ch5线性定常系统的反馈结构与状态观测器

1、2021-11-191Ch5 线性定常系统的反馈结构及线性定常系统的反馈结构及状态观测器状态观测器2021-11-192输出反馈: 用输出量作为反馈状态反馈:用系统内部的状态变量作为反馈基于经典控制理论的系统设计与综合，采用：输出反馈。基于现代控制理论（状态空间法）的系统设计与综合采用：状态反馈、输出反馈状态反馈需要状态可物理测量，实际不可能完全物理上可检测的。状态观测器问题2021-11-1935.1 线性定常系统的常用反馈结构及其对系统特性的影响线性定常系统的常用反馈结构及其对系统特性的影响5.1.1两种反馈结构：状态反馈与输出反馈两种反馈结构：状态反馈与输出反馈1）状态反馈）状态反馈设系

2、统的状态空间模型)()(A)(tBttuxx)(C)(ttxy设系统的控制量：)()()(tKttxvunpK:维p:v)()()-()(tBtBKAtvxx状态反馈系统的动态方程)(C)(ttxy( )A ( )( ( )( )ttBtK txxvx2021-11-194BBKAsICBBKAsICsGk11)()(状态反馈后的传递函数矩阵：闭环系统：,-CBBKAsICBAyvxx Ku2021-11-1952）输出反馈）输出反馈输出反馈到状态微分的反馈系统输出反馈到状态微分的反馈系统)()()-()()()(A)()()(tBtHCAtHCtBtHtBtAtuxxuxyuxx输出反馈两种

3、输出反馈：（1）输出反馈到状态微分的反馈系统输出反馈到状态微分的反馈系统 （2）输出反馈到参考输入的反馈系统）输出反馈到参考输入的反馈系统sICBAyxx Hu2021-11-196传递函数：BHCAsICsGH-1)()(输出反馈到参考输入的反馈系统输出反馈到参考输入的反馈系统( )( )( )( )ttFttFcxuvyvqpF:( )( )( ( )( )( )( -) ( )( )tA tBtFCx ttA BFCtB txxvxxv)(C)(ttxy传递函数：BBFCAsICsGF-1)()(sICBAyxx Fuv2021-11-197如果KCF输出反馈等价与状态反馈5.1.2反馈

4、结构对系统性能的影响反馈结构对系统性能的影响状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等。1）对系统可控性和可观测性的影响）对系统可控性和可观测性的影响定理 1：状态反馈的引入不改变系统可控性，但可能改变系统的可观测性。)()()-()(tBtBKAtvxx状态反馈系统的动态方程)(C)(ttxy2021-11-198证明：设被控系统S0)()(A)(tBttuxx)(C)(ttxy)()()-()(tBtBKAtvxx状态反馈系统Sk的动态方程)(C)(ttxy证明Sc0和Sck的秩相同10.nCSBABAB1().()nCKSBABKABKB将

5、B看做列向量b1,b2,bp，K看做行向量k1,k2,kp2021-11-199所以，有1212.;.ppBbbbABAbAbAb12()()().()PABK BABK bABK bABK b121212121122().iiiippiiiipiiipippik bk bABK bAbbbbk bccAbbbbAbc bc bc bc将B看做列向K看做行向量2021-11-1910（A-BK)B的列是的列是B，AB列的线性组合，同理（列的线性组合，同理（A-BK)iB的列是的列是B，AB，AiB列的线性组合列的线性组合rankSckrankSco( )( -)+ ( )( )tA BKBKt

6、BtxxvrankSckrankSco则则S0可看做可看做Sk的状态反馈，同理有的状态反馈，同理有0CCKrankSrankS状态反馈不改变可控性状态反馈不改变可控性2021-11-1911定理 2：输出反馈到状态微分的反馈系统，不改变系统可观测性，但可能改变系统的可控性。)()()-()(tBtHCAtuxx)(C)(ttxy定理 3：输出反馈到参考输入的反馈系统（即输出反馈），不改变系统可控性和可观测性。)()()-()(tBtBFCAtvxx)(C)(ttxy2）对系统稳定性的影响）对系统稳定性的影响)()()-()(tBtBKAtvxx状态反馈系统的动态方程状态反馈和输出反馈都会改变系

7、统的系数矩阵，所以其会影响系统的稳定性。2021-11-1912若状态反馈系统是渐近稳定的，则要求（A-BK）的特征值均有负实部，则系统实现了状态反馈镇定镇定镇定:通过反馈使得闭环系统成为稳定系统定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态反馈可镇定的。uxxxxPBPAPcccc122121110AAAPAP01BPB由于系统 A, B 不完全可控，则有可控性结构分解引入状态反馈,21KKK 证明2021-11-19131211212111211221det()det()0det,0000det0000det0det()det()cccccccccccsIA BKsIA B

8、KsIAABK KsIAsIAABKBKsIAsIAB KAB KsIAsIAB KsIA2021-11-19145.2、单输入单输出系统的极点配置、单输入单输出系统的极点配置闭环系统的性能与闭环极点（特征值）密切相关。在经典控制理论中用调整开环增益、串联校正、并联校正来配置闭环极点，改善闭环系统的性能。定义定义:所谓极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环极点的所谓极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环极点的位于所期望的极点位置。位于所期望的极点位置。5.2.1状态空间方法：利用状态反馈、输出反馈来配置极点。状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦控制等方面具有很多的应用。

9、2021-11-1915两个问题两个问题：（）极点可配置的条件； （）确定极点配置所需要的反馈增益矩阵。讨论单输入多输出系统线性定常系统的状态反馈和极点配置问题。定理定理 5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控受控系统可控证明证明： （1）充分性：系统可控，能实现极点配置设受控系统A, b是状态可控的，经非奇异变换xx1 P将 矩阵A、b可化为可控标准型，有ubAPbuPAPxxx12021-11-19161101100001000010naaaPAPA100bbP变换后的状态反馈矩阵,12101nkkkkPkk)()()()()()()(1ttvtPtvttvtuxkxkkx

10、vvbxkbxkbxx)-A()(A2021-11-1917(A-)vxbk xb01210110100000100A-,000101nnk k kkaaa bk)()()(100000010111100nnkakakaAkb2021-11-19180111111100112111det()100010det0001001 0000101 00( 1) ()00001010001nnnnnnnnnIAak a kakakaka k a kakak bk 1111100()()() 0nnnnaka kak 001111010000001() () ()nna ka kak 2021-11-19

11、19通过选择1210,nkkkk可以满足方程中 n 个任意待定的参数 （）必要性：若系统不可控，必有一部分状态与 无关，不可能具有可控标准型，也就不可能得到全状态反馈，不可控部分的子系统的特征值不能重新配置。u2021-11-1920状态反馈的一些性质：（1）状态反馈不会改变系统的可控性不会改变系统的可控性，即经过状态反馈后系统仍然可控；（2）状态反馈可能会影响系统的可观性可能会影响系统的可观性( )()(C-)y tcducd vddvxxkxk x由输出方程：0-Ckd若dvty)(输出的量测中不含有任何系统状态。2021-11-1921单输入单输出系统的极点配置算法单输入单输出系统的极点

12、配置算法5.2.2规范算法：规范算法：给定可控系统A,b和期望的闭环特征值 ，要确定状态反馈增益向量 ，使闭环系统的动态矩阵的特征值为n,21,21nkkkkn,21)-(BKA（）计算的特征多项式（）计算由 所决定的希望特征多项式0111detasasasAsInnn*0*11*121*)()()(asasasssssannnnn,212021-11-1922(4) 计算变换阵(5) 求 P(6)计算反馈增益向量（）计算k,1*11*10*0nnaaaaaak111,11111nnnaaabAbbAPPkk 2021-11-1923例1已知系统状态方程)(001)(12-10061000)(

13、tuttxx 求状态反馈向量，使系统的闭环特征值为j1,23 ,21解：系统的可控性判别矩阵nSrankbAAbbScc3,100610001,22021-11-1924系统的特征多项式sssAsI7218det23464)()()(*23321sssssssa希望特征多项式则可求得14664,2*21*10*0aaaaaak变换阵001011211872118720118001001016100111,21221aaabAbbAP2021-11-19251441811210100P122018614144181121010014664 Pkk2021-11-1926例2：受控系统求状态反馈矩

14、阵,210kkkk使系统的闭环极点为j1,23 ,21sssssssusy2310)2)(1(10)()(23解： （1）列写状态空间表达式，能控标准型103200210baaasssssssusy2310)2)(1(10)()(232021-11-1927)(100)(3-2-0100010)(tuttxx 2001 ,013 ,3107ccSb Ab A brank Sn)(0010)(ttyx2021-11-192832210det()(3)(2)0IAkkkbk0464)1)(1)(2(23jj4,62 ,43012kkk1,4,4210kkk 144210kkkk2021-11-19

15、292xs1s1s10k1032k2v1x3xy1ku2021-11-1930例3：受控系统求状态反馈矩阵,210kkkk研究使系统的闭环极点为j1,23 ,21sssssssssusy231010)2)(1()1(10)()(23的可能性。解：若按可控标准型实现，则状态反馈矩阵设计结果和例2致。现按可观标准型实现，设计状态反馈矩阵现按可观标准型实现，设计状态反馈矩阵01010320210210bbbaaa2021-11-193100010( )10 -2( )10( )01-30ttu txx)(100)(ttyx310102101011010100101031020100021021021

16、0kkkkkkkkkAbk)103020()2104030()31010()(det2102102103kkkkkkkkAIbk0464)1)(1)(2(23jj2021-11-193243101010kk62104030210kkk4103020210kkk) 1 (1101010kk)2(4104030210kkk)3(4103020210kkk01010)3()2(10kk上述方程与方程（1）是矛盾的，所以无解（为什么）系统状态不完全可控，无法用状态反馈实现闭环极点任意配置。2021-11-1933能控标准型 a=0 1 0 0 0 1 0 -2 -3 b=0;0;1 c= 10,10

17、,0 ctrb(a,b)=0 0 1 0 1 -3 1 -3 7 rank(ctrb(a,b)=3 obsv(a,c)=10 10 0 0 10 10 0 -20 -20 rank(obsv(a,c)=2能观标准型 a=0 0 0 1 0 -2 0 1 -3b= 10;10 ;0c=0,0,1 ctrb(a,b) =10 10 0 0 10 10 0 -20 -20 rank(ctrb(a,b)=2 obsv(a,c)= 0 0 1 0 1 -3 1 -3 7 rank(obsv(a,c)=3( )10(1)( )(1)(2)y ssu ss ss2021-11-1934( )10(1)( )

18、(1)(2)y ssu ss ss2021-11-19352）利用输出反馈的极点可配置条件定理9-6:用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可观测证明：以多输入-单输出系统为例（利用对偶原理）若系统(A,B,C)可观测 则系统(AT,CT,BT)可控，由状态反馈极点配置定理知道(AT-CTKT)的特征值可任意配置由于(AT-CTKT)的特征值与(AT-CTKT)T的特征值（即A-KC，输出至状态微分的反馈）相同故当系统(A,B,C)可观测时可任意配置A-KC的特征值。2021-11-1936（3）状态反馈对传递函数零点的影响状态反馈在改变系统极点的同时，是否对系统的零点

19、产生影响？已知完全可控的单输入单输出线性定常系统经适当地非奇异线性可化为可控标准型受控系统的传递函数为ABC xxuyxABCxxuyx11( )G sC sIABC sIAB2021-11-193711101012101111021( )1000010000010110001nnnnnnnnG sC sIABC sIABssaaasassasa sass 11101110nnnnnsssasa sa2021-11-193811101011111101111021( )10000100000011nnnnnnnnnnnG sC sIAbkBC sIAbkBsssakakakakssasa sa

20、ss 111011100001nnnnnsssasa sa 引入状态反馈后的闭环系统传递函数为 2021-11-1939结论：G(s)与与Gk(s) 的分子多项式相同，即闭环系统的分子多项式相同，即闭环系统零点与被控系统零点相同，状态反馈对零点与被控系统零点相同，状态反馈对G(s)的零点没有影响，惟使的零点没有影响，惟使G(s)的极点改变为闭的极点改变为闭环系统极点。环系统极点。 2021-11-19405.3、全维状态观测器及其设计、全维状态观测器及其设计为什么要构建状态观测器为什么要构建状态观测器（1）在许多实际系统中，系统的状态变量并非都）在许多实际系统中，系统的状态变量并非都是物理量，

21、从而这些状态变量未必都可以直接测量是物理量，从而这些状态变量未必都可以直接测量得到。得到。 （2）即使状态变量是物理量，可以通过传感器测）即使状态变量是物理量，可以通过传感器测量得到，但要直接测量所有的信号一方面会造成系量得到，但要直接测量所有的信号一方面会造成系统成本的提高，另一方面，大量传感器的引入会使统成本的提高，另一方面，大量传感器的引入会使系统可靠性降低。系统可靠性降低。 状态观测器、状态估计器、状态重构器状态观测器、状态估计器、状态重构器全维全维状态观测器的维数状态观测器的维数=被控对象的状态维数被控对象的状态维数2021-11-1941全维状态观测器全维状态观测器的构成方案的构成

22、方案q设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即为ABC xxuyx在这里设系统的系统矩阵在这里设系统的系统矩阵A、输入矩阵输入矩阵B和输出矩阵和输出矩阵C都已知都已知. 这里的问题是：这里的问题是： 若状态变量若状态变量x(t)不能完全直接测量到不能完全直接测量到,如何构如何构造造一个系统一个系统随时随时估计该状态变量估计该状态变量x(t)。2021-11-1942 对此问题一个直观想法是：对此问题一个直观想法是： 利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质动力学性质(即有同样的系数矩阵即有同样的系数矩阵A,B和和C)的的如下系统来重构被

23、控系统的状态变量如下系统来重构被控系统的状态变量:ABCxxuyx其中其中 为被控系统状态变量为被控系统状态变量x(t)的估计值的估计值. x2021-11-1943由于两个系统的初始状态可能不同，即)( )(00ttxx存在状态误差：)()(ttxx输出误差：)()( tyty根据反馈控制原理：)()( tyty状态观测器的状态微分端)( tx0)()( tyty0)()(ttxx即使ABC完全相同，状态也可能不同，一定存在状态误差：可测量2021-11-1944HABCABCxx x xyy yyvu状态观测器结构图2021-11-19455.3.2全维状态观测器分析与设计全维状态观测器分

24、析与设计由状态观测器的结构)()()(A)(yyHtBttuxx)( C)( ttxyHytBtt)()(HC)-A()(uxxHC-A观测器系统矩阵：决定了观测器的特征值观测器设计是要求两个系统在任意的初始状态 ，都能保证)(),(00ttxx0)()(limtttxx上述也称为观测器存在的条件。2021-11-1946考察状态误差动态方程( )() ( )( )tA- HCtBtHyxxu)()(A)(tBttuxx)(C)(ttxy由)()()()()()(tHCtBtA-HCBAttxuxuxxx)()()()()(ttA-HCttxxxx状态误差动态方程的解：)()()()(00)(

25、0ttettttHCAxxxx)()(00ttxx)()(ttxx所引入的输出反馈不起作用若)()(00ttxx)()(ttxx输出反馈起作用若A-HC的特征值具有负实部，则0)()(ttxx2021-11-1947因此要求因此要求A-HC的极点具有负实部。的极点具有负实部。由于在状态观测器中引入的反馈为输出到状态的反馈，由于在状态观测器中引入的反馈为输出到状态的反馈，根据定理根据定理6，极点任意配置的条件是系统可观测，极点任意配置的条件是系统可观测因此如果系统可观测因此如果系统可观测，则推出该系统的状态观测器一则推出该系统的状态观测器一定存在。定存在。定理定理7：若系统（A，B，C）状态可观

26、测，则状态可用HytBtA-HCt)()()()(uxx的全维状态观测器给出估计值，其中 H 按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差的衰减速率。2021-11-1948例：设被控对象试设计全维状态观测器，将极点配置到)2)(1(2)()(sssUsY1021解：（1）列写状态空间模型，如考虑可控标准型)(10)(3210)(tttuxx)(02tyx（2）设计输出反馈阵1, 2qn10hhH2021-11-1949322120232101010hhhhA-HC观测器特征方程：0)262()32(32212)det(100210hhhhhHCAI期望观测器特征方程：010020)10(222

27、0320h10026210hh5 . 80h5 .231h2021-11-1950给定线性定常系统式中试设计一个全维状态观测器，使得观测器的极点为1=2=5例例22021-11-1951答：首先验证系统的能观性。由于以下用直接法来确定：设2021-11-1952期望的特征多项式是：通过比较系数得到线性方程组 ：求解该线性方程组，得到：相应的状态观测器为：2021-11-1953KHABCABCxx x xyy yyvu状态观测器及其状态反馈结构图状态观测器2021-11-19545.4、分离特性、分离特性两个问题：（1）在状态反馈系统中，用状态估计值 是否要重新计算状态反馈增益矩阵K？)()(

28、ttxx（2）当观测器被引入系统后，状态反馈部分会改变已经设计好的观测器的极点配置？设控制输入：)( tKxvu)()()()(tBtBKtAtvxxx)(C)(ttxy全维状态观测器：( )( )( )()( )( ( )( )( )() ( )( )( )tAtBtH yyAtBtkxH Cx tCx tAHCBKtHCtBtxxuxvxxv首先看第二个问题2021-11-1955)()()()(tBtBKtAtvxxx( )() ( )( )( )tAHCBKtHCtBtxxxv引入状态误差动态方程：)()()()()(ttA-HCttxxxx状态反馈系统全维状态观测器：结论:在原系统中

29、引入状态反馈以后观测器的状态与系统状态之差不变(与式9-136相同）,无需重新计算状态观测器,H不变2021-11-1956)()()()(tBtBKtAtvxxx( )() ( )( )( )tAHCBKtHCtBtxxxv构造2n维复合系统：vxxxxBBHCBKAHCBKAxxy0C)(C)(ttxy用状态观测器的值来代替真实状态是否需要重新设计状态反馈矩阵2021-11-1957对2n维复合系统，引入非奇异变换：xxxxx0nnnIII00ABKBKBAHC xxvxxxxxxxy0CvxxxxBBHCBKAHCBKAxxy0C2021-11-1958000)(1BHCAsIBKBKA

30、sICsG注意：1111100TSTRRTSRBBKAsICBHCAsIBKAsICsG111)(0)(0*)(0)(对2n维复合系统的传递函数结论：书上p491，复合系统与状态反馈子系统有相同的传递特性，与观测部分无关，用估计的状态代替原状态后对状态反馈无影响。2021-11-1959对2n维复合系统的特征值|0detHCAsIBKAsIHCAsIBKBKAsI分离定理：分离定理：若被控系统（，）可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行2021-11-19605.6 降维状态观测器的概念降维状态观测器的概念当状态观测器估计状态向量维数小于受控对象状

31、态向量维数时，称为降维状态观测器。使用场合：一是系统不可观测；二是不可控系统的状态反馈控制设计三是希望简化观测器的结构或减小状态估计的计算量。2021-11-19612021-11-1962降维状态观测器设计原理降维状态观测器设计原理 利用利用y直接产生部分状态变量直接产生部分状态变量，降低观测器，降低观测器的维数。若输出的维数。若输出q维，则需要观测的状态为维，则需要观测的状态为(n-q)维。即观测器的维数少于状态维数维。即观测器的维数少于状态维数 简化结构简化结构（一）原理建模（一）原理建模112211()q nxAxBuyCxnCnqCCCCqCX已知维系统，q个输出为状态的线性组合线性

32、变换，变成仅含独立的状态变量为q（为零矩阵）为q （为单位阵）关键是求出对应的部分观测器Y1=xn-q+1Y2=xn-q+2Yq=xnY=CX2021-11-1963xAxBuyCx111122122AAAQAQAA12BBQBB1、把状态方程“一分为二”DCn n设非奇异矩阵Q系统方程变换为式中1,rankQnxQx取12xxxD为使Q非奇异的矩阵2021-11-196411DCCQCC100DDDCCCCCCCIDCIC因为：以上说明用构造的非奇异变换阵Q进行线性变换后能够使输出直接表示状态X22021-11-196511111221221122222xAxAxB uxAxAxB uyx2

33、1,xyx上式 可由 直接获得 不必再通过观测器 只要求估计 的值。可得可得xAxBuyCx111122122AAAQAQAA12BBQBB12xxx由2021-11-19661x（ ）1111122211222xA xAyB uyAxAyB u2yx由2、建立需被观测部分的状态方程121222:vA yBuzyA yB u令111 121 1xA xvzA x则有1121()(,1,),(qnqAAnn上式是维子系统输入v 输出z维完全能观测，）维当然能观测。xCyuBxAx2021-11-19673、降维观测器的实现1121(,1,)AA子系统的观测器方程为1111121()xA xvH

34、zzzA x()xAxBuHyy由 观 测 器 方 程121222:vA yBuzyA yB u由于111121121222()()xAHAxA yBuH yA yB u2021-11-1968为了消去 作变换y11211222121()() ()()wAHAw HyAHAyBHB uxw Hy 以上两式为降维观测器的状态方程。11wxHywxHy111121121222()()xAHAxA yBuH yA yB u111121121222()()xHyAHAxA yBuH yA yB uHy112111211222121()()()wAHAwAHAHAHAyBHB uxwHy2021-11-1969降维状态观测器的极点由特征方程11210IAHA来决定用作反馈的状态由两部分给出， 第一部分由降维状态观测器给出， 第二部份直接由输出观测2021-11-19701200n qn qqqHIHxwHyIwxwyIIyyx 4、变换后系统状态变量的估计值为分