定积分及其应用练习带详细答案

1、定积分及其应用题一题面：2求由曲线y (x 2)与x轴，直线y 4 x所围成的平面图形的面积.答案:32变式训练一题面：x + 2 2< x<0 ,函数心2cos x0< x< j的图象与x轴所围成的封闭图形的面5A.2C. 3积为()B. 2D . 4答案：D.详解：画出分段函数的图象，如图所示，贝够图象与x轴所围成的封闭图形的1 n面积为/沦+今2COS xdx二n2+ 2s in x2°= 4.变式训练二题面：由直线y = 2x及曲线y = 3 x2围成的封闭图形的面积为（）A. 2 .'3B. 9 2 ,'335 c 332D 3答案：

2、详解：注意到直线y= 2x与曲线y = 3 x2的交点A, B的坐标分别是（一3 ,6）, （1,2）,因此结合图形可知，由直线y二2x与曲线y二3 x2围成的封闭图形的面积为11 (3 x2 2x)dx = 3x 3X3 x23131=3 X1 一 X13 12 313 X 3_x 33332-3 2二，选 D.题二 题面: 如图所示，在边长为 1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为().1 1 1变式训练一题面：函数f(x) = sin(必+妨的导函数y = f' (x)的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y轴的交点，A, C为图象与x轴的两个交点，B为图

3、象的最低点.若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，贝U该点在ABC内n答案：一4详解:n设 A（x0,O），则必。+片 2，二 X。2 s-2 n又y= scos（ sx +妨的周期为：,n n © n|ACUS，c 二s+s，0依题意曲线段ABC与x轴围成的面积为© n n ©s+S2S Sscos( sx + ©)dx二2.T |AC| = S，|yB|= s，. nSABC =.2n.满足条件的概率为一4变式训练二题面：（2012?福建）如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）答案：C.详解：根

4、据题意，正方形 OABC的面积为1 X1=1 ,3?而阴影部分由函数 y=x与y=M围成， 其面积为尬1 （Ji- x） dx=（卫/ -） |01,326则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为 、丄；1|国故选C.金题精讲题一题面：（识图求积分，二星）已知二次函数y = f（x）的图象如图所示，则它与 x轴所围图形的面积为（）.2 n43nA .B.C.D.-5322答案:变式训练一题面：1如图求由两条曲线y= x2,y = x2及直线y = 1所围成的图形的面4积.答案:详解:得交点A( 1 , 1), B(1 , 1) 得交点 C( 2 , 1), D(2 , 1).y=

5、 1,所求面积1 1 4 S 2 /1 x2 + x2 dx + 2 x2 + 1 dx - S =2-Q变式训练二题面：例1求在0,2 上，由x轴及正弦曲线 y sinx围成的图形的面积答案：-.详解：y sinx与x轴交于0、2 ，所作出y si nx在0,2上的图象如右A y求积 s 0sin xdx | 2 sin xdx| ( cosx) |0 ( cosx)|2-题二题面:（作图求积分，四星）求曲线32y x 6x与曲线y x所围成的图形的面积.交点的横坐标分别为2,0,3 , S2112.变式训练一题面：2求曲线y x , y x及y 2x所围成的平面图形的面积作出y2x ,yx

6、及y2x的图如右y2xx2x0解方程组2得y2xy4y0yxx1x0解方程组得y2xy1y0所求面积 s0(2x x)dx "2x x2)dx10xdx 2(2x x2)dxI 2 12 I 32-x2|0 (x2 §x3)|276答：此平面图形的面积为 -6变式训练二题面：求由抛物线y28x( y 0)与直线x y 6及y0所围成图形的面积答案:详解:403作出y28x( y 0)及 xy6的图形如右2y8xx2解方程组得xy 6 0y4解方程组xy 6 0得x6y0y0所求图形的面积s 0.8xdx；（6 x）dxI2(6x£x2)|6240题三题面:（1）由

7、曲线yx，直线yx 2及y轴所围成的图形的面积为（2）由曲线2yx与直线yx 2所围成的封闭图形的面积为答案:169（1）；（2）32变式训练一题面:I xE o, i1 2- X, (L 2函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（C.答案：C.详解:5_一&3- 2变式训练二题面：f (z)二C05K - x+ljB. 1已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（A. 1/2C. 2D . 3/2答案：D.详解: 由题意图象与x轴所围成图形的面积为1 0(x 1)dx cosxdx2z 121(-x x) Io SInx|2 2故选D .题四题面：2x 1，贝U(导数与积分结合，二星)设函

8、数f(x) xm ax的导函数为 f(x)2f ( x)dx的值等于.1答案：5.6变式训练一题面:设函数f(x) = xm + ax的导函数f' (x)= 2x + 1，贝u 变式训练二题面：设函数f(x) = xm + ax的导函数f(x)= 2x + 1，贝U 2f(x)dx的值等于() 5 1A.B.6 2 10一D.f(x)dx的值等于iB.21D.6A.62c.3答案：A.详解：由于f(x) = xm + ax的导函数f(x) = 2x + 1,所以f(x) = x2 + x,于是群(一1125x)dx = #(x2 x)dx = _x6答案：A.详解： 一x2=一3216

9、由于f(x) = xm + ax的导函数为f(x) = 2x + 1，所以f(x) = x2 + x,于是211x3 一 x2325if(-x)dx = 2 (x2 x)dx=i题五 题面:（化简后求积分，四星）（1 ）求2 X1 sin 2xdx0原式 2 sin x cosx dx0o' (cosx sin x)dx2 (sinx cosx)dx 2 2 2.4(2)(sin 4 -0 2cos4 x)dx2变式训练一题面：与定积分/ 0 71 -cos xdx相等的是（）x/ 0”sin；dxD .以上结论都不对C.x/3 %in 一dx2答案：B.详解：x' 1 cos

10、 x= 2si n 2一21 cos xdxxsin dx2变式训练二题面：4 cosxdx0详解:n4因为 4 cosxdx sin x00=sin=42所以严0s xdx题六题面:(定积分的运用，三星)函数f(x) = sin( 3X+妨的导函数y = f' (x)的部分图象如图所示,其中，P为图象与y轴的交点，(1)若点P的坐标为0 ,6A, C为图象与x轴的两个交点,B为图象的最低点.2，则若在曲线段 ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为c冗解析(1)函数f(x) = sin( 3X +妨求导得，f' (x) = 3cos( wx +册，把 $

11、=_和点60 ,代入得wcos 0 + 6 =解得w= 3 2 6 2nn取特殊情况，在 的条件下，导函数 f (x) = 3cos 3x+ 6，求得A 9 0 ,5 n临，34 nCT，013 n n，故AABC的面积为$碍=孑爲x 3 = ?曲线段与x轴所围成的区域的面积s=4 nn4 n n3 n n頁=-sin -+6 +sin 7+6=2，所以该点在ABC内的概率为S/ABCP=sn4.同类题一题面：设y = f(x)是二次函数，方程f(x)= 0有两个相等的实根，且f'(x) = 2x 2.(1) 求y = f(x)的表达式；求y = f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面

12、积.答案：(1) f(x) = x2 2x+ 1.1(2) .3详解：(1)设 f(x)= ax2 + bx + c(a 和),则 f'(x) = 2ax + b.又 f (x) = 2x 2 ,所以 a = 1 , b = 2，即 f(x)=x2 2x+ c.又方程f(x) = 0有两个相等实根,所以= 4 4c = 0，即 c= 1. 故 f(x) = x2 2x + 1.(2)依题意，所求面积为1(x2 2x + 1)dx=0(3x3-x2+ x)|1 =-同类题二题面： 设y=f (x)是二次函数，方程f (x) =0有两个相等的实根，且 f (x) =2 x+2.(1 )求y

13、=f (x)的表达式；(2)求y=f (x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.(2)若直线x= t (0vt v 1 =把y = f (x)的图象与两坐标轴所围成图形的 面积二等分，求t的值.答案：(1) f (x) =x2+2x+1.1(2) 3.1(3) t=1 - 32.详解：(1 )设 f (x) =ax2+ bx+c，则 f' (x) =2 ax+ b，又已知 f' (x) =2x+2 a=1，b=2. f (x) =x2+2x+c又方程f ( x) =0有两个相等实根,判别式 Y4 4c=0，即 c=1.故 f( x)=x2+2 x+1.(2 )依题意,有所求面积=

14、01(X22x 1)dx (- x332 0X x) | 1(3 )依题意,t 2i(x 2x 1)dx°t(x2 2x 1)dx, (lx3 x23x)|(1x320X X) | tlt3+t2 1+ = -t3 t2+t, 2t3336t2+6t 1=0， 2 (t 1) 3= 1 ,于是t=1 3：思维拓展题一 题面:(几何法求积分，四星)dx ,1 2x sin xdx1(2)求椭圆2X2 a2b 1的面积S 4 0 a - a2 x2dx4ba. a2 x2dx，转化为圆的面积. 0同类题一题面：求定积分 （-.1 x2 ）dx的值.1答案： 2详解：1圆的面积.因为S半圆-，又在x轴上方.1（-. 1 x ）dx表示