激光原理学课件：Chapter 0-2-5 波函数与薛定谔方程

1、 )(expEtrpiA),(tr 一般情况下粒子波函数记为：一般情况下粒子波函数记为：描写自由粒子物质波的描写自由粒子物质波的 波函数波函数（一）波函数（一）波函数（平面波）（平面波）0-2-5 波函数与薛定谔方程波函数与薛定谔方程1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释1926年年，Born提出了关于电子波函数提出了关于电子波函数 (r)的解释：的解释：| (r)|2 d 代表在代表在 r 点附近大小为点附近大小为d的体积元内找到粒子的体积元内找到粒子的几率，的几率，| (r)|2 为几率密度。为几率密度。（三）波函数的性质（三）波函数的性质根据波函数的几率解释，波函数有如下性质：根据波函

2、数的几率解释，波函数有如下性质：（1 1）几率）几率t 时刻在体积时刻在体积 V 内找到粒子的几率为：内找到粒子的几率为： W(t) = V dW = V | (r, t) | 2 d（2 2） 平方可积平方可积在全空间找到粒子的几率：在全空间找到粒子的几率： |(r, t) | 2 d= 1, 1926年，年，Schrdinger得到了描述微观粒子运动的波动方程。得到了描述微观粒子运动的波动方程。微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子微观粒子量子状态用波函数完全描述，波函数确定之后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量的可能值和相应的几率分的任何一个力学量的平均值及其测量的可

3、能值和相应的几率分布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量布也都被完全确定，波函数完全描写微观粒子的状态。因此量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：(1) 找出波函数所满足的动力学方程找出波函数所满足的动力学方程； (2) 求解各种体系下的动力学方程，得到随时间演化的波函数。求解各种体系下的动力学方程，得到随时间演化的波函数。2 2 Schrdinger方程方程该方程称为该方程称为 Schrdinger 方程方程),(),()(),(222trtitrrVtr若粒子处于势场若粒子处于势场 V(r) 中运动，则：中运动，则：E E 就

4、是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写的状态所描写的状态时的能量，此时体系能量有确定的值，所以时的能量，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为这种状态称为定态定态，波函数，波函数(r,t)(r,t)称为定态称为定态波函数。波函数。Etiertr )(),( 3 3 定态定态 kxxdtxdkx 其其中中0222经典力学中质量为经典力学中质量为 的粒子，受弹性力的粒子，受弹性力 F = - kx 作用，由牛顿作用，由牛顿第二定律可得运动方程：第二定律可得运动方程：其解为其解为 x = Asin(t+)，这种运动称为简谐振动，作这这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振

5、子。种运动的粒子叫谐振子。2222121xkxV4 4 线性谐振子线性谐振子l自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动。如分子振动、晶格振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论简谐振动还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都很重要。在理论上还是在应用上都很重要。dttxditxxtxdxd),(),(21),(222222线性谐振子的薛定谔方程及定态解：线性谐振子的薛定谔方程及定态解：,),(21021 nnEn tEinnnnexHxntx)(21exp!2),(22声子：能量为声子：能量为 的准粒子的准粒子线线性性谐谐振振子子一个谐振子能级只对应一个波函数，即一个量一个谐振子能级只对应