论文——研究欧式空间上的格林函数修改

1、摘 要定义在欧氏空间中的格林函数, 满足（1）;（2）（表示狄拉克函数）, 其中.利用格林函数的定义我们首先验证了欧氏空间上的函数 ( 其中, ), ( 其中, 表示原点 ) 为格林函数.在研究欧氏空间上格林函数的过程中, 除了掌握格林函数的定义外, 往往还需要了解格林函数的一些性质.本文还验证了在维欧氏空间中, , 其中, 表示原点. 我们得到格林函数与热核以及球体积的关系, 即: =, 其中, 表示原点.最后，我们运用格林公式, 把二重积分转化成曲线上的积分, 并运用函数极限来估计函数值, 对积分等式（其中 ）进行了证明，并把它推广到了三维欧式空间中. 关键词：格林函数；梯度；散度；Lap

2、lace算子；微积分ABSTRACTDefined in the European space green's function,satisfied （1）;（2）（ Dirac function）,among them. Using the definition of green function we first verify the function on the Euclidean space ( among them , ) , ( among them , represents the origin ) for the green's function .On th

3、e study of European space green's function in the process, in addition to master the definition of the green's function, often also need to know some properties of green's function. This article also verifies some facts , in the Euclidean space, , ( among them, represents the origin ) .W

4、e got the green's function and the fusion,as well as the relations between the volume of the ball,namely: =,among them, represents the origin. Finally,we applied green's theorem,the double integral into curve integral, to estimate function and used function limit values,the integral equation

5、 (among them ) was carried out to prove, and it had been generalized to three-dimensional European space .Key words: Green's function; Gradient; The divergence; Laplace operator; Differential and integral calculus目 录摘 要ABSTRACT1.引言1定义112.格林函数的验证22.1 引理122.2 引理233.格林函数的几个性质53.1 性质153.2 性质273.3 性质

6、393.4性质4103.4.1引理3103.4.2引理4103.5推论1134.结 语16参考文献17致 谢181.引言：本文在欧氏空间上对格林函数进行了探讨,格林函数的定义如下: 定义1: 在欧氏空间上, 定义: , 若满足（1）; （2）（表示狄拉克函数）. 我们就称这样的函数为格林函数.1,2定义1中, 称为Laplace算子且, 称为梯度9, 若向量, 则 称为散度9. 在二维和维欧氏空间中我们分别验证函数(其中, ), ( 其中, 表示原点 ) 满足定义1.以验证得到的格林函数为基础, 我们对欧氏空间中的格林函数进行研究, 探讨格林函数的一些性质. 一方面, 我们得到在维欧氏空间中,

7、 ( 其中, 表示原点 ) . 在一般流形上, 格林函数与热核以及球体积的关系参见, 在三维欧氏空间中我们验证了格林函数与热核以及球体积的关系满足: =, 其中, , 表示原点. 最后，我们运用格林公式, 把二重积分转化成曲线上的积分, 并运用函数极限来估计函数值, 对积分等式（其中 ）进行了证明，并把它推广到了三维欧式空间中.关于积分中的一些公式参见3,4,5,6,7,8.本文的研究有利于掌握格林函数和灵活运用微积分，它与我们所学的数学分析的知识息息相关，有利于我们巩固已学知识和有效的吸收新的知识，运用已学的知识来解决新的问题。作者根据指导老师的讲解和计算思路, 通过文献资料全面地了解计算中

8、可能用到的知识, 在弄清了整个证明的来龙去脉的基础上, 悉心演算.在计算过程中充分利用了格林函数的定义以及格林函数在微积分中的计算， 通过计算我掌握了格林函数的一些性质.2.格林函数的验证通过定义1我们可以看出格林函数具有对称性, 即, , . 1另一方面，显然在格林函数的定义中, 而当时, 狄拉克函数=0, 也就是说定义1的（2）中, （）.接下来由格林函数的定义我们来验证函数 ( 其中, ), ( 其中, 表示原点)为格林函数。2.1引理1验证二维欧氏空间中函数, 其中, , 满足等式.证明：因为,.所以.2.2引理2验证维欧氏空间中函数, 其中, 表示原点, 满足等式. 证明：因为 ,所

9、以.显然函数 ( 其中, ) 是对称的，所以函数 ( 其中, ) 也是对称的. 同理 ( 其中, )是对称的，所以函数 ( 其中, 表示原点 ) 也是对称的.又通过引理1，引理2的证明可得函数满足（），则它满足格林函数的定义.因此函数与函数为格林函数，它们可以分别用来代表二维与维欧氏空间中的格林函数进行研究.3.格林函数的几个性质3.1性质1当时, , ( 1 ) 其中, 表示原点. 证明：因为,所以 =,又因为 ,所以 因此=.而 , ,所以 =,因此=, ( 1 )式成立.3.2性质2格林函数与热核的关系, 格林函数与热核都是数学分析中的重要内容, 因此他们之间的等量关系值得我们研究.为了

10、计算方便, 我们用三维欧氏空间来说明, 在三维欧氏空间中热核表达式为，特别的我们取, ,即热核的表达式变为=下面证明：三维欧氏空间中的格林函数= （ 其中, 表示原点 ），即=. ( 2 )证明：令，则，下面计算，令，则 ，所以 ,（ 2 ）式成立.因此, 在三维欧氏空间中，热核在区间上对时间的积分就等于格林函数. 3.3性质3探究格林函数与球体积的关系, 球的体积是我们很熟悉的内容, 这里我们来研究它与格林函数的关系. 在三维欧氏空间上, 我们来验证等式 ( 3 )（ 其中, 表示原点 ）成立.其中表示欧氏空间中的点到原点的距离, 表示以为半径的球的体积. 则( 3 )式等价于=. ( 4

11、)证明：，因此, （ 4 ）式成立.我们可以得到在三维欧氏空间中，格林函数可以由体积的积分表示出来, 事实上，在维欧氏空间上，格林函数都可以用与（ 3 ）式相仿类似的积分表示出来.3.4性质4在二维欧氏空间中，等式 ( 5 )（其中 ）成立.为了证明这一等式，我们先看两个重要的引理.3.4.1引理32为上的有界闭域，带有光滑的边界，定义上的光滑向量值函数，其中，则.若是的边界上的外法向量，那么散度定理为,其中,而是的方向余弦.3.4.2引理42对于, 为有界闭域, 且有光滑的边界，则 ( 6 )证明：我们现在看，如果是中的一个有界闭域, 且有光滑的边界，对于每一个及, 令从引理3中的散度定理等

12、式，我们有（其中） ,( 6 )式成立.下面证明性质4：令,则= =,其中,一方面= =,运用积分中值定理 =当时,所以，当时 ,另一方面，其中,=,因此= = = =,当时,所以，当时,综上所述,因此( 5 )式成立.以上证明要求我们灵活运用微积分的计算，并熟练掌握含有梯度，散度以及拉普拉斯的相互转化，结合函数极限进行证明.3.5推论1在三维欧氏空间中，等式 ( 7 )（其中 ）成立.证明：令,则= =,其中,一方面= =,运用积分中值定理 = =,当时,所以，当时 ,另一方面，其中,因此= = = =,当时,所以，当时,综上所述,因此( 6 )式成立.4.结 语对于证明关于格林函数的等式，

13、有的计算量较大，计算过程也较复杂，特别是含有二阶导数和微积分转化的计算过程较为繁琐, 容易出错, 作者也是经过多次计算才敢确定下来. 写论文的过程很能考验自己的计算功底, 这对数学系学生来说也是一种必备的素质.许多专家学者致力于格林函数的研究，它是数学分析中的重要内容，在一般的流形上关于格林函数的研究方兴未艾，其中关于格林函数局部的渐进性，单调不等式的研究尤其引人注目.本文通过微积分和导数的计算,利用格林函数的具体表达式, 初步了解了格林函数，这篇论文的写作也为作者进一步学习和研究数学打下较好的基础. 参考文献1 王明新，数学物理方程（第2版），清华大学出版社，2009（112）.2 H.M.

14、Lieberstein,蒋定华，林建祥，偏微分方程理论，高等教育出版社1983（94,95,96）.  3 李日光,欧苡, 非光滑函数的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式, 广西师范学院学报(自然科学版), 2003,20(3)4 胡小荣,李建平, 从向量场看几个重要积分学公式的相互关系, 湖南科技学院学报, 2006,27(11).5 宋泽成, 积分学中一类公式的探讨, 唐山师范学院学报, 2001,23(5).6 曾涛, 浅谈数学分析中的斯托克斯公式, 科技信息(科学·教研), 2007 (35).7 刘玉琏,傅沛仁, 数学分析讲义,高等教育出版社， 1994.8 陈爱永,唐生强, 于斯托克斯公式的教学中谈数学的统一之美，中国科技信息， 2009 (16).  9 华东师范大学数学系编， 数学分析(下)， 高等教育出版社, 2007.10 Schoen,R.,Yau,S.T.:Lectures on differential geometry. International Press,Cambridge,MA,1994.11 Peter,L.,Yau,S.T.:On the parabolic kernel of the Schrodinger operator. A