第六节空间直线及其方程8629871

1、第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程教学内容教学内容 1 空间直线的一般方程；空间直线的一般方程； 2 空间直线的对称式方程与参数方程；空间直线的对称式方程与参数方程； 3 两直线的夹角；两直线的夹角；4 直线与平面的夹角直线与平面的夹角；本节考研要求本节考研要求 掌握直线方程的求法，会利用平面、直线的相互掌握直线方程的求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题，会求点到直线与点到平面的距关系解决有关问题，会求点到直线与点到平面的距离。离。xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 002

2、2221111dzcybxadzcybxa空间直线的一般方程空间直线的一般方程l一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sl),(0000zyxm0m m ,lm ),(zyxmsmm0/,pnms ,0000zzyyxxmm 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量

3、的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.说明说明: 某些分母为零时某些分母为零时, 其分子也理解为零其分子也理解为零.00yyxx直线方程为例如, 当,0, 0时pnm3. 参数式方程参数式方程设得参数式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0例例1 1.用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.043201 zyxzyx632zyzy再求直线的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns故所给直线的

4、对称式方程为参数式方程为tztytx32 41t41x1y32z解题思路解题思路:先找直线上一点先找直线上一点; ;再找直线的方向向量再找直线的方向向量. .)3, 1,4(21nns312111kji例例 2 2 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( a，且且和和 y 轴轴垂垂直直相相交交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( b取取bas ),4, 0, 2( 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx，则则，、若若2122221111),(),( mmlzyxmzyxm :l121121121zzzzyyyy

5、xxxx 两点式两点式方程。方程。注：注：例例 3 3 求过求过)3 , 1 , 2(m且与且与 l:12131 zyx垂直相交的直垂直相交的直线方程线方程. 解解先作过先作过点点m且与已知直线且与已知直线 l 垂直的平面垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点n,，由由 tztytx1213lm n代入平面方程，得代入平面方程，得,73 t交点交点)73,713,72( n取方向向量取方向向量mn)373, 1713, 272( ),4 , 1, 2(76 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx另解另解: 12131:)3

6、, 1 , 2( 垂直的平面垂直的平面且与已知直线且与已知直线先做过点先做过点zyxlmlm )0 , 1 , 1(0lm l )1, 2 , 3()3 , 0 , 3(/0 smmns所所求求直直线线： 0)3() 1( 2)2( 3 zyx0)3() 1( 2)2( zyx）（1 , 2 , 16 再求过再求过m与与l的的：0)3() 1( 2)2(: zyx. 0)3()1(2)2(3 zyx:1l:2l22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角两直线的夹角.两直线的

7、夹角公式。两直线的夹角公式。三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm ,111111pzznyymxx ,222222pzznyymxx 例例 3 3 求过点求过点)5, 2, 3( 且与两平面且与两平面34 zx和和152 zyx的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程当直线与平面垂直时当直线

8、与平面垂直时, ,规定其夹角规定其夹角线所夹锐角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角称为直线与平面间的夹角; ;l2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时当直线与平面不垂直时, ,设直线设直线 l 的方向向量为的方向向量为 平面平面 的法向量为的法向量为则直线与平面夹角则直线与平面夹角 满足满足.2222222cbapnmpcnbma直线和它在平面上的投影直直线和它在平面上的投影直),(pnms ),(cban ),cos(sinnsnsns sn特别有特别有: :l) 1(/)2(l0pcnbmapcnbmans/ns解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zy

9、x则直线的对称式方程为则直线的对称式方程为0432zyx直的直线方程直的直线方程. . 为所求直线的方向向量为所求直线的方向向量. . 132垂垂 ) 1,3,2(nn例例3. 求过点求过点(1,2 , 4) 且与平面且与平面* *例例 4 4 设设直直线线:l21121 zyx，平平面面: 32 zyx，求求直直线线与与平平面面的的夹夹角角. 解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sinpnmcbacpbnam 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角四、平面束介绍四、平面束介绍设直线设直线l的方程为的方程为11112222

10、0,0axb yc zda xb yc zd其中系数其中系数1a1b1c、 、与与、不成比例不成比例.2a2b2c111122220axb yc zda xb yc zd表示通过直线表示通过直线 的的平面束平面束(通过直线通过直线 的平面的全体的平面的全体),l是任意常数是任意常数. 其中其中方程方程方程称为方程称为通过直线通过直线l的平面束方程。的平面束方程。可知方程是通过可知方程是通过直线直线l的的. 对于不同的对于不同的,方程表示通过直线方程表示通过直线l的不同平的不同平面面.反之反之,凡是通过直线凡是通过直线l的平面必定在方程中。的平面必定在方程中。例例4.4.求直线求直线解解: :过

11、直线过直线10,40 xyzxyz 该平面与平面在平面在平面0 xyz上的投影直线方程上的投影直线方程.10,40 xyzxyz 的平面束方程为的平面束方程为140(1)xyzxyz即即(1)(1)( 1)( 1)0 xyz 0 xyz垂直的条件是垂直的条件是,nn 即即(1) 1 (1) 1 ( 1) 10 1. 解出解出 得得代入代入(1)(1)得得故所求投影直线方程为故所求投影直线方程为10,0.yzxyz 222010yzyz 例例9 求过两个平面求过两个平面x+2y-z+1=0与与2x-3y+z=0的的交线且过点交线且过点(1,2,3)的平面方程的平面方程)4(0)32() 12(z

12、yxzyx解解 设直线设直线l通过平面方程通过平面方程01277)32 ( 3) 12(zyxzyxzyxx+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3)把点把点m(1,2,3)的坐标代入方程的坐标代入方程(4)我们得到我们得到3-=0,我们取我们取=1, 则则=3.代入方程代入方程(4)得到得到(12 23 1)(23 23)030 1. 空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式0022221111dzcybxadzcybxatpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 内容小结内容小结 ,1111111pzznyymxxl：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxl：212121ppnnmm2. 线与线的关系线与线的关系直线夹角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 02