高等数学课件：8-7 多元函数微分学的应用

1、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面空间曲面的切平面与法线空间曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面( )( ) ,( )Cxtyttzt 设设空空间间曲曲线线的的参参数数方方程程为为C求求由由以以上上方方程程所所确确定定的的曲曲线线的的切切线线及及法法平平面面. .切切线线割割线线的的极极限限位位置置；C法法平平面面过过上上一一点点作作垂垂直直于于该该点点切切线线的的平平面面. .( )( )( )ttt设设，可可导导，0000(,)M xy zCtt 为为曲曲线线上上对对应应于于的的一一点点，0000(,)N xx yy zzCttt 为为曲曲线线

2、上上对对应应于于的的一一点点，xyzOMN222000( )( )( )0ttt ，MN割线割线 的方程为的方程为000 xxyyzzxyz考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以t 000 xxyyzzxyzttt0NMt 当当，即即时时，曲线曲线 C 在点在点 M 处的切线方程处的切线方程000000( )( )( )xxyyzzttt过过 M 点并且与切线垂直的平面称为点并且与切线垂直的平面称为法平面法平面.切线的方向向量称为曲线的切线的方向向量称为曲线的切向量切向量. . 000( ),( ),( )Tttt 000000( )()(

3、 )()( )()0txxtyytzz000000( )( )( )xxyyzzttt例例1解解23:(1,1,1)xtCytMzt 求求在在点点处处的的切切线线与与法法平平面面方方程程. .(1,1,1)1Mt 点点对对应应于于，12(1, 2 , 3)tTtt (1, 2, 3) ，111123xyz切切线线方方程程为为，(1)2(1)3(1)0.xyz法法平平面面方方程程为为例例2解解03cos:2sincos01tutxeuduCytttze 求求在在处处的的切切线线与与法法平平面面方方程程. .0(0,1,2)t 对对应应于于点点，03(cos , 2cossin , 3)tttTe

4、ttte (1, 2, 3) ，012123xyz切切线线方方程程为为，2(1)3(2)0.xyz法法平平面面方方程程为为注000( )(1):(,)( )yxCM xy zzx 空空间间曲曲线线在在点点处处的的切切线线与与法法平平面面方方程程. .:( )( )xxCyxzx x以以为为参参数数，000001()()xxyyzzxx00000()()()()()0 xxxyyxzz00( )(2):(,0)0yy xCM xyz 平平面面曲曲线线在在点点处处的的切切线线与与法法平平面面方方程程. .:( )0 xxCyy xz x以以为为参参数数，00001()0 xxyyzy x 000(

5、)()()0 xxy xyy 000( , , )0(3):(,)( , , )0F x y zCM xy zG x y z 空空间间曲曲线线在在点点处处的的切切线线与与法法平平面面方方程程. .由由隐隐函函数数存存在在定定理理，( )(,)0( , )( )yy xF Gy zzz x 若若( )( )xxyy xzz x 000001()()xxyyzzy xz x00000()()()()()0 xxy xyyz xzz例例3解解22222250(3,4,5)xyzMxyz 在在点点处处的的求求切切线线与与法法平平面面方方程程. ., y zxx将将视视为为的的函函数数，方方程程组组两两

6、端端直直接接对对求求导导，2220222xyyzzxyyzz (3,4,5)M将将代代入入上上式式得得，000068 ()10 ()068 ()10 ()y xz xy xz x 3(1,0)4T 3453104xyz 切切线线方方程程为为，3(3)(4)0.4xy法法平平面面方方程程为为003()4()0y xz x 解解得得 练习练习22222294173(1)14xyzxyzx 求求球球面面与与椭椭球球面面的的交交线线上上对对应应于于处处的的切切线线与与法法平平面面方方程程. .1112122yxz 1112122yxz 1(1)2()2(1)02xyz 1(1)2()2(1)02xyz

7、 二、空间曲面的切平面与法线二、空间曲面的切平面与法线:( , , )0(1)F x y z隐隐式式:( , )(2)zf x y显显式式000222(1)(,)( , , )0 xyzMM xy zF x y zMFFF 设设曲曲面面由由方方程程确确定定，为为上上的的一一点点，在在点点处处具具有有连连续续偏偏导导数数，且且，M 以以下下证证明明：上上过过点点的的所所有有曲曲线线在在该该点点的的切切线线都都位位于于同同一一平平面面 ：000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxy zxxFxy zyyF xy zzz 上上. .M设设为为曲曲面面上上过过点点的的任任意意

8、一一条条曲曲线线，nTM( )( )( )xtytzt 的的方方程程为为，0ttM 并并设设对对应应于于点点，222000( )( )( )0ttt 且且， ( ),( ),( )0Fttt ，t两两边边对对 求求导导得得，( )( )( )0 xyzFtFtFt 0tt 将将代代入入，000000000000(,)( )(,)( )(,)( )0 xyzFxy ztFxy ztF xy zt 000(,) ( ),( ),( )0 xyzF F Fttt ，n T 0n T 即即000000000(,),(,),(,)xyzMnFxy zFxy zF xy z 这这说说明明：过过点点的的任任

9、意意一一条条曲曲线线在在该该点点的的切切线线均均与与垂垂直直. .(,)xyzMMnF F F 即即过过点点的的任任意意一一条条曲曲线线在在该该点点的的切切线线都都在在过过点点并并且且以以为为法法向向量量的的平平面面上上.M 称称该该平平面面为为曲曲面面在在点点的的切切平平面面000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxy zxxFxy zyyF xy zzz MM 过过点点并并且且以以切切平平面面的的法法向向量量为为方方向向向向量量的的直直线线称称为为曲曲面面在在点点的的法法线线. .000000000000 (,)(,)(,)xyzxxyyzzFxy zFxy zF

10、 xy z法法线线方方程程为为例例4解解23(1,2,0)zzexyM求求曲曲面面在在点点处处的的切切平平面面与与法法线线方方程程. .( , , )23zF x y zzexy 令令，( , , )2xF x y zy ，( , , )2yF x y zx ，( , , )1zzF x y ze ，(1,2,0)4xF ，(1,2,0)2yF ，(1,2,0)0zF ，4(1)2(2)0 xy切切平平面面方方程程为为，120.420 xyz法法线线方方程程为为注000(1)( , )(,)zf x yM xy z曲曲面面：在在点点处处的的切切平平面面与与法法线线方方程程. .( , , )(

11、 , )0F x y zf x yz令令0000(,),(,), 1)xynfxyfxy ，0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy 0000000(,)()(,)()()0 xyfxyxxfxyyyzz(2)全全微微分分的的几几何何意意义义. .000( , )(,)zf x yM xy z曲曲面面：在在点点处处的的切切平平面面方方程程为为0000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量00( , )(,)zf x yxy 函函数数在在点点处处的的全全微微分分00000( , )(,)( , )(,)zf x yx

12、yzf x yxy z 函函数数在在点点处处的的全全微微分分，表表示示曲曲面面在在点点处处的的切切平平面面上上点点的的竖竖坐坐标标的的增增量量. .(3)z 若若 ， 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即它它与与轴轴的的正正方方向向所所成成的的角角为为锐锐角角，则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为22cos1xxyfff ，22cos1yxyfff ，221cos.1xyff 0000(,)(,)xxyyffxyffxy 其其中中(, 1)xynff 例例5解解221(2,1,4)zxyM求求旋旋转转抛抛物物面面在在点

13、点处处的的切切平平面面与与法法线线方方程程. .22( , )1f x yxy 令令，(2,1,4)(2 ,2 , 1)nxy (4,2, 1) ，4(2)2(1)(4)0 xyz切切平平面面方方程程为为，214.421xyz 法法线线方方程程为为例例6解解2222321460 xyzxyz求求曲曲面面平平行行于于平平面面的的切切平平面面方方程程. .000(,)xy z设设为为曲曲面面上上的的切切点点，000(,)(2 ,4 ,6 )xyznxyz 000(2,4,6 )xyz ，0000002()4()6()0 xxxyyyz zz切切平平面面方方程程为为，由切平面平行于已知平面，由切平面平行于已知平面，得得000246146xyz，0002.xyz000(,)xy z因因为为为为曲曲面面上上的的点点，代代入入曲曲面面方方程程，得得01x ，(1,2,2)( 1, 2, 2) 切切点点坐坐标标为为或或者者，(1,2,2)2(1)8(2)12(2)0 xyz 对对应应于于切切点点的的切切平平面面方方程程为为，( 1, 2, 2)2(1)8(2)12(2)0.xyz 对对应应于于切切点点的的切切平平面面方方程程为为练习练习22233160316.xyzxyz 若若平平面面与与椭椭球球面面相相切切，求求 的的值值(2) 解解000(,)xy z设设为为椭椭球球面面上上