角的初步认识(教学前学生起点检测分析)

1、3. 1第一学段学生学习角的初步认识前对角概念理解情况测试分析3.1.1测试的问题、对象和过程（1）测试的问题：本测试从学生原始状态下与角相关的经验、学生在认识角以前对角的大小如何判左两 方而进行测试，同时通过指一个角的方法，以访谈的形式对学生头脑中角的原始形象进行调 査，了解学生头脑中朴素状态下的“角”，以苴对教师了解学生已有的知识经验和学习基础, 更好的进行教学设计提供参考。（2）测试的对象：测试选取了不同城区、不同教材的三所学校进行。诸暨浣纱小学参加测试学生116人, 主要为县区及外来务工人员子女，使用人教版教材；杭州市余杭上湖小学参加测试学生有 87人，主要是农村的孩子，使用北师大版教

2、材：杭州币崇文实验学校参加测试的学生148 人、主要为城市学生，使用浙教版教材（下文将分别称为A校、B校、C校）。（3）测试和访谈过程：三所学校的测试在2010年5月中旬的同一周内进行，在学生不知情的情况下由任课老 师协助完成。解题提示写在卷而最上方，测试时不读题，直接让学生独立解答。学生在做测 试过程中，没有任何讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情况的真实情 况。访谈一对一在教师办公室由笔者亲自独立进行，测试与访谈在同一天内完成。3.1.2测试结果（1）第一学段学生在学习角之前，积累了比校丰富的生活中的与角相关的经验，这些 经验有些是对数学中角的学习有帮助的，有的则有阻碍作用

3、。“角”在日常生活中学生有很多原型，是学生在生活中可能接触过，可能熟悉了解的 学习内容。生活经验对学生学习角的知识也可能产生负迁移，这就需要了解学生心中对角的 了解程度。因此设计了 “看到角字，你能想到什么？ “这道题目。学生的答案，大致可以分 为两类：与数学相关和与数学无关。与数学相关的内容大致又可以分为对生活中，如图形中 的角的简单了解和对"锐角、钝角、直角”等划词的感知。测试情况如下表：表1.1 前测分析表（一）测试题目：看到“角”字，你能想到什么？学校与数学无关的答案（牛角、羊角、元角分等）与数学相关的答案角的简肛了解（三角板等）角的分类等城区学校74$的同学提及相关内容57

4、%同学捉及18$同学提及县区学校67$的同学提及相关内容46%同学提及7%同学提及农村学校79%的同学提及相关内容47%同学提及6$同学提及说明：以上百分比计算方式为:提及人数除以参加测试总人数乘100%。因此各部分总和不 为一。（2）第一学段学生在学习角之前，受生活经验以及头脑中原本对图形大小判断的原有依据影响，对角的大小有三种错误认识： 边越长，角越大： 看到的角两边之间的“而积”越大，角越大： 将看到的角两边结束处连接起来，连接线越长，角越大。测试情况如下表：表1.2 前测分析表（二）测试题目：下面每组两个图形中，哪一个更大？为什么呢？把你怎样想的写下来。理由正确边越长，角越大看到的角两

5、边之间的“面积”越大，角越大将看到的角两边结束处连接起來.连接线越长.角越大。A校6%69%36%32%B校8%64%42%38%C校1%78%31%29%说明：因测试题目有三道,以上百分比计算方式为：在判断理由中提及该内容人数除以参加 测试总人数乘100%。因此各部分总和不为（3）学生在指角中或者指顶点，或者指一个区域，可见学生对角有模糊的概念，对什 么是数学中的角是不淸晰的。测试后笔者对所有参加测试的学生进行了短暂的访谈，访谈内容分两部分，一部分是在扌旨顶点扌旨两条边指角部的区域扌旨不岀从指角的方法上看，多数学生对角都有一泄的认识，知道三角形三个“角部”有角，但 他们的认识是模糊的，角到底

6、是一个点、是一个区域并不淸楚。通过以上测试可以看出，日常生活中学生积累比较多的和“角”相关的经验，这些经脸 有的和数学有关，如图形中的角；有的和数学无关，如牛角羊角等，这些“角”对学生学习 数学"角”可能会有正迁移作用，也可能会有负迁移作用：学校学习不是学生学习的唯一渠 道，因此会有部分学生在学习本部分知识之前已经有了数学化的相关知识经验，他们会提到 “锐角”、"钝角”等相关概念。而关于什么是“角的大小”，学生受原有经验的影响比较大, 多数学生并不明确的知道什么是"角的大小”。（4）从测试结果来看，各个学校原有知识经验与基础水平相近，可以说明城乡学生在 学习这部分

7、知识之前的原有经验比较接近，没有显著性差异。3. 2第二学段学生学习角的再认识前对角概念的理解情况学习是一个不断积累的过程，不同学生会有不同的学习基础，依据学生已有知识的掌握 情况来设计教学过程，对学生学习新知识将起到事半功倍的作用。学生在二年级的时候已经 初步认识了角，但四年级学习角的再认识之前，他们对角究竟有多少了解，在他们头脑中角 是一个怎样的图形，角的各部分名称掌握情况如何，他们还想知道哪些有关角的知识我们教 师并不十分淸楚。因此，笔者设计了针对四年级学生在学习角的认识之前的前测试卷，对 296名不同学校的学生进行了测试。具体测试情况如下：3. 2.1测试测试的问题、对象和过程（1）测

8、试的问题：本测试从角的立义、角各部分劣称、角的表示方法、角的大小等方而进行了调查，测试 问题分别为：什么是角：写出角各部分名称：关于角你还知道什么：找出最大最小的角并写 出原因等。以此来了解四年级学生对角的已有知识及学习需求。（2）测试的对象：测试同二年级一样选取了不同城区、不同教材的三所学校进行。诸暨浣纱小学参加测 试学生158人，主要为县区及外来务工人员子女，使用人教版教材；杭州市余杭上湖小学参 加测试学生有62人，主要是农村的孩子，使用北师大版教材;杭州市崇文实验学校参加测试 的学生76人、主要为城市学生，使用浙教版教材：（下文将分别称为A校、B校、C校）。（3）测试与访谈过程：三所学校

9、的测试在2010年5月中旬的同一周内进行，在学生不知情的情况下由任课老 师协助完成。解题提示写在卷而最上方，测试时不读题，直接让学生独立解答。学生在做测 试过程中，没有任何讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生在自然情况的独立解决问题 的真实情况。访谈则利用午间休息和放学后的时间，一对一在教师办公室由笔者亲自独立进 行，测试与访谈在同一天内完成。3. 2. 2测试结果（1）受测学生中大部分学生对什么是角停留在再认层而上，描述什么是角时抓不住角 的本质属性。测查学生对角的认识，测试分两道题目进行：第一题为：“什么是角？”第二题是“在 你认为是角的图形下面打钩。”测试结果如下：（第一题）表13前测

10、分析表（三）测试题民什么是角.基木正确只提及边只提及顶点说不淸楚空着没有答百分比21.6%8. 1%14. 9%19. 835. 6%表1. 4前测分析表（四）测试题目:在你认为是角的图形下面打钩全部正确一条边是曲线的图形两条边长短不一的图形判其他错误判断错误断错误百分比73.6%25.8%4.2%3. 3%说明：因测试题目中有数个不同选项，以上百分比计算方式为：一类型错误人数除以参加测试总人数乘100% ,有同学出现重复错误，因此各部分百分比总和不为10从测试中可以看岀：虽然二年级的时候学生已经初步认识了角，但并不能清晰地描述 什么是角。第一题参加测试的296人中，只有64人能简单说明有一个

11、顶点和两条边的图形 是角，占被测人数的21. 6%,其中有四人指出这两条边是射线（由两条射线和一个顶点组成 的叫角）；有24人认为有两条边的叫角，占被测人数的8. 1%,在这些关注到两条边的同学 中，有的认为这两条边是直线，有的认为是线段，更多的学生没有说明两条边的属性。参加 测试的296人中，44人认为尖尖的就是角，占14.9%： 6人认为三角形就是角：13人认为角 就是直角、锐角、钝角等某一类角或者某几类角，其他同学都说不淸角是怎样的图形，或者 空着没有回答。第二题能够正确判断什么是角的同学占总人数的73. 6%,相对于本题难度来讲，通过率 不髙。我们可以从测试中看出，学生虽然已经初步认识

12、了角，但大部分学生只局限于再认, 并不淸楚角究竞是怎样一个图形，用语言描述一个角让学生感到困难，他们抓不住角的本 质属性一一一个顶点，两条宜直的边。同时，判断一个图形是不是角出现错误的学生，通 过访谈发现，他们心目中对角的概念是比较模糊的，对生活中的角与数学中的角难以区分 （如桌角），这需要引起教师的反思与重视。（2）学生学习过角的初步认识，但不足一半学生知道角的各部分名称。测试题目：写岀角各部分名称。不同学校通过率如下图：表1.5 前测分析表（五测试题目:写出角各部分名称完全正确只写对角的边只写对角的顶点 全都填错 没填百分比-10.5%17.8%12.8%25.6%3.3%知道角各部分名称

13、是第一学段角的初步认识教学中的教学基本目标之一，到了角的再认 识前，能够较准确的说出角各部分名称的学生比例占总测试学生的40. 5%,是什么原因让如 此基本的教学目标通过率这么低，是我们需要进一步研究和思考的问题。（3）学生学习过角的初步认识，但对角大小的认识与第一学段学生无明显差异参加测试的296人中，有93人认为“角的大小”与角的边相关，占31.5%，其中15人 明确指出是由边的长短决左的，如"是由画线决泄的，能画多长就画多长，越长越大。”有 89人认为与“而积”相关，占30. 1%,如：“角占的地方大，角越大。”有67人认为与角画 出的两条线结束处两点间的距离有关。通过访谈可知

14、，余下同学中有一部分是认为角的大小与两边叉开的程度相关。下是师 生访谈时的一段对话：生：我觉得角的大小是由角的边来决定的。师：怎么决走?生：边靠的拢就小；边分得开就大。还有一部分学生对角的大小是由什么决泄的没有概念，有的空着不填，也有的认为是 三角尺决泄，且说不淸楚怎么决左。这样的测试结果与第一学段的测试情况比较接近，可见 虽然二年级初步认识角的时候学生对角的大小有一泄的体验，但对于大部分学生来说，依旧 并不淸楚角大小究竟与谁有关。（4）学生对数学中的角，还有一些其他了解，但了解的并不多。四年级的部分学生对角的知识还有其他的了解，学生个体之间的会显现出一左的差异 性。学生了解的和角相关的苴他知

15、识大致可以分为：角的记录方法，如用弧线、或数字来表示角的个数：角的类别，如“直角、锐角.钝角.周角、平角等；角的特点，如“角是一个 不封闭图形” “平行线不可能组成角”''直角90度”等；角的应用，如“生活中有许多角”、 “滑梯和角度有关”等：直角与其他图形的关系，如“长方形上有直角”等；还有苴他类的 了解，如"量角器可以量角的大小”。具体数据整理如下：表16 前测分析表（六）测试题目：关于角你还知道些什么？角的记录方法角的类别角的特点角的应用直角与其他图形的关系其他A校3. 6%78. 9%7. 3%34%43. 4%31%B校8. 7%43 7%9.4%42%51

16、%25%C校3. 2%66. 3%2.6%49%53%14%说明：因测试题目为开放性题目，以上百分比计算方式为：在回答中提及该内容人数除以参加测试总人数乘100%。因此各部分总和不为一。（5）三所学校被测学生在“角”概念的理解程度、角各部分统称的掌握、角大小的比较三方而表现出较大差异。具体测试结果如下图：题目：判断下列图形是不是角。（角概念的理解）口正确口-条边是曲线 两边K短不一 口其他佶i吴表18 前测分析表（A）A校B校C校题目：写出角各部分名称。（角各部分名称的掌握）口完全正确 只写对边只写对顶点全部填错没有填8%表19 前测分析表（九）题目：你认为哪个角更大？为什么？两边分开程度 边

17、的长度 "面积大小 "弦的长度” 其他A校 B校 C校从以上三道题目的测试数据中看，学生在第一学段学习了角的初步认识以后，在对角 概念的理解上呈现岀比较明显的差异，这些差异具有一泄的整体性：如在角概念理解上，C 校与A校测试结果相仿，却与B校的学生有显著性差异；在写角各部分名称时，A校明显好 于B校和C校，而C校中写对边的人数多于B校，写对顶点的人数却少于B校。在比较角的 大小这一测试题目中，A校有33%的人能够理解角大小指的是角两边分开的程度，而B校只 有20埶A校认为角的大小指“弦的长度"的学生最多，而C校则是认为角大小指的是“三 角形"或“而积”的

18、学生最多。造成以上情况的原因何在？是学生自身的差异？是教材编写 内容不同的原因？还是授课教师教学设汁侧重点的差异？这值得我们进行进一步研究。3.3测试给“角的教学”带来的启示（1）学生对角的认识受生活经验影响比较大。从前测情况来看，角看似是学生熟悉的平而图形，生活中到处可见角的彫子，但学生 对数学中的角的认识无论是在初步认识前还是在初步认识后，基本都停留在再认的层而上, 对角的本质属性一一一个顶点，两条直直边的了解不足，这首先说明学生对数学角的理解受 生活经验的彫响很大，同时也说明教师在角的初步认识时的教学有效程度不高，因此有必要 加强对角的初步认识教学方式的研究。（2）教学重要重视利用各种操作活动帮助学生建立角的概念。学生在初步认识后，对角的概念模糊，说明教师在这一阶段的教学有效性比较低，因 此，教学中，尤其是角的初步认识时，教师要充分利用各种操作活动，如“指角”、“画角”、 “折角”、方法，并在操作过程中，重视操作的有效性，如''指角”“画角”尽可能从泄义岀 发，以帮助学生建立正确的角概念。（3）学生对角的认识停留在静态层面上，教学重要适当增加旋转角教学素材的呈现。从前测中我们可以发现，没有学生在回答中提及旋转角的概念，这和国外学生对角的 认识停留在静态的图形，认为角是一种构图，难以理解为一种运动的研究结