高等数学课件：9-3 三重积分1

1、三重积分的定义三重积分的定义三重积分的计算三重积分的计算一、三重积分的定义一、三重积分的定义实例：非均匀分布物体的质量问题实例：非均匀分布物体的质量问题( , , )( , , )0.x y zx y zM 设设一一质质量量非非均均匀匀分分布布的的物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域，其其体体密密度度在在上上连连续续，且且，求求xyzo 将物体任意分成将物体任意分成 n 小块，小块，iv 1niiMM 将每一小块近似看作均匀物体，将每一小块近似看作均匀物体， (,)iiiiiMv (,)iii 11nniiM 01lim(,).niiiiiMv 定义定义( , , )f x y z 设设函函数

2、数在在空空间间有有界界闭闭区区域域上上有有界界，12,ninvvvvi 将将区区域域任任意意地地分分成成个个小小闭闭区区域域，其其中中表表示示第第 个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的体体积积，(,)(,)(1,2, )iiiiiiiivfvin 在在每每个个小小区区域域上上任任取取一一点点，作作乘乘积积，1(,)niiiiifv 并并作作和和，n 记记为为个个小小闭闭区区域域直直径径的的最最大大值值，0 如如果果当当时时，该该和和式式的的极极限限存存在在，( , , )f x y z 则则称称此此极极限限为为函函数数在在闭闭区区域域上上的的三三重重积积分分，( , , )f x y z

3、 dv 记记作作，01( , , )lim(,).niiiiif x y z dvfv 即即注(1)( , , )( , , )(,).iiif x y z dvf x y z 三三重重积积分分只只与与被被积积函函数数以以及及积积分分区区域域有有关关，而而与与区区域域的的分分法法以以及及点点的的取取法法无无关关(2)( , , )( , , )( , , ).f x y zf x y zf x y z 当当在在有有界界闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中积积分分和和式式的的极极限限一一定定存存在在，即即在在上上的的三三重重积积分分存存在在，此此时时也也称称在在区区域域上上可可积积(3)(

4、 , , )( , , ).f x y z dvf x y z dxdydz 在在直直角角坐坐标标系系中中，三三重重积积分分通通常常也也记记作作三重积分的物理意义三重积分的物理意义( , , )( , , ).x y zMx y z dv 如如果果一一物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域，其其体体密密度度在在上上连连续续, ,则则其其质质量量( , , )11.f x y zdvdvv 特特别别：当当时时，三重积分的性质三重积分的性质三三重重积积分分有有着着与与定定积积分分、二二重重积积分分类类似似的的性性质质. .二、三重积分的计算二、三重积分的计算方法方法1：投影法（先一后二法）：投影法（

5、先一后二法）( , , )f x y z dv 设设存存在在，选选取取一一种种特特殊殊分分法法，000 xxyyzz 用用三三组组平平面面，把把分分成成若若干干小小区区域域，dvdxdydz 体体积积元元素素，( , , )( , , ).f x y z dvf x y z dxdydz 因因此此xyzo DxOyD 闭闭区区域域在在坐坐标标面面上上的的投投影影区区域域为为，2( , )zz x y 1( , )zz x y 2S1S1122( , )( , )S zzx ySzzx y：，：，1212( , )( , )( , )( , )zx yzx yDzx yzx y 其其中中，在在上

6、上连连续续，且且，12( , , )( , )( , ) ( , ).x y zzx yzzx yx yD ，12( , )x yDzz 过过点点作作直直线线，从从穿穿入入，从从穿穿出出，( , )x y1z2z,( , , )x yf x y zz先先把把视视为为常常数数，将将只只看看作作 的的函函数数，则则( , )F x yD再再计计算算在在闭闭区区域域上上的的二二重重积积分分，21( , )( , )( , )( , , )zx yzx yF x yf x y z dz ，21( , )( , )( , )( , , )zx yzx yDDF x y df x y z dz d ，12

7、( )( )Daxby xyyx如如果果：，2211()( , )()( , )( , , )( , , ).byxzx yayxzx yf x y z dvdxdyf x y z dz )(2xyy abD)(1xyy 注zS 平平行行于于轴轴并并且且穿穿过过闭闭区区域域内内部部的的直直线线与与闭闭区区域域的的边边界界曲曲面面相相交交不不多多于于两两点点例例1( , , )(1)100If x y z dxdydzzxyxyz 化化三三重重积积分分为为三三次次积积分分，其其中中是是由由双双曲曲抛抛物物面面与与平平面面，以以及及所所围围成成的的区区域域；解解xyzo( , , )0( , ).

8、x y zzxyx yD ，0101Dxyx：，( , , )If x y z dxdydz 0( , , )xyDdxdyf x y z dz 11000( , , ).xxydxdyf x y z dz 222(2)22.zxyzx 其其中中是是由由曲曲面面及及所所围围成成的的区区域域解解222( , , )22( , ).x y z xyzxx yD ，22222.zxyzxxOyxOy曲曲面面及及所所围围成成的的区区域域在在面面上上的的投投影影为为二二者者交交线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线所所围围成成的的区区域域xOy而而二二者者交交线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线为为221

9、0 xyz 221Dxy故故：. .22222( , , )xxyDIdxdyf x y z dz 22222112112( , , )xxxxydxdyf x y z dz 例例2cos()002.Iyxz dxdydzyxyzxz 计计算算，其其中中是是由由抛抛物物柱柱面面与与平平面面，所所围围成成的的区区域域解解( , , ) 0( , )2x y zzxx yD ，00.2Dxyx ：，20cos()xDIdxdyyxz dz 22000cos()xxdxdyyxz dz 22000sin()xxdxyxzdy 200(1sin )xdxyx dy 2200(1sin )2xyxdx

10、201(1sin )2xx dx 220011sin22xdxxxdx222200011( coscos)42xxxxdx 21.162 方法方法2：截面法（先二后一法）：截面法（先二后一法） , zc d 设设积积分分区区域域在在轴轴上上的的投投影影区区间间为为， , ()zzc dxOyDS 在在中中任任取取一一点点，过过该该点点作作平平行行于于面面的的平平面面截截得得到到的的平平面面闭闭区区域域其其面面积积记记为为，z(1)( , , )( )zDzf x y z dxdyzF z 先先把把视视为为常常数数，计计算算二二重重积积分分，其其结结果果为为 的的函函数数；(2)( )dcF z

11、 dz 再再计计算算定定积积分分，( , , )( , , ).zdcDf x y z dxdydzdzf x y z dxdy 注( , , )( )zf x y zf zxOyS若若被被积积函函数数只只依依赖赖于于一一个个变变元元，如如，并并且且当当平平行行于于面面的的平平面面与与相相截截时时，其其截截面面积积容容易易求求出出，则则用用截截面面法法计计算算三三重重积积分分，( )f z dxdydz ( )zdcDf z dzdxdy ( ).dzcf z S dz 例例322222221.Iz dxdydzxyzabc 计计算算，其其中中是是由由椭椭球球面面所所围围成成的的空空间间闭闭区

12、区域域解解xyzozD( , , )( , )zx y zx yDczc ，2222221zxyzDabc 其其中中：，2Iz dxdydz 2zccDz dzdxdy 2222221zxyzDabc ：，222222(1)(1)zDzzdxdyabcc 22(1)zabc ，222(1)cczabzdzc 原原式式34.15abc 例例41Izdxdydzxyz 计计算算，其其中中是是由由平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的区区域域. .解一解一111xyzo( , , )01( , )x y zzxyx yD ，01 01Dxyx ：，111000 xxyIdxdyzdz 112001(1)2xdxxydy 1301(1)6xdx 1.24 111xyzo解二解二( , , )( , )01zx y zx yDz ，100zDxyzxy 其其中中：，10zDIzdz