几何与代数：第四章 n维向量 (3)

1、Schmidt 正交化、正交矩阵正交化、正交矩阵见第见第10周课件周课件 A A, b ；A A, b , A A, b , A ； A, b A, bA, b ：对于矩阵方程：对于矩阵方程AX=B, 有以下结论。有以下结论。AX=B 有解有解 r(A,B)=r(A)记记 B=(b1 b2 bt). 则则 AX=B 有解有解 A(x1 x2 xt) = (b1 b2 bt) 有解有解 Axj = bj 有解，有解， j =1,2,t. r(A,bj) = r(A), j =1,2,t. r(A, b1 b2 bt)=r(A). (思考思考), Ax= 的的 又称其为矩阵又称其为矩阵 A 的的

2、设矩阵设矩阵A 经过一系列初等行变换可化为经过一系列初等行变换可化为1 1 0 1 30 0 1 0 -20 0 0 0 0求方程组求方程组Ax = 的基础解系的基础解系. , 设矩阵设矩阵A 经初等行变换化为经初等行变换化为1 0 2 0 30 1 1 0 -20 0 0 1 0求求Ax = 的基础解系的基础解系. ( 求核空间求核空间K(A) 的基的基. ) 通解通解的基础解系的基础解系 3 581147 4 2 3, 2 2 353215432154321xxxxxxxxxxxxxx，1 3 2 1 1 -21 3 -2 4 1 74 11 8 0 5 3初等行变换初等行变换1 3 2

3、1 1 -20 -1 0 -4 1 110 0 -4 3 0 9初等行变换初等行变换1 0 0 -19/2 4 71/20 1 0 4 -1 -110 0 1 -3/4 0 -9/4重重 合合相相 交交平平 行行异异 面面无穷多解无穷多解唯一解唯一解无无 解解位置关系位置关系Ax=DAx=D秩秩无无 解解r(A)=r(A,D) =2r(A)=r(A,D) =3r(A)=2, r(A,D)=3r(A)=3, r(A,D)=4有其它判有其它判断方法断方法重重 合合交于一线交于一线交于一点交于一点无交点无交点无穷多解无穷多解位置关系位置关系Ax=DAx=D秩秩无无 解解r(A)=r(A,D) =1r

4、(A)=r(A,D) =2r(A)=r(A,D) =3r(A)+1= r(A,D)唯一解唯一解无穷多解无穷多解讨论下列三个平面的相对位置讨论下列三个平面的相对位置. 1 : x+y+bz=3; 2 : 2x+(a+1)y+(b+1)z =7; 3 : (1-a)y + (2b-1)z =0.其中，其中，a, b 是参数是参数.注：注：一般来说，第一步假定只有一个交点，一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到此时可以得到a,b的一个范围；在剩下的范的一个范围；在剩下的范围内，围内，a,b 是一些具体的取值，我们就可以是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情通过求解

5、对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系况，从而判断平面的位置关系.K( )=K()(A可以是一个向量可以是一个向量) 设设分别是分别是矩阵矩阵, ,证明：若证明：若 , , 则则 . . ( (即为推论即为推论2.8)2.8)大东股份公司股票最近十天的收市价如大东股份公司股票最近十天的收市价如下表所示下表所示1 2 3 4 5 6 7 18.5 19.6 20.3 20.5 19.8 20.6 21.5假定天数假定天数 x与股票价格与股票价格 y 服从三次关系服从三次关系 y = ax3+bx2+cx+d将上述数据代入假定的方程中，得到七个以将上述数据代入假定的方程中，得到七

6、个以 a,b,c,d为未知数的方程组为未知数的方程组, 其未必有解！其未必有解！xyy = ax3+bx2+cx+dAx=b 没有解，即没有解，即 Ax-b= 没有解没有解 寻求最佳近似解寻求最佳近似解x0，使得：，使得： |Ax0 b | = min |Ax b |x Rn即寻找即寻找x0使得使得 | Ax0 b | = min |a b |a R(A)b假定假定Asn假设假设V是是Rs的子空间，的子空间， Rs, V , 则则 |= min | | 当且仅当当且仅当 V与与 V 中每个向量都正交中每个向量都正交.bVAx=b 没有解，即没有解，即 Ax-b= 没有解没有解 寻求最佳近似解寻

7、求最佳近似解x0，使得：，使得： |Ax0 b | = min |Ax b |x Rn即寻找即寻找x0 使得使得 | Ax0 b | = min |a b |a R(A)bR(A)即寻找即寻找x0 使得使得 | Ax0 b | = min |a b |a R(A)即寻找即寻找x0 使得使得 Ax0 b 与与 R(A)中的每个向量都正交中的每个向量都正交R(A) = L( 1 2 n)即寻找即寻找 x0 使得使得 Ax0 b 与与 1 2 n都正交都正交, i.e., = iT(Ax0 b) = 0, i =1,2,n. 即寻找即寻找x0 使得使得 | Ax0 b | = min |a b |a

8、 R(A)ATAx0=ATb.该方程一定有解该方程一定有解 x0（见习题四（见习题四(B)42）称其为称其为Ax=b的的，称其解为称其解为Ax=b的的作作 业业习题四习题四(B) 30(1),31; 32,35; 36 - 40 ： 12月月4日（周二）日（周二） 平面上的二次曲线平面上的二次曲线 ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0的的度量性质可度量性质可以用矩阵以用矩阵 的的特征向量特征向量来刻画。来刻画。A =a bb c计算计算 An 如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵P使得使得 A=PDP-1，D是对角阵，是对角阵，则则 An=(PDP-1)n =PDP-1PDP-1. PDP

9、-1 =PDnP-1P= ( p1, p2, , pn ), D=diag(d1,d2,dn)A=PDP-1AP=PD A( p1, p2, , pn ) = ( p1, p2, , pn )d1 d2dn= (d1p1,d2p2,dnpn)Api=di pi, i=1,2,n. 量子力学中量子力学中,矩阵代表力学量矩阵代表力学量, 矩阵的矩阵的特特征向量征向量代表代表定态波函数定态波函数, 矩阵的矩阵的特征植特征植代表力代表力学量的某个可能的学量的某个可能的观测值观测值. 特征植特征植也可以是动力学中的也可以是动力学中的频率频率，稳定，稳定分析中的分析中的极限荷载极限荷载，甚至应力分析中的，

10、甚至应力分析中的主应主应力力. 在图像的压缩处理中，用到的在图像的压缩处理中，用到的奇异值分奇异值分解解与矩阵的与矩阵的特征值特征值紧密相连紧密相连. 此外，此外，特征值特征值在求解在求解ODE，分析一个系，分析一个系统的统的稳定性稳定性方面起着重要的作用方面起着重要的作用.：对于一个特征值，其对应的特征向量：对于一个特征值，其对应的特征向量 有无穷多个有无穷多个. ( ) 给定一个给定一个 A，就有一个线性变换，就有一个线性变换xAx，f即即 f(x) = Ax . f 是是Rn到到Rn上的线性变换，如果上的线性变换，如果满足满足 f(x+y)=f(x)+f(y) f(kx)=kf(x),

11、kR求特征值的目的：求特征值的目的： 线性变换线性变换 f(= 数乘变换数乘变换.2. 几何意义几何意义 设设A 是是22实矩阵，实矩阵， 则则 A 可以看作是可以看作是R2 上的变换上的变换. 若存在某个非零向量若存在某个非零向量使得使得 A与与 平行平行 则则就是就是 A的一个特征向量的一个特征向量.( = A=k ),只有一些特殊的向量只有一些特殊的向量 才能使得才能使得A与与 平行平行: 一类是一类是x轴上的向量；另一类是轴上的向量；另一类是y轴上的向量。轴上的向量。这些向量构成了这些向量构成了A的所有特征向量的所有特征向量.只有一些特殊的角只有一些特殊的角 才能使得才能使得A 与与平

12、行，所以只有一些特殊的角平行，所以只有一些特殊的角 才能才能使得使得A有有实的实的特征值和特征值和实的实的特征向量特征向量. 求特征值和特征向量的一般步骤求特征值和特征向量的一般步骤：求解特征方程求解特征方程| EA|=0的根的根求解求解(EA)x = 的的非零解非零解 (此时方此时方程组一定有无穷多解，只需求出它程组一定有无穷多解，只需求出它的一个基础解系的一个基础解系1 , 2 , , s)k1 1 +k2 2 + +ks s 即为即为A对应于特征对应于特征值值的特征向量的特征向量(k12+k22+ks2 0) 2 0 1 0 3 40 1 1A 3 1 40 2 0 1 1 2A2 2

13、22 1 42 4 1A 例例4 4 假设假设n阶方阵阶方阵 A=kE. 问问A有没有特征值和特征向量？有没有特征值和特征向量？ Rn , A = (kE) = k.k是是A的特征值，所有非零的特征值，所有非零Rn 是是A的对应于特征值的对应于特征值k的特征向量的特征向量.解解：例例5. 求求 的特征值的特征值. 1 0 00 2 03 2 1A一个上、下三角矩阵（特别地，对角矩阵）一个上、下三角矩阵（特别地，对角矩阵）的特征值就是其主对角元素。的特征值就是其主对角元素。注意：注意：不要将一个矩阵化为三角形矩阵，不要将一个矩阵化为三角形矩阵， 再求特征值、特征向量再求特征值、特征向量：设：设

14、A 是是 n 阶方阵阶方阵. 如果存在数如果存在数 k使得使得 kE-A不可逆不可逆, 则能得到什么结论？则能得到什么结论？事实上事实上, k是是A的一个特征值的一个特征值 |kE-A|=0 kE-A不可逆不可逆作作 业业习题五（习题五（B） 1(1,2), 2, ： 12月月11日（周二）日（周二）思考思考：设：设 是是n维非零列向量，计算：维非零列向量，计算：(1)r(T);(2)T的特征值的特征值. 本门课程的内容体系本门课程的内容体系本门课程：研究矩阵的理论本门课程：研究矩阵的理论；:特殊矩阵特殊矩阵;:为了更方便的运算为了更方便的运算;:矩阵之间的一种变换；矩阵之间的一种变换；：相似变换：相似变换(方阵方阵)：可逆变换：可逆变换(实对称阵实对称阵)特征值特征值惯性指数惯性指数秩秩：空间是一种特殊的矩阵空间空间是一种特殊的矩阵空间寻找向量空间的寻找向量空间的极小生成元极小生成元(基基)寻找向量组的极寻找向量组的极大无关组大无关组研究向量组中向研究向量组中向量间的关系（线量间的关系（线性相关性）性相关性）有了基有了基, 就有就有了坐标；了坐标；定义内积定义内积,引入正交引入正交的概念的概念构造一组标准构造一组标准正交