正弦定理公式

1、【正弦定理公式】sin A【余弦定理公式】sin Bh+e-a12bc2ac如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话， 那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件按方程的思 想进行处理，解题时根据已知量与所求量， 合理选择一个比较容 易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），从而使同学们入手 容易，解题简洁。一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理（1 ）三角公式在二中，已知两角丄丄的三角函数值，求第三个角存证 明 ： 有 解有 解oO <A+B <开<=>0 <A d-B <7T<cosJ4> cos（;r-5）：I .即，要判断 是否

2、有解，只需(2 )正弦定理 在二二T中，已知两角和任意一边，解三角形； 在中，已知两边和其中一边对角，解三角形；(3 )余弦定理 在中，已知三边，解三角形； 在二二T中，已知两边和他们的夹角，解三角形。直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们常见、常讲、常练的，因此，在这里就不加赘述，同学们可以自己从教材中找一些题目看一看！二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理(1)齐次式条件(边或角的正弦)若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式，可以 根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化；有些题中没有明显的齐次式，但经过变形得到齐次式的依然适用。1. 相同角齐次式条件的弦切互化【例】在二

3、二T 中，若二一1一一二 J_一一二一川二一 -.，求。【解析】无论是条件中的一二.一，还是 二口-一丄-一 -都是关于一个角的齐次式。二上_：!'. 一是关于的一次齐次式； 二一-一是关于J的二次齐次式。因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。SIH j4sin A-3cosA-0>sm A-3cosA= tan j4 = 3由IL=0亠焯迎B込£ - 2曲养2竺上史邑上兰空由1sin 5 - sin 5cos-2cos2 5sin * 月一 sin B uos £ B 、n:= 0=>sin1B +COS1 Scos7 Bsi?方+2月=0cos1

4、Btan2 tan 5-2tan* S + l=0 = tar? tan £ 2 = 0 = tan £ = T在二冲，且"*七三二。代值可得:当二匸_: ，二上二时，tanC- = l=>C=45°1-2x3当面二3,伽B二-1时，tan(7 =-3-11-3x(-1)2. 不同角（正弦）齐次式条件的边角互化【例】 在二中，若 二工二二二二- 二'一，且也丨， 求的面积。【解析】条件；J'_二二:工：是关于 不同角正弦的二次齐次式。因此，我们利用正弦定理将角化为边， 然后根据边的关系利用余弦定理求解。由二 11 二；二 I L/

5、：'： 1L/ / L；显然这个形式符合余弦定理的公式，因此，可得严 a+jab1cos C =-=2ab2ab 2Sijvt = -acsin j4 = -icsin B- absin C又因为 '3. 不同边齐次式条件的边角互化【例】 丄的内角的对边分别为和:.。已知/ ；., - c J ，求 _'。【解析】条件- 是关于不同边的一次齐次式。因此，我们利用正弦定理将边化为角， 然后由二 一一二W 将不同角转化为同角，利用化一公式求解。开开厂 .厂Z=-+C B亠2C由 a+c-2b J + sin C = <2 sin 5，又 2，2 ，可得:U 5sin-

6、+ C+sin C = V2 sin一一2C12丿<2丿cosC+sm C =42cos2C，运用化一公式得二庞遇 2Cn2C = U + =>C 二 1尸4. 边角混合齐次式条件的边角互化边角混合边为齐次式【例】_L的内角J- L- 的对边分别为，且j cos5-A cos- -c5tan-4,求'.二一匸a coscos= c【解析】条件:是边角混合一一关于不同边的一次齐次式，由于所求为切的值，所以将边化为角，然后将弦化 为切求解。acos5-icos-(4=-c =>sin -dcosS-sm 5cosj4 = -sin C_ 宀由，又一，则tan Atan B

7、 边角混合角（正弦）为齐次式【例的内角丄丄的对边分别为/ -，且九一,sin 川 + sin B =血 _c*in C【解析】条件 "w 一n 是边角混合一一角（正弦） 为不同角的一次齐次式。因此，我们将角的正弦化为边，然后根 据等式形式利用余弦定理求解。sin -r4 + sin £ =-ckin C +a1由于：，一，我们可以得到:'-“，显然这个形式符合余弦”护+，-小迈be 72定理公式，因此，可得。从而得出J 边角混合边、角（正弦）都为齐次式【例】_二的内角L- /的对边分别为-> :.-，且 ：上莎门-厂' :+宀 求。【解析】条件几皿八是

8、边角混合一一边、角（正弦）各为一次齐次式。因此，我们可以随意边角互化，但是 一般将角转化为边求解。由 2m启一 J - - ：.v.- <一*、I2 - .丁显然这个形式符合余弦定理公式，因此，可得护+八-护be1cos A = -=-_i'.-。从而得出.15. 非三角形内角正弦但可化为角（正弦）齐次式【例】_ '的内角J- L- 的对边分别为八，且 m，求证： m 的三边成等比数列。【解析】条件 显然不是齐次式，并且 角也不全是三角形的内角。 因此，首先得把这些角转变为三角形 的内角，然后再往齐次式化利用正弦定理求解。，只要cos25 + cos5+cos(j4-C)

9、= ll-Ssin1 £ + 6055+003603(7 + 5111 Jsin C= 1将工1变换为二，题中的条件就变成了关于不同内角正弦 的二次齐次式:l-2sirf B- co(j4+ 'Si+ cos?4cosC+sin74sinC=l=>1-28 B- (cosj4cosC-sinsinCj+cosu4cosC+ siiij4siiiC=l=>2sin? B-ZsinlsinCsiri B= sinAinC= ac（2）不同边的平方关系（余弦定理）若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系，可 以选用余弦定理边角互化， 在上面的一些情况中，有利用正

10、弦定 理转化出不同边的平方关系，可以作为参考例题。【例】_ '的内角J- L- 的对边分别为八，且4疝二丄砂+宀刃亠4，求虫。【解析】条件 -1''''-含有不同边的平方关系，形式显然符合余弦定理公式。由。（3）存在消不掉的正弦、余弦值（两定理同时使用，边角互化）若题目条件中的条件不是上述情况，且始终含有消不去的内 角正弦、余弦，可以同时使用正弦、余弦定理边角互化，要么都 化为角（正弦、余弦），要么都化为边。【例】在 KABC 中，已知 A>B>C ,且 j4=2C=4,fl+c = 8,求a。【解析】 由题目中条件虫=2C可得 sui/=s

11、in 2CsinJ = 2siii CcosC =>ia = 2ccosC ,接下来再利用余弦定理可得"沁心力土竺*+八卩4,又沖，2abC = 8伍 所以 +4*-(8-町加=加-44a + 96= 0 =山=4 或24因为24 A> B>C >b>c =解三角形运用的原理简单， 但是题目灵活多变，往往使学生感觉 不易下手，以上结合例题谈了一下通过题中条件的特征，利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略，但这仅仅是初 探，更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use on

12、ly in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 贝 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pou