高等数学课件：2-1-2-极限与连续

1、第二节第二节 极限与连续极限与连续 数学系数学系 贺贺 丹丹第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用22 2. .1 1 多多元元函函数数的的极极限限与与连连续续 定义定义 2.1 1 设二元函数设二元函数),()(yxfMf 在点集在点集2RE 上有定义，上有定义， 是是 0ME 的一个聚点，的一个聚点，R 是一定数。是一定数。 若若对对0 , 0 ，使使得得当当EMNM),(0 时时，总总有有 )(Mf 成成立立，则则称称为为 函函数数 f 在在点点0M处处的的极极限限， 记记作作 )(lim0MfMM。 即即 ),(lim00yxfyyxx 或或 ),(lim),(),

2、(00yxfyxyx。 一、极限一、极限第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用3例例1 1 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用4注注. .多元函数有类似于一元函数的极限运算法则多元函数有类似于一元函数的极限运算法则, ,如四则如四则 运算运算, , 复合运算复合运算, ,夹逼定理等同样成立夹逼定理等同样成立. . 001)s

3、in(lim)sin(lim:0000 xxyxyyxyyxyx解解2例例yxyyx)sin(lim00求求第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用5例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用6第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函

4、数微分学及其应用72200lim?xyxyxy 是是否否存存在在4例例取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在解：解：第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用8例例5 5 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随 k 的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用9,)0

5、 ,0(),(时时趋趋于于沿沿解解：当当kxyyx 1lim),(limlim 2000 xxxyxfxyx而而 .lim 220y0 x不不存存在在yxyxyx 1111limlim 20220kxy0 xkkkxkxkyxyxyxx 1lim),(limlim 2000 yyyyxfyxy22000000 (,)lim(,),lim lim(,),lim lim(,).xxyyxyxyxyfx yxyfx yfx yfx y 例例6 6 设设 分分别别求求第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用10二、多元函数的连续性二、多元函数的连续性第五章第五章 多元函数微分学及其应

6、用多元函数微分学及其应用11第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用12第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用13例例1 1 讨论函数讨论函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 , 0 ,2 当当 时时 220yx( , )(0,0)2,f x yf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用14例例2 2 讨论函数讨论函数2222422,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy 在在(0,0)的连续性的连续性,)0,0(),(:时时趋趋于于沿沿直直线线当当解解xyyx ,)0,0(),( 时时趋趋于于沿沿曲曲线线当当xyyx 01limlimlim 2042304220 xy xxxxxyxxyxx212limlim 2204220 xy xxyxxyx. 极极限限不不存存在在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续.第五章第五章