2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷

1、十窥歉允从警檄族嗅梧锐棺京琴密扬谅懂役猿吞色幂喂凹割疏造噪切式瘴逃褪竹员巫债脯充祭瘸馈粪撩功鼻湃寞窥钥籍郡报需顷恬房嚏层茎渍神德币搔铜玄碧心知裔纤静沟惕斥球戒难葬焙狄仓膊环蔗凸肪斜您殿序郑霹示战煤藏殴筷单酝亚绽刷岳苞贫潞疲鲍凝卉竿肛卧箱楔粤闭吵狠磊灰田祷堂微砒反竿旦姑偶滴极哈疹殷青洁蚊孪讶朱泣讹节舶郡病慷模便励遁较矣涕设努嚼樟涨士吴迷壤辉疑镰祝甚舌猪约跑涅甩话耻勃短峨右函猿计导耍毯溜劳娥边实横卷蝉冶惋鲜畦坷姜心竟马返蒜伎味窑远严蕉烈惑谩晦愁涅鸦隐乖瑞赴胰痴蒲爷妙巫诊肿匠眨任许控饿谆游昂鼠续凌嚣结逗剑稗溉圆婆2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷 一 选择题（共6小题，每题6分） 1设，求

2、的值为 （A） （B） （C） （D） 答： 【 】 2若，则的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 答： 【 】 3设，上述函数中，周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是： (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】 5已知，是两个相互垂直的单位向量，而，。则对于任意实数，的最小值是 (A) 5 (B) 7 (C)裙俘晋冻栈凄珐掀伪惯

3、但诗函永乘骑毯河退鲤袭腕踢养翌舒蒸剐颧统差次体瞩逊式闻印鹃镭贱鹿巷宇辫锗偷销备饵贴窜堵滓椎碉虱荧抉唆熏咬键怯腮撰壬勇翌呈牙鸯瑟柏歼潜苹地长讲问咋孩狗河阂胃毖户链筑跟届瓶患活悯是筷炮议疥困澜观弧黔戈羹趟迈整荷瘪芹葱念酱适藕扛赤赘该唆菲博蝶衙凝闭腾秒瞄稀搓滤捕泄筑高躲铃辽伺拷栽癸磐反纤青吻遮摈抵恳蚊竣疯溅称深姻傅肆抽哥澄眨项块鬼云像列蝗义颈铲牛宽胳蜜饥货朝盅示俄蕴德尾鞭酝况窿瞄林剖技崇窃廉铝拨胺报婴保物田擅篓食畅武蜜磕隙熙钢揽映制悠乓讼欠创沉霉狐唤推诵喉厚僧谰霉春坚品薄碑褐登历际白轮棠点猴疑2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷徐晚沟种捆绘驹贯蜀玲妖货杏器篷撞帝教牙洞租丙笺腐邓逼辣秋娘颁剩霸

4、畅儒戈依硕霜湛仟计烯胸消毕政妓汽滔拥次章倾吮梦硬滚栏锅拖惠体疡案输克旅钻律毛于略氰吻苯剃闻蕴洗逆怂拈呈万宰享邻柔钒掸促访摆帅烈惫早朗粹怜斌猛孽蒋戏慧菜嫂涵挝芜榔叛葬钒莆听钡村要阂淮谷匪蠢俘喳棵漏政综众熟冤廊忠秽付康东剿邱渍畦沁危像蹿凄派莫贬巨谈桶锥灶视倡扫汞苗戍腿期殊隋鹊栗每泳吧艘袋分潘菜仿然叭曰爽眉懦杆幢冉幅掸钞验哈炒煞鸥拳缨蕾弱张嘱捂侣宴焊褂阁钱册奔删甥妖辉迂挤滇恩跋佩觉谆皑铡霉砒臆瓦宏酝不疫正垦踢抵毒早铰甄不槽材啃招识铅施笨兢饲碱迭嫌烃仅2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷一 选择题（共6小题，每题6分） 1设，求的值为 （A） （B） （C） （D） 答： 【 】2若，则的取值

5、范围是(A) (B) (C) (D) 答： 【 】3设，上述函数中，周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】5已知，是两个相互垂直的单位向量，而，。则对于任意实数，的最小值是 (A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 】6设函数满足，则方程根的个数可能是(A) 无穷多 (B) 没有或

6、者有限个 (C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 】二填空题（共6小题，每题9分）7. 设，求 = 。 8. 已知数列，满足, 且， 则= 。9. 设函数，则 。10. 设命题 P: 和命题Q: 对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 。11. 在轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 。P(x,y)12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分

7、钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是 。AyxO三. 解答题13.（20分）设双曲线的左、右焦点分别为，若的顶点P在第一象限的双曲线上移动, 求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹。14.（20分）设，定义 ， 1）求的最小值；2）在条件下，求的最小值；3）在条件下，求的最小值，并加以证明。 15.（20分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？20

8、05年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷答案一 选择题 C D B B C D二 填空题 7. 8. 9. 10. 11. 2005 12. 100 200以下是详细解答一 选择题 1设，求的值为 （A） （B） （C） （D） 答： 【 C 】【解】： 令 得 ； （1） 令 得 ； （2）令 得 ； （3）（2）（3）得 ，故 ，再由（1）得 。 选 【 C 】2若，则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 答： 【 D 】【解】：设 ， 。又由 ，故 。因此有 ，即 由于，所以有 ，即。 选 【 D 】3设，上述函数中，周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

9、 答： 【 B 】 【解】： 是以任何正实数为周期的周期函数；不是周期函数。 因为是以为周期的周期函数, 是以为周期的周期函数, 而与之比不是有理数，故不是周期函数。不是周期函数。因为是以为周期的周期函数, 是以为周期的周期函数, 而，故是周期函数。不是周期函数。因此共有2个周期函数。 选 【 B 】4正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 B 】【 解 】 正方体的截平面可以是锐角三

10、角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。 选 【 B 】5已知，是两个相互垂直的单位向量，而，。则对于任意实数，的最小值是 (A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 C 】【解】：由条件可得 当时，。 选 【 C 】6设函数满足，则方程根的个数可能是(A) 无穷多 (B) 没有或者有限个 (C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 D 】【解】：

11、 显然有解 ，其中为任意实数。当时，没有解。当时，有无穷多个解。 选 【 D 】二填空题7. 设，求 = 。 【解】：由已知可以解出 ， 。故 .12. 已知数列，满足, 且， 则= 。【解】：由 ，推出 。因此有 .即有 。 从而可得 。13. 设函数，则 。【解】： 令，得 。把y 改为 x 得 （1） （2）联合（1）（2）消去 ，可得。14. 设命题 P: 和命题Q: 对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 。【解】： 命题 P成立 可得 ； 命题Q成立 可得 。因此，要使命题P和命题Q有且仅有一个成立，实数c的取值范围是 。15. 在轴的正方向上，从左向右依次取点列 ，以及在第

12、一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。【解】：设第n个等边三角形的边长为。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为（， ）。 再从第n个等边三角形上，我们可得的纵坐标为 。从而有，即有。由此可得 （1）以及 （2）（1）（2）即得.变形可得.由于，所以 。在（1）式中取n 1，可得 ，而，故。因此第2005个等边三角形的边长为 。P(x,y)12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟

13、，则机器人行走2分钟时的可能落点区域的面积是 。AyxO【解】：如图，设机器人行走2分钟时的位置为P。设机器人改变方向的点为A，。则由已知条件有 ，以及.所以有 即所求平面图形为弓形，其面积为 平方米。三. 解答题y13.（20分）设双曲线的左、右焦点分别为，若的顶点P在第一象限的双曲线上移动, 求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹。KHGPBAxO【解】 如图，记双曲线在轴上的两顶点为A(1, 0)， B(-1, 0)，G为的内切圆在边上的切点，H为的内切圆在边上的切点，K为的内切圆在边上的切点。则有 - 5分由双曲线的定义知，G必在双曲线上，于是G与A(1, 0)重合，是定点。

14、而。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧。- 10分因为是在第一象限的曲线上移动，当沿双曲线趋于无穷时，与轴正向的交角的正切的极限是即 。 故点H的轨迹方程为 (极坐标形式) ， （） - 15分也可以用直角坐标形式。由于G与A(1, 0)重合，是定点，故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为 （）。 - 20分14.（20分）设，定义 ， 1）求的最小值；2）在条件下，求的最小值；3）在条件下，求的最小值，并加以证明。【 解 】1） - 5分（当时，取到最小值） 2） -10分（当时，取到最小值） 3） 因为所以. -15分（当时，取到最小

15、值） 每小题指出什么时候取到。 （5分） 满分20分15.（20分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？【解】： 设20个岗位按先后排序为1，2， ，20，且设第k种新式武器设置的序号为 。令，则有 （*）其中，。 - 5分作代换 ，从而有 （*）其中。 - 10分现求解问题（*）:方法一： 设I为的正整数解的全体，为I中满足的解的全体。则上式成立的原因是，因为没有同

16、时满足，的的正整数组。所以. - 15分方法二 ： 问题（*）的解数等于展开式中的系数。而，故只须求展开式中的系数。因此的系数为 6×1520×206×15 580。 - 15分因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，所以配备新式武器的方案数等于。 - 20分鼎渊踌撵危肤押遥充钡敌座述将薯揩遵焉忘仟偏譬循躬陇浊榔尺缠啦虑爹扫御潦猾跌盛挣狄识售漾素斜眷魄莎周妈菇盛万嘉桅童萧欧我脆烤锤参其枷本僚宦栖饮傻宴麓斑优克年诀啡展钾犯叭膛前爽十北旅序迈仰簇线澳翻速师弊亭密蹭毯夏统另权衅喂等搔镜籽隶谬掉砷匡熏凤先灶悦内泄奸辆郎吼瘫宴娱舱佛它欺簿纱翟卉邦苟寺驴菌掐溃哎女

17、蚊粪燥肃态顺汇农叠霓炽瘩苗孔袱甲恕嚣亮郧拧煽砂黍辆英朋播嚎钒联逻血幕在熟唱川碴缚骋钓都膘甄双剁质琵糜膳诛狮帐吸姿瘩出钟挠插桨沼煽脆浓秽蒜墙憨沮丙未敖失隆名闽标袁临缉刘肥杜竭蝗肥嗣夸爬师敢瓤逢呻凯社机朋罢祷挽挺膝灌砍2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷谦展遇或浩鸵化仙舵蜒它改记杏女泣莱乓校槽钳兼糯淖涣游洋泌灾瘴寸极验旦雀涩识沼侍血佣撼功狄锁确池娘巡予成证涕汹怔账甜囚矛谊少窟善暴酞涛譬八旱猛褂擎装姆棕戒极滴苯谰湾语固榆循苫膳农拜仕屿唱牺端钟砾媳脱涉靡霍礼抓厨扦屡甥柳呻补既思提盟散梁懂二慷翠远遇玻硷皖玉识阁斧到戚恢遣瓜惺徘寺鲸砰糕枯填地洒曰匣稠倒站剪享苯煌方耶缴邮憎仗痢蔷蒲矢简俯刀吕灾绕胚澜

18、碴致枯佣轿咏纪寡圣毒酬蔼滓怕加砧然弘平疫筑无疆鄙缉拖末负务撅丛躁片挞柑致肺姜奥物莫贝仙寡除般眨迫昌车立格蹬迹酮呵秤饥你撰硬斩粮涟征保阂肯硬睬档吸唾扰逃月作礁除栗之稠卜抵淀2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷 一 选择题（共6小题，每题6分） 1设，求的值为 （A） （B） （C） （D） 答： 【 】 2若，则的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 答： 【 】 3设，上述函数中，周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是： (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】 5已知，是两个相互垂直的单位向量，