高等数学课件：第11章 无穷级数习题课

1、1()nnnuu 称称为为一一般般项项或或通通项项定定义义1nnu 收收敛敛、发发散散、绝绝对对收收敛敛、条条件件收收敛敛. .收收敛敛条条件件必要条件必要条件充要条件充要条件lim0.nnu 1.nnnus 正正项项级级数数收收敛敛有有界界重重要要级级数数111.arsrr 当当时时收收敛敛于于；当当时时发发散散0(0)nnara 11.pp 当当时时收收敛敛；当当时时发发散散11pnpn 级级数数常数项级数常数项级数 审敛法审敛法正项级数正项级数任意项级数任意项级数1.nss由由定定义义，若若，则则级级数数收收敛敛；2.lim0nnu 若若，则则级级数数发发散散；3.基基本本性性质质4.充

2、充要要条条件件；6.比比值值审审敛敛法法；5.比比较较审审敛敛法法及及极极限限形形式式；7.根根值值审审敛敛法法. .4.绝绝对对收收敛敛；5.()莱莱布布尼尼茨茨定定理理. .适适用用于于交交错错级级数数nnu 判判断断敛敛散散性性的的步步骤骤：= =1 11.lim0nnu ，发发散散；lim0nnu ，进进一一步步讨讨论论；2.nnu 若若为为正正项项级级数数= =1 11(1)(lim)nnnuu 比比值值审审敛敛法法；(2)(lim)nnnu 根根值值审审敛敛法法；101(3)()npnnarn 比比较较审审敛敛法法及及极极限限形形式式，；3.nnu 若若为为任任意意项项级级数数=

3、=1 11(1)nnu 考考虑虑，11nnnnuu 若若收收敛敛，则则绝绝对对收收敛敛；1nnu 若若发发散散，进进一一步步讨讨论论；1(2)nnu 考考虑虑，1(i)nnu 若若为为交交错错级级数数， 则则考考虑虑使使用用莱莱布布尼尼茨茨定定理理；(ii)limnns 计计算算；(iii)收收敛敛级级数数的的基基本本性性质质. .11nnnnuu 若若用用比比值值法法或或根根值值法法判判定定发发散散，则则一一定定发发散散. .例例1111lim0(1)().nnnnnnnnununuuu 已已知知数数列列满满足足，试试证证级级数数与与具具有有相相同同的的敛敛散散性性证明证明1nniisu 设

4、设，213212()3()(1)()nnuuuunuu 12312(1)nnuuuunu 11(1)()nniiiiuu 11limlim(1)nnnnnsunu limnns limlimnnnns 与与同同时时存存在在或或同同时时不不存存在在，即即得得证证. .11(1)nnsunu ，111(1)niniuunu 1.u 例例2111.nnnnnnnnnacabcb 设设级级数数，收收敛敛，且且，试试证证级级数数收收敛敛证明证明nnnabc ，0nnnnbaca ，11nnnnac 级级数数，收收敛敛，1()nnnca 收收敛敛，1()nnnba 收收敛敛. .()nnnnbbaa 又又

5、，1nnb 由由收收敛敛级级数数的的基基本本性性质质，级级数数收收敛敛. .例例31111nnnnnnnnnuvuu vn 设设正正项项级级数数与与均均收收敛敛，试试证证级级数数与与都都收收敛敛. .证明证明11nnnnuv 级级数数，均均收收敛敛，1()nnnuv 收收敛敛. .1()2nnnnu vuv 又又，1nnnu v 收收敛敛. .21nvn 令令，2111nnnvn 显显然然收收敛敛，1nnun 级级数数收收敛敛. .例例411(0)1nnaa 判判断断级级数数的的敛敛散散性性. .解解11nnua 令令，01a当当时时，1limlim1nnnnua 10 ，1a 当当时时，1l

6、imlim11nnnu 102 ，01a 当当时时，原原级级数数发发散散. .1a 当当时时，111nnaa ，11nna 而而收收敛敛， 原原级级数数收收敛敛. .例例51lim0.nnnnanaaa 设设正正项项级级数数收收敛敛，且且，试试证证证明证明0.a 由由极极限限的的保保号号性性，0.a 反反证证法法，假假设设limnnna则则lim0.1nnaan11nn 级级数数发发散散，1nna 由由比比较较审审敛敛法法的的极极限限形形式式，级级数数发发散散，与与已已知知条条件件矛矛盾盾，即即得得证证. .例例611ln(1)()nn 判判断断级级数数为为常常数数 的的敛敛散散性性. .解解

7、1ln(1)nun 令令，0 当当时时，1limlimln(1)nnnun ln20 ，原原级级数数发发散散. .0 当当时时，1ln(1)limlim11nnnunnn 1 ，011 当当时时，原原级级数数发发散散；当当时时，原原级级数数收收敛敛. .11因因此此当当时时， 原原级级数数发发散散； 当当时时， 原原级级数数收收敛敛. .例例721(1)1pnnnn 判判断断级级数数的的敛敛散散性性. .解解1(1)1pnunnn 令令1(1) (1)pnnn ，21lim1pnnun 102p ，00pp当当时时， 原原级级数数发发散散；当当时时， 原原级级数数收收敛敛. .211(1) (

8、1)lim1ppnnnnn 例例812!sin5nnnnnn 判判断断级级数数的的敛敛散散性性. .解解2!sin5nnnnn 112!2!.nnnnnnnnnnuunn令令，考考虑虑级级数数1112(1)!(1)limlim2!nnnnnnnnnunnun 112(1)!lim2!(1)nnnnnnnnn 2!nnnn ，21e ，12lim1(1)nnn 2lim()1nnnn 12!nnnnn 收收敛敛，因因此此原原级级数数绝绝对对收收敛敛. .例例912ln( 1)(0)npnnpn 判判断断级级数数的的敛敛散散性性. .解解1ln( 1)nnpnun 令令，lnnpnun 则则，1p

9、 当当时时，1p 任任取取使使得得，lnlimlim11pnnnnunnn lnlimpnnn 0 ，11lnnpnnnun 由由比比较较审审敛敛法法的的极极限限形形式式， 级级数数收收敛敛，1p当当时时，原原级级数数绝绝对对收收敛敛. .01p 当当时时，ln11(3)ppnnnnn，21nn 而而发发散散，2ln.pnnn 发发散散122ln( 1)nnpnnnun 为为交交错错级级数数，ln( )pxf xx 考考虑虑函函数数，ln( )()pxfxx 11lnppxx 10 ()pxe ，ln( )pxf xx函函数数单单调调递递减减，lnlim0pnnn 又又，由由莱莱布布尼尼茨茨定

10、定理理，原原级级数数收收敛敛. .01p当当时时，原原级级数数条条件件收收敛敛. .练习练习判判断断下下列列级级数数的的敛敛散散性性. .1. coscoscoscos2482nlimcos102nn 发发散散. .112342.( 1)23451nnn 1lim( 1)1nnnn 不不存存在在发发散散. .113.sinnnn 21sinnnn 收收敛敛. .112!4.(2 )!nnn 12!(2 )!(2 )!nn nnn 12(1)(2)(21)nnn 212n 收收敛敛. .215.(1)1nnnn 11(1)1(1)(1)nnnnn n 321n与与比比较较 收收敛敛. .2116

11、.ln1nnnn 122ln(1) 1(1)nnn n 321n与与比比较较收收敛敛. .2127.(31)nn 221ln3311nne 2ln3n21n与与比比较较收收敛敛. .148.53nnnn 1111453limlim453nnnnnnnnnnuu 415 收收敛敛. .221( !)9.2nnn 222(1)12(1)!2limlim( !)2nnnnnnnunu 221(1)lim2nnn 01 收收敛敛. .2110.1(2)nnnn 2limlim1(2)nnnnnnnun 2()lim12nnnn 112 收收敛敛. .111.cos25nnnn cos252nnnnnn

12、u ，limlim2nnnnnnnu 112 绝绝对对收收敛敛. .22112.( 1)lnnnn 2211( 1)lnlnnnn 1n与与比比较较发发散散莱莱布布尼尼茨茨定定理理证证明明原原级级数数收收敛敛. 条条件件收收敛敛21sin113.()()nnaann 其其中中为为常常数数22sin1nann 21sinnnan 绝绝对对收收敛敛11nn 发发散散. 发发散散11111114.2 12 13 13 111nn 211()11nnn 221nn 12nn 发发散散. .一、幂级数一、幂级数0()nnnna xa 称称为为幂幂级级数数的的系系数数00()nnnaxx 定定义义幂幂级级

13、数数的的收收敛敛域域称称为为幂幂级级数数的的收收敛敛区区间间；收收敛敛半半径径求求法法收收敛敛区区间间的的半半径径称称为为收收敛敛半半径径. .1lim(lim)nnnnnnaaa 若若或或0na 设设，注注意意收收敛敛区区间间端端点点的的敛敛散散性性需需要要单单独独讨讨论论. .R 10 ， 当当时时；0 ，当当时时；0 ， 当当时时. .二、幂级数的和函数二、幂级数的和函数()利利用用幂幂级级数数的的代代数数与与分分析析运运算算 逐逐项项求求导导或或逐逐项项求求积积 ，将将所所给给幂幂级级数数化化为为0( )nnna xs x 求求幂幂级级数数和和函函数数的的基基本本思思想想：0(1)1s

14、incosln(1)nnxaarrrexxx 等等比比级级数数或或者者，等等函函数数的的展展开开式式求求和和，( ).s x再再进进行行逆逆运运算算即即可可求求出出和和函函数数三、函数展开成幂级数三、函数展开成幂级数200000( )00()( )()()()()2!()().!nnfxf xf xfxxxxxfxxxn 00 x 当当时时，( )2(0)(0)( )(0)(0).2!nnfff xffxxxn 注1.看看清清函函数数在在哪哪一一点点展展开开；2.间间接接展展开开法法；3.记记住住常常用用函函数数的的展展开开式式. .230111112!3!xnnnexxxxxnn (,)x

15、；135721111( 1)sin3!5!7!(21)!nnxxxxxxn 1211( 1)(,)(21)!nnnxxn ；2462111( 1)cos12!4!6!(2 )!nnxxxxxn 20( 1)(,)(2 )!nnnxxn ；2011( 1,1)1nnnxxxxxx ；2311111ln(1)( 1)23( 1)( 1,1nnnnnxxxxxnxxn ；2(1)(1)12!(1)(1)!mnm mxmxxm mmnxn ( 1,1).x 例例10(1)(1)( ).nnnxs x 求求幂幂级级数数的的收收敛敛区区间间及及和和函函数数解解01(1).nntxnt 令令，考考虑虑幂幂级

16、级数数1limnnnaa 2lim1nnn 1 ，1.R 1t 当当时时，1(1)nn 级级数数为为，发发散散；1t 当当时时，1( 1) (1)nnn 级级数数为为，发发散散，(0,2).原原级级数数的的收收敛敛区区间间为为0(1)( 1,1).nnnt 幂幂级级数数的的收收敛敛区区间间为为0( )(1)(1)nns xnx 11xxdxdx10(1)(1)xnnnxdx 10(1)nnx 11(1)xx 12xx ，( )s x1()2xx 21(0,2).(2)xx ，例例2357468235!7!( )xxxxs x 求求幂幂级级数数的的收收敛敛！区区间间及及和和函函数数. .解解12

17、112( )( 1)(21)!nnnns xxn ，1212( 1)(21)!nnnnuxn 令令，212(21)!nnnuxn 则则. .2112122(21)!limlim2(21)!nnnnnnnxunnuxn 2222lim4(21)nnxnn 01 ，R ，(,). 即即收收敛敛区区间间为为12112( )( 1)(21)!nnnns xxn 00 xxdxdx121012( 1)(21)!xnnnnxdxn 211( 1)(21)!nnnxn 2111( 1)(21)!nnnxxn sinxx ，( )s x( sin )xx sincos(,).xxxx ，例例321!2nnnn

18、 求求常常数数项项级级数数的的和和. .解一解一21.!nnnxn 构构造造幂幂级级数数1limnnnaa 22(1)(1)!lim!nnnnn 0 ，21limnnn R ，(,). 即即收收敛敛区区间间为为21( )!nnns xxn 1(1)!nnn nnxn 11(1)!nnnnn nnxxnn 2(1)!nnn nxn 2(2)!nnxn 222(2)!nnxxn 2xx e 1(1)!nnxn 11(1)!nnxxn xxe xxe 2()(,).xxx ex ，1( )2s 12211()22e 21!2nnnn 3.4e 解二解二21( )!nnns xxn 1(1)!nnnx

19、n 11(1)!nnnxxn 1()(1)!nnxxn 1(1)!nnxxn 11(1)!nnxx xn ()xx xe (1)xx xe2()(,).xxx ex ，例例421( )(4)32f xxxx 将将展展开开成成的的幂幂级级数数. .解解2132xx 11.12xx 111(4)3xx 13(4)x 11131(4)3x 011 (4)33nnx 101(4)3nnnx 1(4)13x 收收敛敛区区间间：，71.x 整整理理得得：( 7, 1).x 112(4)2xx 12(4)x 11121(4)2x 011 (4)22nnx 101(4)2nnnx 1(4)12x 收收敛敛区区

20、间间：，62.x 整整理理得得：( 6, 2).x 21( )32f xxx 101(4)3nnnx 101(4)2nnnx 11011()(4)23nnnnx ( 6, 2).x 例例5( )ln(1)1xf xxx 将将展展开开成成的的幂幂级级数数. .解解ln1xx lnln(1).xx lnln1(1)xx11( 1)(1)nnnxn 111x 收收敛敛区区间间：，02.x 整整理理得得：(0,2.x ln(1)ln2(1)xx1ln21(1)2x 1ln2ln1(1)2x 11( 1)1ln2 (1)2nnnxn 11( 1)ln2(1)2nnnnxn 11(1)12x 收收敛敛区区

21、间间：，13.x 整整理理得得：( 1,3.x ( )f x11( 1)(1)nnnxn 11( 1)ln2(1) 2nnnnxn 11( 1)1ln2(1)(1)2nnnnxn (0,2.x 例例6111( )lnarctan412.xf xxxxx 将将展展开开成成的的幂幂级级数数解解11( )ln(1)ln(1)arctan42f xxxxx ，111( )()4 11fxxx 2112 1x 1 441xx 41nnx ( 1,1)x ，4001( )xxnnfx dxx dx ( )(0)f xf ( )f x 401xnnx dx ( 1,1).x 41141nnxn 1x 当当时

22、时，1141nn 级级数数为为，发发散散；1x 当当时时，1141nn 级级数数为为，发发散散. .例例72( )arctanln 1f xxxx 将将展展开开成成麦麦克克劳劳林林级级数数. .解解21( )arctanln(1).2f xxxx 21(arctan )1xx ，2000(arctan )( 1)xxnnnx dxx dx arctanarctan0 x arctanx 200( 1)xnnnx dx 210( 1)21nnnxn 1,1x . .211x 20()nnx 20( 1)nnnx ( 1,1)x . .211()x 2ln(1)x 而而211()( 1)nnnxn 211( 1)nnnxn 1,1x . .21( )arctanln(1)2f xxxx 210( 1)21nnnxxn 2111( 1)2nnnxn 220( 1)21nnnxn 220( 1)22nnnxn 220( 1)(21)(22)nnnxnn 1,1x . .例例812111( 1)( )(21)!2(1)nnnnxs xnx 将将幂幂级级数数的的和和函函数数展