高等数学课件：9-2-2-3二重积分的计算

1、解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 数数表表示示。的的原原函函数数不不能能用用初初等等函函注注意意：xxeexxx1,ln1,sin2 积积分分次次序序的的选选择择原原则则： （1 1） 第第一一原原则则函函数数原原则则：必必须须保保证证各各层层积积分分的的原原函函数数 能能够够求求出出。 （2 2） 第第二二原原则则区区域域原原则则：若若积积分分区区域域是是X X 型型（或或Y Y 型型） 则则先先对对积积分分或或 ) ( xy。 （3 3） 第第三三原原

2、则则分分块块原原则则：若若积积分分区区域域既既是是X X 型型又又是是Y Y 型型 且且满满足足第第一一原原则则时时， 要要使使积积分分分分块块最最少少。 5 5利利用用积积分分区区域域的的对对称称性性和和被被积积函函数数的的奇奇偶偶性性简简化化计计算算 （1 1）若）若21DD 与与关于关于轴轴 y对称，则对称，则 ),( .),(),( , 0 ),( .),(),( ,),(2),(1为奇函数为奇函数关于关于即即时时当当为偶函数为偶函数关于关于即即时时当当xyxfyxfyxfxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （2 2）若）若21DD 与与关于关于轴轴 x对称，则对称，

3、则 ),( .),(),( , 0 ),( .),(),( ,),(2),(1为奇函数为奇函数关于关于即即时时当当为偶函数为偶函数关于关于即即时时当当yyxfyxfyxfyyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （3 3）若）若21DD 与与关于原点对称，则关于原点对称，则 ),(),( .),(),( , 0 ),(),( .),(),( ,),(2),(1为奇函数为奇函数关于关于即即时时当当为偶函数为偶函数关于关于即即时时当当yxyxfyxfyxfyxyxfyxfyxfdxdyyxfdxdyyxfDD （4 4）若积分区域）若积分区域关于关于D直线直线xy 对称对称 （DxyD

4、yx ),(),(） ，） ， 则则 dxdyxyfdxdyyxfDD ),(),(。 ) 1 , 1 () 1 , 1( ) 1, 1( oxy1DD 1D与与2D关关于于 y 轴轴对对称称， 3D与与4D关关于于 x 轴轴对对称称， 将将I分分为为两两个个二二重重积积分分，记记 dxdyxyID 1，dxdyyxID sincos2。 xy 关于关于 x 和关于和关于 y 都是奇函数，都是奇函数， 021 dxdyxyDD,043 dxdyxyDD，01 dxdyxyID。 解解：将将区区域域D分分为为四四个个子子区区域域：1D、2D、3D、4D。 ) 1 , 1 () 1 , 1( )

5、1, 1( oxy1D2D3D4D yxsincos是是关关于于 y 的的奇奇函函数数，关关于于 x 的的偶偶函函数数， dxdyyxdxdyyxDDD 121sincos2sincos， 0sincos43 dxdyyxDD， dxdyyxdxdyyxIDD 1sincos2sincos2， 从从而而dxdyyxIIID 1sincos221， 故故等等式式（1 1） 、 （3 3）不不成成立立；等等式式（2 2）成成立立。 oxy1D2D3D4D（一）把二重积分（一）把二重积分 dyxfD),(化为极坐标形式化为极坐标形式 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上连连续续。区区域

6、域 D 的的边边界界 曲曲线线为为)(1 和和)(2 ， ，其其中中 )(1 ， )(2 在在, 上上连连续续。 oxD )(1 )(2 假设从极假设从极O 点点出发且穿过闭区域出发且穿过闭区域 D 内部的射内部的射 线与线与 D 的边界曲线相交不多于两点。的边界曲线相交不多于两点。 用用以以极极点点为为中中心心的的一一族族同同心心圆圆：常常数数 ，以以及及从从极极点点 出出发发的的一一族族射射线线： 常常数数，把把 D 分分成成 n 个个小小闭闭区区域域，除除 了了包包含含边边界界点点的的一一些些小小闭闭区区域域外外，小小闭闭区区域域的的面面积积可可 i 计计算算如如下下： i i i i

7、ii i ii Dox极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素即即 DDddfdyxf)sin,cos(),(。 又又可可写写成成 DDddfdxdyyxf )sin,cos(),( 故故iiiniiiiidiniiidff 1010)sin ,cos(lim) ,(lim （二二）把把二二重重积积分分的的极极坐坐标标形形式式化化为为二二次次积积分分 oxD)(2 )(1 oxDD)(2 )(1 一一般般地地，先先对对积积分分 后后对对积积分分 。 )()(21)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf1 1极极点点在在积积分分区区域域 D 的的外外部部 )()( :21D )(0

8、 :D )( oxD则则 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf 2 2极极点点在在积积分分区区域域 D 的的边边界界上上 3 3极极点点在在积积分分域域 D 的的内内部部 D： )(020，则则有有 ox)( D 2 0 )(0)sin ,cos(d)sin,cos( Ddfddf解解：D： 1cossin120. xyo dfddyyxfdxxx1 cossin1 2 1 1 )sin,cos(),(0210 4cos24 4 3 0 2 4 cos38 dddI 解：解：.2920)(sin)sin1(316 240 doxy4 4 cos2（1 1） dyxRD2

9、22，D 为圆为圆Rxyx 22所围成的区域。所围成的区域。 解解：把把区区域域 D 的的边边界界曲曲线线的的直直角角 坐坐标标方方程程Rxyx 22化化为为极极坐坐 标标方方程程，得得 cosR，于于是是有有 D： cos022R dRddyxRRD22 cos 0 22222 cosRxoD 22023 cos22)(31dRR 22 33)sin1(31dR 20 33)sin1(32dRsin32220 30 3 ddR)43(93223233 RR。 解解：D： 2140， （2 2） dxyDarctan ，D：4122 yx，0 y，xy 所所围围成成的的区区域域。 2 4 2

10、4 1010cossinarctanarctan dddddxyD.6432332212122224210 xoy解解：由由对对称称性性，得得 dxdyyxaVD 22244 D： cos2020a。 例例 4球体球体22224azyx 被圆柱面被圆柱面)0(222 aaxyx 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 oxyz22224azyx axyx222 D cos20222022244 44aDdaddxdyyxaV)322(332)sin1(33232033 adaoxy cos2aD例例 5 5求求三三叶叶玫玫瑰瑰线线 3sina所所围

11、围成成的的面面积积。 解：解： 3sin 0 0 66 6aDdddS ox6 da3sin0206216 dada6602022)6cos1(233sin3.46sin61232620aa 在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D D的面积的面积 DDddd 若若D如图，则如图，则 . )()(212122)()(21 dddddD oxD)(2 )(1 )( oxD.)(212)(0 dddddD解解在极坐标系下在极坐标系下dxdyeDyx 22 aded0202 ).1(2ae 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyR

12、xyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rded0022 );1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 9.2.39.2.3二重积分的一般换元法则

13、二重积分的一般换元法则（1 1）),(),(vuyvux在在D 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数， （2 2）在）在上上D ， 0, vuyxvuJ， （3 3）变变换换 T：DD 是是一一对对一一的的， 定理定理 设函数设函数),(yxf在在xoy平面上的闭区域平面上的闭区域 D 上连续，上连续， 变换变换 T：),(),(vuyyvuxx ，将，将平面上的平面上的 uov闭区域闭区域 D 变为变为xoy平面上的平面上的 D，且满足，且满足 则有则有 dudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDD),(),(),(, 。 在在极极坐坐标标变变换换 sincosyx下下， cossin

14、sincos,yxJ， 按二重积分的换元公式，便得：按二重积分的换元公式，便得： DDddfdxdyyxf)sin,cos(,。 例例 8 8计算计算 Ddxdybyax22221，其中，其中 D 为椭圆为椭圆12222 byax 所围成的所围成的区域。区域。 解解：作作广广义义极极坐坐标标变变换换： sincosbyax，则则 abbbaayxJcossinsincos,， 1),(2222byaxyxD 20 , 10),(D， DDddabdxdybyax2222211 abddab 32120102。 oxyDxy 2xy22 3 xy2 xyuv1223oD . 33 , 22 ,

15、22 , 122 vxyvxyuxyuxy解：令解：令 xyvxyu2，则，则 313231uvyvux， D 的边界曲线的边界曲线 32 , 21 ),( vuvuDD ， uxyxyxyxyyxvuvuyxJ313121,1,222 ， 322113131vdvduududvuvdxdyxyDD. 2ln6523212ln312 v作作 业业 习习 题题 一一（P P169169）5 5（1 1）（）（4 4）；）；6 6（1 1）（）（2 2）（）（5 5）；）；7 7（2 2）；）；8 8（1 1）（）（4 4） ； 9 9（2 2） ；1010（2 2） ； 11; 11; 13（1） 。解解：抛抛物物线线2xy 把把 D 分分为为两两个个子子区区域域： 2 , 1),(21 yxxyxD， 0 , 1),(22xyxyxD 。 2xy D1D2oxy-1-11 12 2 22122),( ,),( ,DyxyxDyxxyxy 10310234)2(3423dxxdxx.235 被积函数被积函数2xy 在在 D 上是关于上是关于的的 x偶函数，积分偶函数，积分 区域区域 D 关于关于轴轴 y对称，对称，1D、2D也关于也关于轴轴 y对称，故对称，故 dxdyyxdxd