1996考研数学三真题和详解

1、1996年全国硕士争论生入学统一考试数学三试题一、填空题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上.(1) 设方程xy y 确定 y 是 x 的函数 , 就 dy .(2) 设x f xdxarcsinxc , 就1dx f x .2(3) 设x , y是抛物线yaxbxc 上的一点 , 如在该点的切线过原点, 就系数应满意00的关系是 .(4) 设1111x11a1aa2a2a3a 2a 2anx21a2, xx, b1 ,123n3an 1a n 1a n 1an 1x1a123nn其中 aia jij; i, j1,2,n . 就线性方程组t xb

2、 的解是 .(5) 设由来自正态总体x n ,0.92 容量为9 的简洁随机样本, 得样本均值x5 , 就未知参数的置信度为0.95 的置信区间为 .二、挑选题 此题共 5 小题 , 每道题3 分, 满分 15 分. 每道题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 累次积分cosdfr200cos, rsinrdr 可以写成1y y211 y 2(a) dyf x, ydxb00dyf00 x, ydx11cdxfx, ydyd1 x x 2dxf x, ydy0000(2) 下述各选项正确选项(a) 如nu 2 和n12 都收敛 , 就vnn 1

3、nunvn1 2 收敛(b)nun vn 收敛 , 就12 与unn 1n2 都收敛vn1(c) 如正项级数1u n 发散 , 就 unn 1n(d) 如级数un 收敛 , 且 unvn n1,2, 就级数vn 也收敛3设 n 阶矩阵n 1a 非奇特 n2 ,a是矩阵n 1a 的相伴矩阵 , 就a a n 1aabn 1a aac a n 2aadn 2 a aa(4) 设有任意两个n 维向量组1 ,m 和1,m , 如存在两组不全为零的数1,m和 k1 ,km , 使 1k1 1mkm m1k1 1mkm m0 , 就(a) 1,m 和1,m 都线性相关(b) 1,m 和1,m 都线性无关c

4、11 ,mm ,11,mm 线性无关d11 ,mm ,11,mm 线性相关(5) 已知 0p b1 且 pa1a2bp a1 bp a2b) , 就以下选项成立的是(a) pa1a2b p a1 bp a2 b (b) pa1 ba2bp a1bp a2b(c) pa1a2p a1 bp a2 b(d) pbpa1pb a1p a2 p b a2 三、 此题满分6 分g xe x设 f xx0,x0, 其中x0,g x 有二阶连续导数, 且g 01, g01 .(1) 求 f x ；(2) 争论 f x 在 , 上的连续性 .四、 此题满分6 分设函数zf u, 方程 u uxp t dt确定

5、 u 是yx, y 的函数 , 其中f u ,u 可微； pt,u 连续 , 且u1 . 求p yzp xz .xy五、 此题满分6 分运算xe01exx 2 dx .六、 此题满分5 分1设 f x 在区间 0,1 上可微 , 且满意条件f 122 xf xdx . 试证 : 存在0,1 使0f f 0.七、 此题满分6 分设某种商品的单价为p 时, 售出的商品数量q 可以表示成 qc 均为正数 , 且 abc .(1) 求 p 在何范畴变化时, 使相应销售额增加或削减.ac , 其中 a、b、 pb(2) 要使销售额最大, 商品单价p 应取何值 .最大销售额是多少.八、 此题满分6 分求微

6、分方程dyyx2y2的通解 .dxx九、 此题满分8 分0100100000y10012设矩阵 a.(1) 已知 a 的一个特点值为3, 试求 y ；(2) 求矩阵 p , 使 apt ap 为对角矩阵 .十、 此题满分8 分设向量1,2 ,t 是齐次线性方程组ax0 的一个基础解系, 向量不是方程组ax0 的解 , 即 a0 . 试证明 : 向量组,1 ,2 ,t 线性无关 .十一、 此题满分7 分假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作, 如一周 5个工作日里无故障, 可获利润10 万元； 发生一次故障仍可获得利润5 万元； 发生两次故障所获利润 0 元；发

7、生三次或三次以上故障就要亏损2 万元 . 求一周内期望利润是多少.十二、 此题满分6 分考虑一元二次方程x2bxc0 , 其中 b、c分别是将一枚色子 骰子 接连掷两次先后显现的点数. 求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、 此题满分6 分假设 x , x , x是来自总体x 的简洁随机样本；已知ex ka k1,2,3,4 .12nk证明：当 n 充分大时 , 随机变量1近似听从正态分布, 并指出其分布参数.zx 2nnin i 11996 年全国硕士争论生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 此题共 5 小题 , 每道题 3 分, 满分 15 分 , 把答案填在题中横线上.(1

8、) 【答案】dxx 1ln y【解析】 方法 1：方程xy y 两边取对数得ln xln y yy ln y , 再两边求微分,1 dxln y1 dydy1dxx ln y10 .xx ln y1方法 2： 把 xy y 变形得xe y ln y , 然后两边求微分得dxey ln y dy lnyy y1ln y dyx1ln y dy ,由此可得dy1x 1ln ydx.(2) 【答案】11x2 3c3【解析】由x f xdxarcsinxc , 两边求导数有xf xarcsin x11x1x2 ,于是有1dx1x2x1x2 dx1f x1x2 dx 2f x211x2 d1x2211x

9、23c .03(3) 【答案】ca0 或ax2c , b 任意【解析】对yax2bxc 两边求导得y2axb,yx2axb,00所以过x0 ,y 0的切线方程为yy02ax0bxx0, 即yax 2bxc2 axbxx.0000又题设知切线过原点0,0, 把 xy0 代入上式 , 得ax2bxc2ax2bx ,即 ax2c.00000c2由于系数 a0 , 所以 , 系数应满意的关系为0 或 ax0ac , b 任意 .t4 【答案】1,0 ,0,0【解析】由于 a 是范德蒙行列式, 由 aia j 知aaia j0 . 依据解与系数矩阵秩的关系 , 所以方程组at xb 有唯独解 .依据克莱

10、姆法就, 对于1aa 2a n 1x111111aa 2a n 1x122221aa 2a n 1x1,33331aa 2a n 1x1nnnn易见d1a ,d2d3dn0.所以 at xb 的解为 x1,xxxt0 , 即 1,0 ,0,0.123n【相关学问点】克莱姆法就：如线性非齐次方程组a11 x1 a21x1a12 x2 a22x2a1 n xn a2n xnb1 ,b2 ,an1 x1an2 x2ann xnbn .或简记为naij x jj 1bi ,i1,2,n其系数行列式a11 a21da12 a22a1n a2n0 ,就方程组有唯独解an1d jxjdan 2,jann1,

11、 2,n.其中 d j 是用常数项b1 ,b 2 ,bn 替换 d 中第 j 列所成的行列式, 即a11a1, j1b1a1, j1a1na21a2 , j1b2a2, j1a2nan1an, j1bnan, j1annd j.5 【答案】 4.412,5.588【解析】可以用两种方法求解：(1) 已知方差20.92 , 对正态总体的数学期望进行估量 , 可依据因 xn ,0.9 2 , 设有 n 个样本 , 样本均值1nxx i ,n i 10.92有 xn , , 将其标准化 , 由公式nxe x d x n 0,1 得：由正态分布分为点的定义x n 0,1 1npxu12nn1可确定临界

12、值u,2进而确定相应的置信区间 xu2, xu .n2n(2) 此题是在单个正态总体方差已知条件下, 求期望值的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间xu, xu,2n2n其中 puu21,un 0,1, 可以直接得出答案.方法 1：由题设 , 10.95 , 可见0.05. 查标准正态分布表知分位点u1.96. 本2题 n9 ,x5 ,因此 , 依据 xp1n1.960.95, 有5p191.960.95 , 即p4.4125.5880.95 ,故的置信度为0.95 的置信区间是4.412,5.588.方法 2： 由题设 , 10.95 ,p uu puuu2u10.95,u0.975查得

13、 u21.96.222220.92 , n9 ,x5 代入xu2, xun2 得置信区间4.412,5.588 .n二、挑选题 此题共 5 小题 , 每道题3 分, 满分 15 分. 每道题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 【答案】 d【解析】 方法 1：由题设知 , 积分区域在极坐标系xr cos, yrsin中是dr ,| 0,0r2cos,2即是由x1y21 与 x 轴在第一象限所围成的y24平面图形 , 如右图 .由于 d 的最左边点的横坐标是0 , 最右点的横坐标是1,212o11x下边界方程是y0 , 上边界的方程是yxx, 从

14、而 d2的直角坐标表示是dx, y| 0x1,0yxx2,故d 正确 .方法 2：实行逐步剔除法. 由于 a 中二重积分的积分区域的极坐标表示为d1r ,| 0,0r2sin,而b 中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,c 中的积分区域是正方形x,y| 0x1,0y1 ,所以 , 他们都是不正确的. 故应选 d.(2) 【答案】 a【解析】由于级数u 2 和v2 都收敛 , 可见级数u2v2收敛 . 由不等式nnnnn 1n 1n 12u vu 2v2nnnn及比较判别法知级数2unvnn 1收敛 , 从而2u n vnn 1收敛 .2又由于uvu 2v22u v ,即级数2uv收敛 , 故应

15、选 a.nnnnn nnn n 1设 un1 ,v n1 n1, 2, 可知 b 不正确 .2n设 un11nn 2n1,2 , 可知 c 不正确 .n 1设 un1,v1nnnn1,2, 可知 d 不正确 .注： 在此题中命题d “如级数un 收敛 , 且 unn 1vn n1,2, , 就级数vn 也收敛 . ”n 1不正确 , 这说明：比较判别法适用于正项级数收敛 或级数肯定收敛 的判别 , 但对任意项级数一般是不适用的. 这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区分.(3) 【答案】 c【解析】相伴矩阵的基本关系式为aaa aa e ,现将 a 视为关系式中的矩阵a , 就有a

16、a ae .n 11a方法一 ：由aa及 a , 可得a a a a 1a n 1aan 2aa.故应选 c.方法二 ：由a a ae , 左乘 a 得 aa a n 1aa , 即 a e a n 1aa .故应选 c.(4) 【答案】 d【解析】此题考查对向量组线性相关、线性无关概念的懂得. 如向量组1,2 ,s 线性无关 , 即如x1 1x22xss0 , 必有 x10, x20, xs0 .既然1 ,m 与 k1,km 不全为零 , 由此推不出某向量组线性无关, 故应排除 b 、c.一般情形下 , 对于k11k22kssl11lss0,不能保证必有k11k22kss0, 及 l11ls

17、s0, 故 a 不正确 . 由已知条件 ,有111mmmk111kmmm0 ,又1 ,m 与 k1 , km 不全为零 , 故11,mm ,11 ,mm 线性相关 .应选 d.(5) 【答案】 b【解析】依题意pa1a2bpa1bpa2 bpa1ba2 bpa1bpa2b,.p bpbp bpbpb因 pb 0 , 故有pa1ba2 bpa1b p a2 b . 因此应选 b.注：有些考生错误地挑选d. 他们认为 d 是全概率公式, 对任何大事b 都成立 , 但是忽视了全概率公式中要求作为条件的大事a1, a2 应满意p a1 0, p a2 0 , 且a1, a2是对立事件.【相关学问点】条

18、件概率公式：p b | ap ab.p a三、 此题满分6 分【解析】1由于g x有二阶连续导数, 故 当 x0 时 ,f x也具有二阶连续导数, 此时,f x可直接运算 , 且 f x 连续；当 x0 时, 需用导数的定义求f0 .x gxe x g xe xxg xg x x1e x当 x0 时,f xx2x2.当 x0 时, 由导数定义及洛必达法就, 有f0limg xe2x洛 limg xe xg洛 lim xe xg 01.x0xg xxxg xx202 xx0221e x,x0,所以fxxg 01 ,2x0.2f x 在 x0 点的连续性要用定义来判定. 由于在 x0 处, 有li

19、mf xlimxg xg xx21e xx0x0xlimg xxgxg xe x x1e xx02 xlim g xxeg01f 0 .x022而 fx 在 x0 处是连续函数, 所以f x 在 , 上为连续函数.四、 此题满分6 分【解析】由zf u 可得zf u u ,zf uu .xxyy在方程 uuxpt dt 两边分别对yx, y 求偏导数 , 得uu up x,uu up y.xxyy所以up x,up y.x1uy1u于是p yzp xzp x p yp x p yf u0 .xy1u1u五、 此题满分6 分【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘, 应当用分部积

20、分法.【解析】 方法 1: 由于xe x1xdx2 dxxdx1ex1exx 分部积分xx1e1eex1e1ex1dxd 1ex x1exxxln1e 1e xc ,1exxx所以xedxlimxeln1ex ln 2.01e x 2x1exxexxxexxxx而limx1eln1e limxx1elne 1elimxexxln1e x x1ex故原式ln 2 .xe xlimxx1ex2xex00 ,1方法 2:01e x 2 dx01ex dxxdx 01exdxdxe xxxxx dx1e001e01e01e101e xd 1e x ln1e x ln 2.0六、 此题满分5 分【分析】

21、由结论可知, 如令xxf x , 就xf xxfx . 因此 , 只需证明x 在0,1 内某一区间上满意罗尔定理的条件.【解析】令 xxf x , 由积分中值定理可知, 存在0, 1 , 使21112 xf xdx2xdx ,002由已知条件 , 有f 1212 xf xdx012, 于是21f 1,且 x 在 ,1 上可导 , 故由罗尔定理可知, 存在,10,1, 使得0, 即f f 0.【相关学问点】1. 积分中值定理：假如函数f x 在积分区间 a, b 上连续 , 就在 a,b 上至少存在一个点, 使下式成立：bf x dxfaba ab.这个公式叫做积分中值公式.2. 罗尔定理：假如

22、函数f x 满意(1) 在闭区间 a, b 上连续；(2) 在开区间a,b内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等, 即f a f b ,那么在a,b内至少有一点 ab , 使得 f0 .七、 此题满分6 分【分析】利用函数的单调性的判定, 假如在 x 的某个区间上导函数fx0 , 就函数fx单调递增 , 反之递减 .【解析】 1 设售出商品的销售额为r , 就arpqp c, r p2abcpb2.pbpb令 r0, 得pabbb abc0 .0cc当 0pb abc 时, rc0 , 所以随单价p 的增加 , 相应销售额r 也将增加 .当 pb cabc 时, 有 r0 , 所以随单价p

23、的增加 , 相应销售额r 将削减 .2 由1 可知 , 当 pb abc 时, 销售额 r 取得最大值 , 最大销售额为c2rmaxabbacabc.cabc八、 此题满分6 分【解析】令zydydz, 就zx.xdxdx当 x0 时, 原方程化为zx dzz1z2 , 即dzdx, 其通解为ln zdx12ln xc或zz2x2c.代回原变量 , 得通解yx21z y2c x11zx0 .当 x0 时, 原方程的解与x0 时相同 , 理由如下 :令 tx , 于是 t0 , 而且dydydxdyyx2y2yx2y 2yt 2y 2.dtdxdtdxxxt从而有通解yt 2y2c t0 , 即

24、yx2y2c x0 .综合得 , 方程的通解为yx2y 2c .注： 由于未给定自变量x 的取值范畴 , 因而在此题求解过程中, 引入新未知函数zy 后得xx2y2x1z2 ,从而 , 应当分别对x0 和 x0 求解 , 在类似的问题中, 这一点应当牢记.九、 此题满分8 分【分析】此题的1 是考查特点值的基本概念, 而2 是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题, 用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题.【解析】 1 由于3 是 a 的特点值 , 故31003ea1300313y182y0,003y113110011所以 y2 .2 由 于 ata , 要 apt app

25、t a2p, 而10002010000540045a是对称矩阵, 故可构造二次型x t a2 x , 将其化为标准形yty . 即有a2 与合同 . 亦即t2pa p.方法一： 配方法 .t22222由于x a xxx5x5x8x x12343 4x2x25 x28 x x16 x2 5x2162x123344445255x2x25 x4 x 29 x2 ,1234455那么 , 令 y1x1 , y2x2 , y34x3x4 , y4 5x4 , 即经坐标变换x1000y11x01002y24,x3001y35x40001y4有t222292xa xy1y25y3y4 .5所以 , 取100

26、00100p4, 有00150001apt ap11pt a2 p5.95方法二： 正交变换法 .二次型xt a2 xx2x25x25x28x x 对应的矩阵为12343 4a2其特点多项式10000100,00540045ea21000010031 9 .0054200451a2 的特点值1,21,31,49 . 由 1 ea x0 , 即0000x100000x200044x300044x40,2和 4ea x0 , 即8000x100800x20,0044x300044x40分别求得对应1,2,31的线性无关特点向量121,0,0,0 t ,0,1,0,0 t ,0,0,1,1t ,t3

27、和49 的特点向量40,0,1,1.对1,2 ,3 用施密特正交化方法得1 ,2 ,3 , 再将4 单位化为4 ,其中：1,0,0,0 t ,0,1,0,0 t ,0,0,1,1 t ,0,0,1,1t .12342222取正交矩阵10000100p1 ,2 ,3 ,40000111,22112212t21就pa ppa p,191tt21即 ap appa p.19十、 此题满分8 分【解析】 证法 1： 定义法 如有一组数k, k1 , k2 ,kt , 使得kk1 1k2 2 kt t 0,1就因1,2 ,t 是 ax0 的解 , 知 a i0i1,2, t, 用 a 左乘上式的两边,

28、有kk1k2kt a0 .2由于 a0 , 故 kk1k2kt0 .对1 重新分组为kk1k2kt k11k22ktt0 .3把2 代入 3 得k11k22ktt0 .由于1,2 ,t 是基础解系 , 它们线性无关 , 故必有 k10,k20, kt0 .代入 2 式得 : k0 .因此向量组,1 ,2 ,t 线性无关 .证法 2： 用秩 经初等变换向量组的秩不变. 把第一列的 -1 倍分别加至其余各列, 有,1,2 ,t,1 ,2 ,t.因此r,1 ,2 ,tr,1 ,2 ,t.由于1,2 ,t 是基础解系 , 它们是线性无关的, 秩 r1,2 ,tt , 又必不能由1 ,2 ,t 线性表出 否就 a0 , 故 r1 ,2 ,t ,t1.所以r,1 ,2 ,tt1.即向量组,1 ,2 ,t 线性无关 .十一、 此题满分7 分【解析】设一周5 个工作日内发生故障的天数为x , 就 x 听从二项分布即b 5,0.2 .由二项分布的概率运算公式, 有px00.850.32768,px1c1 0.840.20.4096,5px2c 2 0.830.220.2048,5px31px0px1px20.05792.设一周内所获利润y 万元