全国中考数学压轴题全析全解

1、学习必备欢迎下载全国中考数学压轴题全析全解1、（2006 重庆） 如图 1 所示，一张三角形纸片abc， acb=90° ,ac=8,bc=6. 沿斜边 ab的中线 cd把这张纸片剪成ac1d1 和bc2 d 2 两个三角形（如图2 所示） . 将纸片ac1d1 沿直线 d2 b （ ab）方向平移（点a, d1, d 2 , b 始终在同始终线上） ，当点d1 于点 b 重合时，停止平移 . 在平移过程中，c1 d1 与bc2 交于点 e,ac1 与 c2 d2、bc2 分别交于点f、p.(1) 当ac1d1 平移到如图3 所示的位置时，猜想图中的d1e 与d2 f 的数量关系，并

2、证明你的猜想；(2) 设平移距离d2 d1 为 x ，ac1d1 与bc2 d2 重叠部分面积为y ，请写出y 与 x 的函数关系式，以及自变量的取值范畴；（3）对于（ 2）中的结论是否存在这样的x 的值，使重叠部分的面积等于原abc 面积的 1 .4如存在，求x 的值；如不存在，请说明理由.cc1c 2c1c2pfea dba图 1d1d2图 2b ad 2图 3d1b 解 （ 1 ）d ed f. 因 为c dcd， 所 以a12c1afd 2 .1122p又由于acb90 ， cd 是斜边上的中线，d所以， dcdadb ，即c1 d1c2 d2bd2ad1cqb所以，c1a ，所以af

3、d 2a所以，ad 2d 2 f .同理：bd1d1 e .又由于ad1bd 2 ，所以ad2bd1 .所以d1ed2 f（2）由于在 rtabc 中， ac8, bc6 ，所以由勾股定理，得ab10.学习必备欢迎下载即 ad1bd2c1d1c2 d25又由于d 2d1x ，所以d1 ebd1d2 fad 25x .所以 c2 fc1ex在bc d 中， c 到 bd的距离就是abc 的 ab 边上的高，为24 .22225设bed 的bd 边上的高为h ，由探究，得bc d bedh5x，所以.所以 h1245251x . sbed11bd1h212 525221x22455又由于c1c29

4、0，所以fpc 290.又由于43c2b ， sin b,cos b.5534162所以 pc2x, pfx ， s fc ppc2pfx552225而 ysss1 s12 5x26 x2所以 ybc2 d218 x2bed124 x0fc 2p2x5abc2525255118224(3) 存在 . 当ys abc4时，即xx6255整理，得 3x220x250. 解得， x5 , x5 .即当 x5 或 x33125 时，重叠部分的面积等于原abc 面积的 142 、（ 2006浙江 金华）如 图 , 平 面直角坐标系中, 直 线ab 与 x 轴 ,y 轴 分别 交于a3,0,b0,3 两点

5、 , , 点 c 为线段 ab上的一动点 , 过点c 作 cd x 轴于点 d.(1) 求直线 ab的解析式 ;(2) 如 s 梯形 obcd 433, 求点 c 的坐标 ;(3) 在第一象限内是否存在点p, 使得以 p,o,b 为顶点的三角形与 oba相像 . 如存在 , 恳求出全部符合条件的点 p的坐标 ; 如不存在 , 请说明理由 . 解（ 1）直线 ab 解析式为： y=（2）方法一：设点坐标为（x，3x+3 33x+3 ），那么 od x ，cd 33x+3 3学习必备欢迎下载obcd s梯形 obcd 2cd 3 x23 6由题意：3 x 263 433，解得 x12, x24 （

6、舍去）（，3 ）3方法二：s aob1 oaob233, s梯形 obcd2 43 ， s33acd6由 oa=3 ob ，得 bao 30°， ad=3 cd acds 1 cd × ad 3 cd 2 3 可得 cd 3 2263ad= ， od c（，（）当 obp rt 时，如图3 ）3如 bop oba ，就 bop bao=30 °， bp=3 ob=3 ，3 p1 （ 3，）3如 bpo oba ，就 bpo bao=30 ° ,op=3ob=1 3 p2 （ 1，3 ）当 opbrt时 过点 p 作 opbc 于点 p如图 ，此时 pbo

7、 oba ， bop bao 30°过点 p 作 pm oa 于点 m 方法一：在 rt pbo 中， bp1ob 23 ，op3 bp 3 22 在 rt p o 中， opm 30°， om 1op23 ； pm 3 om 33 44p3 （333，）44方法二：设（x ，3x+3 ），得 om x ， pm 33x+33学习必备欢迎下载由 bop bao, 得 pom abo tan pom= pm=om3x33， tan aboc=xoa =3 ob3x+3 3 x ，解得 x33 此时，43，p3 （433 ）4如 pob oba 如图 ，就 obp= bao 3

8、0°， pom 30°pm 33om 34，3p4 （43 ）（由对称性也可得到点4p4 的坐标）当 opb rt时，点p 在轴上 ,不符合要求 .综合得，符合条件的点有四个，分别是：p （ 3，3 ）， p （ 1，3 ）， p （3 ， 33 ）， p （ 3 ，3 ）1234344443、（ 2006 山东济南）如图1，已知rt abc 中，cab30 ， bc5 过点a 作ae ab ，且 ae15 ，连接 be 交 ac 于点 p （1）求 pa 的长；（2）以点 a 为圆心，ap 为半径作 a ，试判定 be 与 a 是否相切，并说明理由；（3）如图 2，过点

9、c 作 cd ae ，垂足为 d 以点 a 为圆心， r 为半径作 a ；以点 c 为圆心， r 为半径作 c如 r 和 r 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持 a 和 c 相 切，且使 d 点在 a 的内部， b 点在 a 的外部，求 r 和 r 的变化范畴eepcc pabab 解图 1图 2（1） 在 rt abc 中，cab30 ， bc5 ，ac2bc10 学习必备欢迎下载ae bc ， ape cpb pa : pcae : bc3:1 pa : ac3: 4 ， pa3101542（2） be 与 a 相切在 rt abe 中， ab53 ， ae15 ，tanabeae15

10、ab533 ，abe60 又pab30 ，abepab90 ，apb90 ，be 与 a 相切（3）由于 ad5， ab53 ，所以 r 的变化范畴为5r53 当 a 与 c 外切时， rr10 ，所以 r 的变化范畴为1053r5 ；当 a 与 c 内切时， rr10 ，所以 r 的变化范畴为15r1053 24、（ 2006 山东烟台） 如图，已知抛物线l1: y=x-4 的图像与x 有交于 a、c 两点，（1）如抛物线l 2 与 l 1 关于 x 轴对称，求l 2 的解析式；（2）如点 b 是抛物线 l 1 上的一动点（ b 不与 a、c 重合），以 ac为对角线， a、b、c三点为顶点

11、的平行四边形的第四个顶点定为d，求证：点d在 l 2 上；（3）探究：当点 b 分别位于 l 1 在 x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形 abcd的面积是否存在最大值和最小值？如存在， 判定它是何种特别平行四边形， 并求出它的面积； 如不存在，请说明理由； 解2（1）设 l 2 的解析式为 y=ax-h +kl 2 与 x 轴的交点 a-2,0,c2,0, 顶点坐标是 0 ，-4,l 1 与 l 2 关于 x轴对称， l 2 过 a-2,0,c2,0,顶点坐标是（ 0， 4）2 y=ax +4 0=4a+4得 a=-12 l 2 的解析式为y=-x +42 设 bx 1 ,y 1点 b

12、在 l 1 上2 bx 1 ,x 1 -4四边形 abcd是平行四边形，a、c 关于 o对称 b、d 关于 o对称2 d-x 1 ,-x 1 +4.22将 d-x 1 ,-x 1 +4 的坐标代入l 2： y=-x +4左边 =右边点 d 在 l 2 上.学习必备欢迎下载(3) 设平行四边形abcd的面积为s, 就 s=2*s abc=ac*|y 1|=4|y 1|a. 当点 b 在 x 轴上方时， y 1 0 s=4y1 , 它是关于y 1 的正比例函数且s随 y1 的增大而增大， s 既无最大值也无最小值b. 当点 b 在 x 轴下方时， -4 y1 0 s=-4y 1 , 它是关于y1

13、的正比例函数且s 随 y 1 的增大而减小，当 y 1 =-4 时， s 由最大值16，但他没有最小值此时 b0,-4在 y 轴上，它的对称点d 也在 y 轴上 . ac bd平行四边形abcd是菱形 此时 s 最大 =16.5、（ 2006 浙江嘉兴） 某旅行胜地欲开发一座景观山从山的侧面进行堪测，迎面山坡线abc 由同一平面内的两段抛物线组成，其中ab 所在的抛物线以a 为顶点、开口向下，bc 所在的抛物线以c 为顶点、开口向上以过山脚（点c）的水平线为x 轴、过山顶（点 a）的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）已知 ab 所在抛物线的解析式为 y1 x248 ，bc 所在

14、抛物线的解析式为y1 x 48 2 ，且已知b m, 4 （1）设p x, y是山坡线ab 上任意一点，用y 表示 x，并求点b 的坐标；（2）从山顶开头、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶这种台阶每级的高度为20 厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20 厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；这种台阶不能始终铺到山脚，为什么？（3）在山坡上的700 米高度（点d ）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站索道的起点挑选在山脚水平线上的点e 处， oe1600 （米）假设索道de 可近似地看成一段以 e 为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y1 x2816 2

15、试求索道的最大悬空高度长度高度ya7d4b上山方向omcex学习必备欢迎下载 解（ 1）px, y 是山坡线ab 上任意一点， y1 x2 48 ， x0 ， x 248y ， x28y bm, 4 ， m284 4，b4, 4（2）在山坡线ab 上， x28y ， a0, 8令 y08 ，得 x 00；令 y180.0027.998 ，得 x120.0020.08944第一级台阶的长度为x1x00.08944 （百米）894（厘米）同理，令y 2820.002 、 y 3830.002 ，可得 x20.12649 、 x30.15492其次级台阶的长度为x2x10.03705 （百米）371

16、（厘米）第三级台阶的长度为x3x 20.02843 （百米）284（厘米）取点b4,4 ，又取 y40.002 ，就 x23.9983.99900 43.999000.0010.002这种台阶不能从山顶始终铺到点b，从而就不能始终铺到山脚（注：事实上这种台阶从山顶开头最多只能铺到700 米高度，共500 级从100 米高度到700 米高度都不能铺设这种台阶解题时取点具有开放性）另解：连接任意一段台阶的两端点p、q，如图p这种台阶的长度不小于它的高度pqr45rq当其中有一级台阶的长大于它的高时，pqr45在题设图中，作bhoa 于 h就abh45 ，又第一级台阶的长大于它的高这种台阶不能从山顶

17、始终铺到点b，从而就不能始终铺到山脚（3） ya7d4b上山方向o4cex学习必备欢迎下载d2,7 、e16, 0 、 b 4, 4、 c 8, 0由图可知，只有当索道在bc 上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值索道在 bc 上方时，悬空高度 y1 x282161 x8 241 3x 21440x963 x1420 2833当 x20 时，38ymax3索道的最大悬空高度为800 米36、（2006 山东潍坊） 已知二次函数图象的顶点在原点o ，对称轴为y 轴一次函数ykx1的图象与二次函数的图象交于a，b 两点 （ a 在 b 的左侧），且 a 点坐标为4，4平行于x 轴的直线 l 过0，

18、 1 点（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判定以线段ab 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移2 个单位，再向下平移t 个单位t0 ，二次函数的图象与 x 轴交于 m， n 两点，一次函数图象交y 轴于 f 点当 t 为何值时，过f， m ，n 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？y3 解（ 1）把 a4，4 代入一次函数的解析式为ykx1 得 k，4y3 x1； 4二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y 轴，ox设二次函数解析式为yax2 ，l·········

19、;······················把a4，4 代入yax2 得 a1 ，4学习必备欢迎下载12二次函数解析式为yx4（ 2）由3yx14y1 x24x4x1解得或1 ，y4y411b，4过 a，b 点分别作直线l 的垂线，垂足为a，b ，15就 aa415，bb1，4455直角梯形aa b b 的中位线长为425 ，28115过 b 作 bh 垂直于直线aa 于点

20、h ，就bha b5 ， ah4，442ab521525 ，44ab 的长等于 ab 中点到直线l 的距离的2 倍，以 ab 为直径的圆与直线l 相切（ 3）平移后二次函数解析式为y x22t ，令 y0 ，得 x2 2t0 ， x12t ， x22t ，过 f， m，n三点的圆的圆心肯定在直线x2 上，点 f 为定点，··············要使圆面积最小，圆半径应等于点f 到直线 x此时，半径为2，面积为 4，2 的距离，学习必备欢迎下载设圆心为

21、c，mn中点为 e ，连 ce，cm，就 ce1 ，在三角形 cem 中， me2213 ，mn23 ，而mnx2x12t ，t3 ，当 t3 时，过 f， m，n 三点的圆面积最小，最小面积为47、（ 2006 江西） 问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图 1，在正三角形abc 中， m 、n 分别是 ac 、ab 上的点， bm 与 cn 相交于点o，如 bon 60o，就 bm cn ；如图 2，在正方形abcd 中，m 、n 分别是 cd 、ad 上的点， bm 与 cn 相交于点 o，如 bon 90o，就 bm cn ；然后运用类比的思想提出了如下命题：

22、如图 3，在正五边形abcde中， m 、n 分别是 cd 、de 上的点， bm 与 cn 相交于点 o，如 bon 108o，就 bm cn ；任务要求 ：（ 1）请你从、三个命题中挑选一个 进行证明；（说明：选做对得4 分，选做对得 3 分，选做对得5 分）2请你连续完成以下探究：请在图3 中画出一条与cn相等的线段dh，使点 h 在正五边形的边上，且与cn相 交所成的一个角是108o，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）如图 4，在正五边形abcde中， m 、n 分别是 de、ea 上的点， bm 与 cn 相交于点 o，如 bon 108o，请问结论bm cn 是否仍成立

23、？如成立，请赐予证明；如不成立，请说明理由；anadennmmoadmoob图 1cbcbc图 2图 4 解（ 1）以下答案供参考：（ 1） 如选命题证明：在图1 中， bon=60° 1+ 2=60° 3+ 2=60°， 1= 3又 bc=ca， bcm = can=60° bcm canbm =cn（ 2）如选命题证明：在图2 中， bon=90° 1+ 2=90° 3+ 2=90°， 1= 3又 bc=cd ， bcm =cdn =90° bcm cdn学习必备欢迎下载 bm =cn（ 3）如选命题证明；在图

24、3 中， bon =108° 1+ 2=108° 2+ 3=108° 1= 3又 bc=cd ， bcm =cdn =108° bcm cdn bm =cnn-21802 答：当 bon=n0时结论 bm =cn 成立答当 bon=108 °时； bm =cn 仍成立证明；如图5 连结 bd 、ce.在 bci 和 cde 中 bc=cd , bcd= cde =108° , cd =de bcd cde bd =ce , bdc= ced , dbc = cen cde = dec =108°, bdm = cen obc

25、+ ecd =108°, ocb +ocd =108° mbc = ncd又 dbc = ecd =36°, dbm = ecnbdm cne bm =cn8、（ 2006 吉林长春） 如图，在平面直角坐标系中，两个函数yx, y1 x6 的图象交2于点 a；动点 p 从点 o 开头沿 oa 方向以每秒1 个单位的速度运动，作 pqx 轴交直线 bc于点 q，以 pq 为一边向下作正方形pqmn ，设它与 oab 重叠部分的面积为s；（1）求点 a 的坐标；（2）试求出点p 在线段 oa 上运动时，s 与运动时间的关系式；（t 秒）（3）在（ 2）的条件下， s

26、是否有最大值？如有，求出t为何值时， s 有最大值，并求出最大值；如没有，请说明理由；（4）如点 p 经过点 a 后连续按原方向、原速度运动，当正方形 pqmn 与 oab 重叠部分面积最大时，运动时间t 满意的条件是 ；y 解（ 1）由yx,1 x6,2x 4,可得y 4.a（ 4， 4）；（2）点 p 在 y = x 上， op = t，就点 p 坐标为 2 t,22 t.2学习必备欢迎下载点 q 的纵坐标为2 t ，并且点q 在 y21 x6 上；22 t21 x6, x1222t ，即点 q 坐标为122t,2 t ；2pq123 2 t ；2当 1232 t22t 时， t232 ；

27、当 0t 32 时 ，s2 t12232 t23 t 2262t.当点 p 到达 a 点时， t42 ，当 32t 42 时，s129232 t 22t362t21 4 4；（3）有最大值，最大值应在0t 32 中，s3 t 2262t3 t 2242t8123 t222 212,当 t22 时， s 的最大值为12；（ 4） t122 ；9、（ 2006 湖南常德） 把两块全等的直角三角形abc 和 def 叠放在一起， 使三角板 def 的锐 角 顶 点 d 与 三 角 板 abc 的 斜 边 中 点 o 重 合 ， 其 中abcdef90，cf45， abde4 ，把三角板abc 固定不

28、动， 让三角板 def 绕点 o 旋转，设射线 de 与射线 ab 相交于点 p ，射线 df 与线段 bc 相交于点 q 学习必备欢迎下载（1）如图9，当射线 df 经过点 b ，即点 q 与点 b 重合时，易证 apd cdq 此时， ap·cq（2）将三角板def 由图 1 所示的位置绕点o 沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中090 ，问 ap·cq的值是否转变？说明你的理由（3）在（ 2）的条件下，设cqx ，两块三角板重叠面积为y ，求 y 与 x 的函数关系式aep bqcf 解（ 1） 8图 1图 3图 3（ 2） ap·cq 的值不会转变理由如下：在

29、 apd 与 cdq 中，ac45（ ）a p d 1 8 04 5 4a5ac dq 9 0a即apdcdq apd cdqapcdadcq2a a pc qa dc d21d8a c2（3） 情形 1：当 0a45时， 2cq4 ，即 2x4 ，此时两三角板重叠部分为四边形 dpbq ，过 d 作 dg ap 于 g ， dn d gd n2 bc 于 n ，（ ）学习必备欢迎下载由（ 2）知：ap cq8 得 ap8x于是 y1 ab ac1 cq dn1 ap dg2228x8 2xx4情形 2：当 45 a90 时 ， 0cq 2 时，即 0x 2 ，此时两三角板重叠部分为 dmq

30、，88由于 ap， pbx4 ，易证：x pbm dnm ，b mp b即bmpb 解得 bm2pb84xmnd n 2bm22pb4x mq4bmcq4x84x4x于是 y1 mq dn4x84 x 0x 224x综上所述，当2x4 时， y8x8 x84x当 0x 2 时， y4x4xx24x8或 y4x法 二 ： 连 结 bd ， 并 过 d 作 dn bc于 点 n， 在 d b q 与mcd中 ，dbqmcd45dqbqcbqdc45qdcmdqqdcmdc dbq mcdmcd8bmccdb4xq2 mqmccd8xx4x84x4x1 ydnmqx24 x80x 224x法三：过

31、d 作 dn bc 于点 n ，在 rt dnq 中，d q2d 2nn2 q学习必备欢迎下载42x2x24 x8于是在 bdq与 dmq 中dbqmdq45dmqdbmbdm45bdm bdq bdq dmqbqdqdqmq即 4xdqdqmq mq22dqx4x84x4x y1dnmq2x4 x8 0x 224x10、（ 2006 湖北宜昌） 如图，点 o 是坐标原点，点a（n，0）是 x 轴上一动点 n0以 aoo为一边作矩形aobc ，点 c 在其次象限，且ob 2oa矩形 aobc 绕点 a 逆时针旋转90得矩形 agde 过点 a 的直线 ykx m 交 y 轴于点 f， fb f

32、a抛物线 y=ax 2+bx+c 过点e、f 、g 且和直线af 交于点 h，过点 h 作 hm x 轴，垂足为点m 1 求 k 的值；2 点 a 位置转变时，amh 的面积和矩形aobc的面积的比值是否转变？说明你的理由 解（ 1）依据题意得到：e（ 3n， 0），g（ n， n）当 x 0 时， y kx m m，点 f 坐标为（ 0， m） rtaof 中， af 2 m2 n2，y fb af ，cg m2 n2 -2n m 2，bm化简得： m 0.75n，df对于 y kx m，当 x n 时， y 0， 0 kn 0.75n， k 0.75（ 2）抛物线y=ax 2+bx+c 过

33、点 e、f、g，eaoxh学习必备欢迎下载09n 2ann2 a3nbcnbc0.75c解得： a1 ， b4n1 ， c 0.75n2抛物线为y=121xx 0.75n4n2y1 x21 x0.75n解方程组：4n2y0.75x0.75n得： x15n， y1 3n； x2 0， y2 0.75n h 坐标是：（5n， 3n）， hm 3n， am n5n 4n， amh的面积 0.5× hm × am 6n2；而矩形 aobc的面积 2n2， amh的面积矩形aobc的面积 3:1，不随着点a 的位置的转变而转变11、（2006 北京海淀） 如图，已知 o 的直径 ab

34、 垂直于弦cd 于 e，连结 ad 、bd 、oc 、 od ，且 od 5；（ 1）如 sin bad3 ，求 cd 的长；5（ 2）如 ado ： edo 4： 1，求扇形oac （阴影部分）的面积（结果保留）； 解（1）由于 ab 是 o 的直径， od 5所以 adb 90°， ab 10在 rtabd中， sin bad又 sin bad3 ，所以bdbdab 3，所以 bd6adab 25bd 210510 2628由于 adb 90°， ab cd所以 de · abad · bd ， cede所以 de108624所以 de所以 cd52

35、 de485（ 2）由于 ab 是 o 的直径， ab cd学习必备欢迎下载所以 cbbd ， acad所以 bad cdb ， aoc aod 由于 ao do ，所以 bad ado 所以 cdb ado设 ado 4x，就 cdb 4x由 ado ： edo 4： 1，就 edo x由于 ado edo edb 90°所以 4x4xx90所以 x 10°所以 aod 180°（ oad ado ） 100° 所以 aoc aod 100°s扇形 oac100360521251812、（ 2006 湖南长沙） 如图 1，已知直线y（1）求

36、a， b两点的坐标；（2）求线段ab 的垂直平分线的解析式；1 x与抛物线y21 x246交于 a， b 两点（3）如图 2，取与线段ab 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在a，b 两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖p 在直线 ab 上方的抛物线上移动，动点p 将与 a，b 构成很多个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？假如存在，求出最大面积， 并指出此时p 点的坐标；假如不存在，请简要说明理由yy 解y（1）解：依题意得ybpboxoxaa12图 1x16x24图 2y13y22x64解之得1 x2a 6，3， b ，4 2（2）作 ab 的垂直平分线交x 轴， y 轴于 c， d 两点，交ab 于 m （如图 1）由（ 1）可知： oa35ob25yab55om1 abob5bc22oxmad图 1学习必备欢迎下载过 b