产生原因：由于牵连运动改变了limlimvrJ0,：tJO迸方向垂直于 OAOA 杆产生原因：由于相对运动改变了牵连点，改变了牵连点，牵连速度的大小而所致。总之是由于牵连运动和相对运动的相互影响而造成的。用ak说明地

19、球上的一些自然现象。I例如：在北半球，沿经线流动的江河，若顺着河水流动的方向看，河的左半岸被冲刷得较为厉害。这时因为：选河水为动点，地球为动系，地心系（地球中心为坐标原点，三个坐标轴指向三颗恒星）为静系。若设河水向北流，如图。则河水的哥氏加速度ak指向左侧（如图）， 有动力学知，河的右岸对水作用了向左的力。根据作用于反作用定律，河水对右岸必作用反 力，因而右岸被左岸冲刷厉害。在北纬二角位置。河水的哥氏加速度为ak= 2 vrsi nr2-Q地球的角速度）由此可知：沿经线运动时二=0 0（赤道上）akmin=o=o,r- 90243600北极（南极）akma2 -vr例 1 1 直角折杆OBC绕

20、O轴转动，带动套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图。已知：O咅 10cm,10cm,折杆的角速度 =0.5rad s。求当=60时，小环M的速度和加速度。解：以小环 M M 为动点，静系取在地面上，动系取在折杆上。动点的速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由va=vevr将各矢量投影到投影轴上，得Iva=vrcos300 - -vevrsin30OB10因为ve=OM0.5=10cm scos600.5解之得vr= 20 cm sva=10.3 cm s动点的加速度合成矢量图如图。其中ae= ae= OM =5cm sak=2 vrsin90 =2 0.5 20 = 20cm s建立

21、如图的投影坐标轴，由a aearak将各矢量投影到投影轴上，得aacos60 - -aesin30 ak所以aa _-aeak- 520= 35cm s2cos600.5故小环M的速度加速度为vM=va= 10,3 cm saM二aa=35cms2例 2 2 偏心凸轮以匀角速度3绕O轴转动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑槽的轴线上， 偏心距OC=e凸轮半径r二3e，试求.OCA =90的图示位置时，顶杆AB的速度和加速 度。解：由几何关系可得-30解一：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由va=vevr将各矢量投影到投影轴上，得va

22、=vrsin 300 - -vevrcos30因为ve= OA = 2e，于是可解得4.3Vre3动点的加速度合成矢量图如图。c832ak二2 vre 3由aa= ae a/ arn ak将各矢量投影到投影轴上，得naacos30-氏cos30 -ar- ak故顶杆AB的加速度为aa- -ae- （a：-ak）cos30 - -2e 9可见，aa的实际方向铅直向下。解二：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取过凸轮中心的平动坐标系（如图）。动点的速度合成矢量图如图。动点的加速度合成矢量图如图。2.32 2其中ae=0A -= 2enar2 V 1632e r 9建立如图的投影坐标轴，2例 3 3 图示机构，半径为R的曲柄0A以匀角速度3绕0轴转动，通过铰链A带动连杆AB运 动。由于连杆AB穿过套筒CD从而使套筒CD绕E轴转动。在图示瞬时，OAL 0E AEO = 30：求此时套筒CD的角加速度。、3由图可得vr=vacos30 = R cos30R.：1ve= vasin30 = R sin30 R2解三：以凸轮中心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上（如图）。动点的速度合成矢量图和加速度合成矢量图如图。y rLB njN三AB ndXB u AX2ak= 2CDvrsin 90 R4由aa= ae