第六节微积分基本定理56368

1、变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(ttdttv 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时是时间间隔间间隔,21tt上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12tsts 第六节第六节 微积分基本定理微积分基本定理一、问题的提出一、问题的提出).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 其中其中)(xxhx二、积分上限的函数及

2、其导数二、积分上限的函数及其导数, ,)(bacxf则变上限函数则变上限函数xattfxd)()(证证:, ,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(f)(hxxhxhxh)()(lim0)(lim fx )(xf)(x定理定理1. 若若.,)(上的一个原函数上的一个原函数在在是是baxf,)(bacxf)(xfy xbayo定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系. 如如果果)(tf

3、连连续续，)(xu、)(xv可可导导，则则 补充补充 )()()()(xvxvfxuxuf 证证则则令令),(),(,)()(0 xvvxuudttfuu )()()(0)(0 dttfdttfxvxu )()()()(xvxvfxuxuf )()()( xuxvdttf)()()( xuxvdttf)()( xvxu)()()()(xvvxuu )sin(e2cosxx例例1. 求求0limxtxtde1cos22x解解:原式0limx00 x2e21例例2. 确定常数确定常数 a , b , c 的值的值, 使使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 x

4、xax时,0c. 0 b00原式原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c洛洛洛洛 ttf txfxd)()(0例例3. ,0)(,),0)(xfxf且内连续在设证明)(xfttf txd)(0ttfxd)(0在),0(内为单调递增函数 . 证证:)(xf20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0.)0)(内为单调增函数，（在xf只要证0)( xf 20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x证证, 1)(2)(0 dttfxxfx, 0)(2)(

5、 xfxf, 1)( xf)(xf在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( f 10)(1)1(dttff 10)(1dttf, 0 令令三、牛顿三、牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式上的一个原上的一个原在在是连续函数是连续函数设设,)()(baxfxf)()(d)(afbfxxfba ( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证证: 根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故cxxfxfxad)()(,ax 令, )(afc 得因此)()(d)(afxfxxfxa,bx 再令得)()(d)(afbfxxfba记作)(xfab)(xfab定理定理2.函数函数 , 则则或)()

6、()(afbfdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：),)()(abfabf 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.与之间与之间与与在在ba 积积分分中中值值定定理理中中的的 可可在在开开区区间间),( ba取取得得. 例例5 5 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例6 6 设设 ,

7、 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx. 6 xyo12例例7 7 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例8 8 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxa 0cos x. 2 3.微积分基本公式微积分

8、基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(afbfdxxfba 四、小结四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的的函函数数还还是是 t与与 u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？ 思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfdu

9、ufdxdbx 3234)(2xxxf备用题备用题解解：1.设设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求求).(xf定积分为常数定积分为常数 ,d)(10axxf可设可设bxxf20d)(abxxxf2)(2, 则则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b2. 设设证证：,dsin,dtan0302xxtttt试证: 当 0limxxxxxx21023sin2tanlim0 x时, = o( ) . xxxxx210232limxxx21202lim0所以 = o( ) . xxxxxsintan0时

10、洛3. 设设,0) 1 (,)(1fctf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131(e) f解法解法2. 对已知等式两边求导,xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)(e)e1fuuffe1131duu31思考思考: 若改题为xttfxlnd)(313?(e) f提示提示: 两边求导, 得331)(xxfe1d)(e)xxff得4.求求解解: 由于由于20dsin2sinxxnxin的递推公式(n为正整数) . ,dsin) 1(2sin201xxxnin因此1n

11、nii20d) 12cos(2xxn20dsinsin) 12cos(2xxxxn12) 1(21nn1nnii12) 1(21nn所以), 3 ,2(n2dcos2201xxi其中一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、设、设 ,coscos1nxdxmxi dxnxmx

12、sinsin，练练 习习 题题（1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1i= =_ , ,2i= =_ _ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1i= =_ ,_ ,2i= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3i= =_ _ , ,（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3i= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求导数：求导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，

13、求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 设设)(xf为连

14、续函数，证明为连续函数，证明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函数求函数 xdttttxf02113)(在区间在区间 1,0上的最上的最大值与最小值大值与最小值 . .七、七、 设设 时，时，或或，当，当时，时，当当 xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 内的表达式内的表达式 . .八、八、 设设 baxf,)(在在上连续且上连续且,0)( xf xaxbtfdtdttfxf)()()( , ,证明：证明： （1 1） 、） 、2)( xf ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xf在在),(ba内有且仅有一个根内有且仅有一个根 . .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,