指数与指数函数考点解读

1、基础梳理1根式(1)根式的概念如果存在实数 x，使得 xn a(a R，n 1，n N* )，则 x 叫做 a 的 n 次方根式子 n a叫做根式，这里n 叫做根指数， a 叫做被开方数(2)根式的性质当 n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时， a的 n 次方根用符号 n a表示当 n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n 次方根用符号nna表示正负两个na表示，负的 n 次方根用符号n 次方根可以合写为 ± a(a0)nn a.a当 n 为奇数时， n an a；aa0.当 n 为偶数时， n an |a| a

2、 a 0负数没有偶次方根2 有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂： an a·a· ·a(n N*)；n个零指数幂： a0 1(a0)； p1*负整数指数幂： a ap( a 0， pN)；正分数指数幂： am nam(a 0，m、 n N* ，且 n 1)；n负分数指数幂： a m1 1( a0， m、 n N* 且 n 1)nma n n am 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质 ar as ar s(a 0， r、 s Q) (ar)s ars(a 0， r、 s Q) (ab)r arbr(a 0，b 0，

3、 r Q)3 指数函数的图象与性质y axa 10 a 1图象定义域R值域(0 ， )性质过定点 (0,1)当 x0 时， y1；1x 0 时， 0 y1当 x 0 时， 0 y 1；x 0 时， y 1.在 (， )上是增函数在 (， )上是减函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按： 0a 1和 a 1 进行分类讨论(2)换元时注意换元后 “新元 ” 的范围三个关键点x1画指数函数 y a (a 0，且 a1)的图象，

4、应抓住三个关键点： (1 ，a)，(0,1)， 1， a .双基自测xa)1 (2011 山·东 )若点 ( a,9)在函数 y 3 的图象上，则 tan的值为 (63A 0B. 3C 1D. 3解析由题意有a9，则 a 2，tana3tan 3.D63答案|x 1|2 (2012 郴·州五校联考 )函数 f(x) 2的图象是 ()2x 1， x 1，解析f(x)1x 1故选 B.， x<1，2答案B13若函数 f( x)2x 1，则该函数在 ( ， )上是 ()A 单调递减无最小值B单调递减有最小值C单调递增无最大值 D单调递增有最大值解析 设 y f(x) ， t

5、 2x 1，则 y 1t， t 2x 1， x( ， )t 2x 1 在 ( ， )上递增，值域为(1， )1因此 y t 在 (1， )上递减，值域为 (0,1) 答案 A4 (2011 天·津 )已知 a 5log 23.4， b 5log 43.6， c1log 30.3，则 ()5A a b cB b a c2Ca c bD c a bc11010解析5log 30.3 5log 30.3 5log 3 3，log 23.4 log22 1，log 43.6 log 44 1，log3 3log 33 1，10 log310，log2 3.4 log310 log 4 3.6

6、又 log23.4 log 2333x又y 5 是增函数， a c b.5 (2012 天·津一中月考 )已知 a1a1 3，则 a a 1 _； a2 a2 _.22解析由已知条件 (a11 2 12 a 2) 9.整理得： aa 7又 (a a1)2 49，因此 a2 a 2 47.答案747考向一指数幂的化简与求值【例 1】 ?化简下列各式(其中各字母均为正数)2 111 1(1)a3·b 2·a 2·b3；6a·b5(2)56a13·b 2·( 3a12b 1) ÷(4a23·b 3)12.审题视

7、点 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键1111解a3b2·a2b3(1)原式1 5 a6b61111151 a 3 26·b2 3 6 a.51 3231(2)原式2a6b÷(4a3·b)251 313 4a 6b ÷ a3b 2 5a1·b 3422515 ab ·34ab2.4ab化简结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂【训练 1】 计算：(1)0.027 11 27 1(2

8、 10；371 329 2) 1·(2)14ab1.42 2 3 30.1a b22712 1 2251解(1)原式1 0003 ( 1)792 13 10 49 5 1 45.3313(2)原式42·42 33 3340 04.100·a·a ·b·b 25a·b 222225考向二指数函数的性质113【例 2】 ?已知函数f(x) ax 12 ·x (a 0且 a 1)(1)求函数 f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求 a 的取值范围，使f(x) 0 在定义域上恒成立审题视点 对解析式较复

9、杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决解 (1)由于 ax 1 0，且 ax 1，所以 x 0.函数 f(x)的定义域为 x|x R，且 x 0 (2)对于定义域内任意x，有113f(x) a x 12( x)x a x1 ( x)3 1 x 1 1 ( x) 31 a 2a 1 2 x 1 1 x3 f(x)， a 1 2 f(x)是偶函数(3)当 a 1 时，对 x 0，由指数函数的性质知ax1， ax 1 0， x11 0.a 1211又 x 0 时， x3 0， x3 ax 12 0，即当 x0 时， f(x) 0.又由 (2)知 f(x)为偶函数，即f(x)f(x

10、)，则当 x0 时， x 0，有 f( x) f(x) 0 成立综上可知，当a 1 时， f(x) 0 在定义域上恒成立x3a 1 x当 x 0 时， 1 ax 0， ax 1 0，ax1 0， x3 0，此时 f(x)0，不满足题意；当 x 0 时， x0， f(x) f(x) 0，也不满足题意综上可知，所求 a 的取值范围是 a1.(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用 f( x) ±f( x)， f x 来判断f x(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法 xea【训练 2】 设 f(x) a ex是

11、定义在R 上的函数(1) f(x)可能是奇函数吗？(2)若 f(x)是偶函数，试研究其在(0， )的单调性解(1)假设 f(x)是奇函数，由于定义域为R ，exa xeaf( x) f(x)，即 a exa x ，e41x x整理得a a(e e ) 0，12即 a a 0，即 a 1 0 显然无解(2)因为 f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，exa xa即ea xa x，ee1(ex x整理得a a e) 0，又对任意 x R 都成立，有a 1 0，得 a ±1.a当 a1x ex，以下讨论其单调性，时， f(x) e任取 x1， x2 (0， )且 x1 x2，则 f(x1

12、 ) f(x2) ex1 e x1 ex2 e x2ex1 ex2 ex1 x2 1，ex1 x2 x1， x2 (0， )且 x1 x2， ex1 x2 1，ex1 ex2 0， ex1 x2 1 0， f(x1) f(x2) 0，即 f( x1) f(x2 )，xea函数 f(x) x，当 a1 时在 (0， )为增函数，同理，当 a 1 时， f(x)在(0 ， )为减函数考向三指数函数图象的应用exe x【例 3】 ?(2009 ·山东 )函数 y x x的图象大致为()e e审题视点 函数图象的判断要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性e2x 12，当 x 0 时， e2x 10 且随着 x 的增大而增大，故解析y 2x 11 2xy 1ee 12 1 且随着 x 的增大而减小，即函数 y 在 (0， )上恒大于 1 且单调递减，又函数e2x 1y 是奇函数，故选 A.答案A利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质，比如：函数yax 1ex ex， y2， ylg(10 x 1)等ax 1【训练3】 已知方程 10x 10 x，lg x x 10 的实数解分别为 和 ，则 的值是_5解析 作函数 yf(x) 10x， y g(x) lg