概率公式及典型例子

1、基础知识排列与组合的概念与计算公式1排列及计算公式从n个不同元素中，任取 m(mc n)个元素按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中 取出m(mc n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)二n(n-1)(n- 2)(n -m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1).2组合及计算公式从n个不同元素中，任取 m(mc n)个元素并成一组，叫做从 n个不同 元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出 m(mc n)个 元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元

2、素的组合 数. 用符号 c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/(n-m)!*m!)； c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r二n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*.*nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).概率论是以古典型概率，几何型概率，条件概率，各种分布列等 为基本模型，以加法原理，乘法原理为规则，以非负性，规范性，可 列可加性为基本性质，逆事件，差事件概率的计算公式，加法

3、公式等 为运算基础骨架。 解题时应做到心中有数， 将难题一步步分解为这些 简单问题的叠加。学习重点应放在理解和运用上， 而不在于计算， 做题时应分清各 类题型，举一反三。熟练掌握： 概率部分：1. 常见分布列，分布函数：离散型- 连续型 一维- 二维- 多维离散： 两点分布，二次分布，泊松分布，几何分布连续： 均匀分布，指数 分布，正态分布2. 基本运算概念： 概率密度，数学期望，方差，协方差，相关系数 数理统计部分：样本基本概念：X2分布，t分布，F分布，正态总体的样本均值，方 差，k阶原点矩，k阶中心矩“概率论与数理统计”的学习应注重的是概念的理解， 如“什么 是随机变量”、“为什么要引进

4、随机变量” ，“随机变量的独立， 不相关” 等概念要深入理解。高等数学处理的是“确定”的事件。如函数 y=f (x),当x确定后y有确定的值与之对应。而概率论中随机变量 X在 抽样前是不确定的， 我们只能由随机试验确定它落在某一区域中的概 率，要建立用“不确定性”的思维方法往往比较困难，如果套用确定 性的思维方法就会出错。根据上面分析，启示我们不能把高等数学的学习方法照搬到“概 率统计”的学习上来，而应按照概率统计自身的特点提出学习方法， 才能取得“事半功倍”的效果。下面我们分别对“概率论”和“数理 统计”的学习方法提出一些建议。一、学习“概率论”要注意以下几个要点1.在学习“概率论”的过程中

5、要抓住对概念的引入和背景的理 解，例如为什么要引进“随机变量”这一概念。这实际上是一个抽象 过程。正如小学生最初学数学时总是一个苹果加 2个苹果等于3个苹 果，然后抽象为1+2=3.对于具体的随机试验中的具体随机事件，可 以计算其概率，但这毕竟是局部的，孤立的，能否将不同随机试验的 不同样本空间予以统一，并对整个随机试验进行刻画？随机变量 X(即 从样本空间到实轴的单值实函数)的引进使原先不同随机试验的随机 事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率，不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。此外若对一切实数集合B,知道P(X B)。那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定 了。所

6、以我们只须求出随机变量 X的分布P(X B)。就对随机试验 进行了全面的刻画。它的研究成了概率论的研究中心课题。 故而随机 变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑。类似地，概率公理化定义的引进，分布函数、离散型和连续型随机变量的分类，随机 变量的数学特征等概念的引进都有明确的背景， 在学习中要深入理解 体会。2.在学习“概率论”过程中对于引入概念的内涵和相互间的联系和差异要仔细推敲，例如随机变量概念的内涵有哪些意义：它是一个从样本空间到实轴的单值实函数 X(w)，但它不同于一般的函数， 首先它的定义域是样本空间，不同随机试验有不同的样本空间。 而它 的取值是不确定的，随着试验结果的不同可

7、取不同值，但是它取某一区间的概率又能 根据随机试验予以确定的，而我们关心的通常只是它的取值范围，即对于实轴上任一 B,计算概率P(X B)，即随机变量X的分布。只有 理解了随机变量的内涵，下面的概念如分布函数等等才能真正理解。 又如随机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆，前者是事件的运算性质，后者是事件的概率性质，但它们又有一定联系，如果 P(A)。P(B) >0,则A, B独立则一定相容。类似地，如随机变量的独 立和不相关等概念的联系与差异一定要真正搞懂。3. 搞懂了概率论中的各个概念，一般具体的计算都是不难的， 如F(x)=P(X <x) , EX DX等按定义都易求得

8、。计算中的难点有古典 概型和几何概型的概率计算，二维随机变量的边缘分布 fx(x)= / - f(x , y)dy，事件 B 的概率 P(X , Y) B)二/ Bf(x , y)dxdy，卷积公式等的计算，它们形式上很简单，但是由于f(x , y)通常是分段函数，真正的积分限并不再是 (-乂，乂)或B,这时如何 正确确定事实上的积分限就成了正确解题的关键，要切实掌握。4概率论中也有许多习题，在解题过程中不要为解题而解题，而应 理解题目所涉及的概念及解题的目的，至于具体计算中的某些技巧基 本上在高等数学中都已学过。因此概率论学习的关键不在于做许多习题，而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及解题

9、的思路上去 样往往能“事半功倍”。二、学习“数理统计”要注意以下几个要点1. 由于数理统计是一门实用性极强的学科，在学习中要紧扣它 的实际背景，理解统计方法的直观含义。了解数理统计能解决那些实 际问题。对如何处理抽样数据，并根据处理的结果作出合理的统计推 断，该结论的可靠性有多少要有一个总体的思维框架，这样，学起来 就不会枯燥而且容易记忆。例如估计未知分布的数学期望，就要考虑 到 如何寻求合适的估计量的途径，如何比较多个估计量的优劣？这样，针对按不同的统计思想可推出矩估计和极大似然估计， 而针对又可分为无偏估计、有效估计、相合估计，因为不同的估计 名称有着不同的含义，一个具体估计量可以满足上面

10、的每一个， 也可 能不满足。掌握了寻求估计的统计思想，具体寻求估计的步骤往往是 “套路子”的，并不困难，然而如果没有从根本上理解，仅死背套路 子往往会出现各种错误。2. 许多同学在学习数理统计过程中往往抱怨公式太多，置信区 间，假设检验表格多而且记不住。事实上概括起来只有八个公式需要 记忆，而且它们之间有着紧密联系，并不难记，而区间估计和假设检 验中只是这八个公式的不同运用而已，关键在于理解区间估计和假设 检验的统计意义，在理解基础上灵活运用这八个公式， 完全没有必要 死记硬背。经典例1(摸球类型)摸球类型的例子 例：袋中有a个白球，b个黑球，从中接连任意取出m (m< a+b )个球，

11、且每次 取出的球不再放回去，求第 m次取出的球是白球的概率.分析：本例的样本点就是从a+b中有次序地取出m个球的不同取法；第 m 次取出的球是白球意味着：第 m次是从a个白球中取出一球，再在a+b -1个球 中取出m-1个球。解：设B =第m次取出的球是白球样本空间的总点数:事件B包含的样本点:P(B= -= /刈二a (a + b - X1 +2)- (a + b - m +1)a(g + b)(& + A - 1 ) + b - 2 )(穴十 b - m + 1) a b经典例2(格子类型)格子类型的例子1例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率N 落

12、入N个格子(N > n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1) A =指定n个格子中各有一个质点;(2) B =任意n个格子中各有一个质点;(3) C =指定的一个格子中恰有 m(mc n)个质点.解：样本点为n个质点在N个格子中的任一种分布，每个质点都有 N种不同分布，即n个质点共有N种分布。故样本点总数为：N(1)事件A包含的样本点数:在n个格子中放有n个质点，且每格有一个质点，共有 n!种不同放法;因此，事件A包含的样本点数：n!,则(2)事件E包含的样本点数:先在N个格子中任意指定n个格子，共有种不同的方法；在n个格子中放n个质点，且每格一个质点，共有n!种不同方法；因此，事件E包含的样本点数:(3) 事件C包含的样本点数:在指定的一个格子中放 m(mc n)个质点共有；种不同方法；余下n-m个质点任 意放在余下的N-1个格子中，共有种不同方法.因此，事件C包含的样(N ire” 晌=弘£©农本点数：7“，贝U经典例3(抽数类型)抽数类型的例子例：在09十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序基本事