计算方法0329

1、计算方法3月29日1第四章 数值积分与数值微分l引言l牛顿-柯特斯求积公式l复化求积公式l龙贝格求积公式l自适应积分方法l高斯求积公式高斯求积公式l多重积分l数值微分数值微分2自适应积分方法l函数在不同区间不同区间上需要的代数精度不同l复化采用细分细分区间的方式取代提高阶数l所以，可在不同区间不同区间采用不同细分细分l某个区间是否需要细分取决与它是否已达到本区间的误差要求误差要求lP115 例7l自学3复习：求积公式l 称为求积公式求积公式l式中xk称为求积节点求积节点，Ak称为求积系数求积系数，亦称伴随节点xk的权权。权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式。l称

2、为求积公式的截断误差或余项bankkkxfAdxxf0)()(bankkkxfAdxxffR0)()()(4复习：牛顿-柯特斯公式要点lxk是等距离的（不再是未知数）l未知数只剩下Ak，因为k=0,1,2n ，所以共有n+1个未知数l所以代数精度只有nl为什么？需要对f(x)=1,f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=x3都成立n+1个未知数只能满足n+1个方程5代数精度还可以提高么？代数精度还可以提高么？高斯型求积公式l 定义4设具有n+1个求积节点的插值型求积公式为其中 (x)为a, b上的权函数，求积系数为 若求积公式(5.1)的代数精度至少为2n+1次，则称该公式为高斯型求积公式高斯

3、型求积公式这时，求积节点xk称为高斯型节点高斯型节点0( ) ( )( ), 0,1,.,nbbjiiaaijjj ix xAx l x dxxdxjnxx0( ) ( )( )nbiiaix f x dxA f x(5.1)6例例 选择求积节点及求积系数，使得求积公式选择求积节点及求积系数，使得求积公式成为高斯求积公式成为高斯求积公式100110( )()( )xf x dxA f xA f x即分别对于f(x)=xm,(m=0,1,2n+1)，成立。这是多项式方程组，n=1，有4个方程，4个 未知数，肯定能解出来。P117例例87高斯点的要求l 定理5具有n+1个求积节点xk的插值型求积公

4、式(5.1)是高斯型求积公式的充要条件充要条件是:l 即以这些积分（插值）节点为零点的多项式与次数不超过n的多项式P(x)均正交正交niinbannxxxdxxPxxGxP011)()(0)()()()(其中，8证明l 必要性：必要性：l 充分性：充分性： f(x) G2n+1,由多项式的带余除法可得：f(x)=P(x)n+1(x)+g(x) 其中P(x), g(x) Gn, 所以，由条件和插值型求积定理(定理1)，得niiiniiibababanbaxfAxgAdxxgxdxxgxdxxxPxdxxfx001)()()()()()()()()()()(0)()()()()()()()(101

5、121iinniibannnnxPxAdxxPxxGxPxGxP，9l利用正交多项式的性质可以给出答案： 设Pi(x)是关于权函数 (x)和区间a, b的正交多项式序列，取求积公式(5.1)的求积节点xk (k=0, 1, , n)为Pn+1(x)的零点，即取xk使得其中 为Pn+1(x)的首项系数如何确定高斯点10/)(xPnn11证明l注意到Pi(x), (i=0, 1, , n)线性无关. P(x) Gn,存在一组常数c0, c1, , cn, 使得l所以，以Pn+1(x)的零点xk为求积节点的插值型求积公式就是高斯型求积公式11高斯型求积公式的误差估计l 有n+1个节点，代数精度至少是

6、2n+1所以，可用埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式H2n+1(x).于是，得(22)221( )( )( )( )(22)!nnnff xHxxn(22)2(22)2( )( )( )(22)!( )( )( )(22)!nbnnanbnafRfxx dxnfxx dxn12高斯型求积公式的稳定性与收敛性l 定理6高斯型求积公式的求积系数都大于0.从而它是稳定的l证明：容易，（见课本）l 定理7高斯型求积公式是收敛的l证明：略l关于数值积分，最后一个问题：求积公式的代数精度能比2n+1高吗?13证明14高斯型求积公式特点l高斯型求积公式不但具有最高最高代数精度，而且还数值稳定l高斯型求积公

7、式的节点和系数要预先计算，且计算相当麻烦l对一些具体的高斯型求积公式，已经计算好了它的求积节点和求积系数15高斯求积公式应用16高斯-勒让德求积公式l 取 (x) 1，正交多项式组取勒让德多项式勒让德多项式组组，得到高斯高斯-勒让德勒让德求积公式求积公式右表给出次数n 3时对应的高斯高斯-勒让德勒让德节点和高斯高斯-勒勒让德让德系数更多的情形见P122表4-7nxkAk00.0002.00010.5771.00020.7750.0000.5560.88930.8610.3400.3480.652lgnd例例6 用高斯-勒让德求积公式计算202cosxdxxI17精度比较l 可以验证，即使当n=

8、1时，该误差也比辛普森公式余项还小(区间是-1, 1)，且比辛普森公式少算一个函数值.使用时可将任何区间映射到-1, 1上(4)1( ) 135fR f(4)1( ) 90fR f？18高斯-切比雪夫求积公式l前提l高斯-切比雪夫求积公式211)( 1 , 1xx权函数：区间：19注意：这里的注意：这里的n是节点个数是节点个数2021当n=1,即使用两点Gauss-Chebyshev求积公式时，可以精确求解。两个高斯点是二次切比雪夫多项式的零点: 22，即数值积分求解得到12t(t)T2222t ,22t21231)3t(t2I21kk2k高斯-切比雪夫求积公式l前提l高斯-切比雪夫求积公式2

9、11)( 1 , 1xx权函数：区间：23注意：这里的注意：这里的n是节点个数是节点个数提示l什么时候使用高斯-切比雪夫求积公式？当被积函数里正好有的(x)时候，如P124例11l无穷区间的高斯求积公式区间为0,+，权函数(x)=e-x高斯-拉盖尔求积公式区间为-,+ ，权函数(x)=e-x 2高斯-埃尔米特求积公式24多重积分l可以采用前述各种求积公式l对多个自变量分别分区l自学lP127l例14 例1525数值微分l微分的定义l数值微分：当函数由表格形式时，如何确定函数在这些点上当函数由表格形式时，如何确定函数在这些点上的导数或微商？的导数或微商？26几种常见的数值微分公式lh称为步长l最

10、后一种数值微分方法称为中点方法中点方法，误差阶是O(h2)hhafhafafhhafafafhafhafaf2)()()()()()()()()(27中点公式的步长选取l 只考虑截断误差h越小越好l 再考察舍入误差h不宜太小l 示例l 结论最优步长应为。).(处的一阶导数在)(用中点公式求35355302xxxf)(max)()(,max/321213xfMhafhafMhhaxopt 的舍入误差和为和其中mddl28l自然很容易就会想到用插值多项式多项式或样样条函数条函数P(x)的导数来近似代替原函数f(x)的导数即 f(i)(x) P(i)(x), i=1, 2, l其中P(x)是代数多项

11、式或样条函数等这里就P(x)是代数多项式的情形介绍如何构造数值微分公式l以下我们给出公式推导：如何确定连续区间的微分29复习：插值30*误差推导31*误差推导32两点公式)(2)()(1)()(2)()(1)()()(1)()()()()()(011010101011010010111010fhxfxfhxffhxfxfhxfxfxfhxPhxxxfxxxxxfxxxxxPxfxfxx 式是：所以，带余项的两点公有两边求导，记插值公式得：和上的函数值和已知两个节点33三点公式l取n=2, x1-x0 = x2-x1 = h时的数值微商公式:由由34由上式和由上式和 分别得分别得此为此为 三点三

12、点 公式公式 35l若取那么，在公式两边再求导得二阶导数的误差公式：012222( )( )yyyfxL xh0202121222()()( )( )( )()()()( )fxL xO hfxL xO hfxL xO h二阶导36用外推法求数值微商2( )2( )2( )2()( )( )( ) .( ) .2!()( )( )( ) . ( 1)( ) .2!(3 )(3 )(3 )( ) 3( )( ) .( ) .2!(3 )(3 )( ) 3( )( ) . (2!nnnnnnnhhf x hf xhf xfxfxnhhf x hf xhf xfxfxnhhf xhf xhf xfxfxnhf xhf xhf xfx ( )(3 )1)( ) .!nnnhfxn 422112123)()(推出理论值)()!12(2)(!32)(2)(2可得)()(21)(又有hhhGxfxfkhxfhxfhhhGhxfhxfhhGkk