八年级数学因式分解知识点

1、名师总结优秀学问点第四章因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分解；因式分解的方法多种多样，现将中学阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式 ambmcmmabc,其中 m叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用23a a 2 a三、分组分解法.ba22abb 23b ab a a b ab,b2 ,22abb （一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有

2、a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系；解：原式 = am= am= mann n abmbmbbnn每组之间仍有公因式！摸索：此题仍可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后， 每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提；例 2、分解因式：2 ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组；其次、三项为一组；解：原式 = 2ax10ay5bybx 原式 = 2axbx10ay5by= 2a x5 yb x5 y= x 2ab5 y2 ab = x5 y 2ab = 2ab x

3、5 y（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x 2y 2axay分析：如将第一、三项分为一组，其次、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能连续分解，所以只能另外分组；解：原式 = x 2= x= xy2 y xy xaxy yaya xy a例 4、分解因式：222a2abbc解：原式 = a 2= a2abb) 2b 2 c 2c 2= abc abc练习：分解因式3、 x2x9 y 23 y4 、 x2y2z 22 yz练习：（1） x3x 2 yxy2y3（ 2） ax 2bx 2bxaxab名师总结优秀学问点（ 3） x 26 xy9 y 216a 28a1（ 4） a 2

4、6 ab12b9b 24a（ 5） a 42a 3a 29（ 6） 4a 2 x4a 2 yb 2 xb 2 y（ 7）x 22 xyxzyzy2（ 8） a 22ab 22b2ab1（ 9）y y2 m1 m1（ 10） ac ac) b b2a （ 11） a 2 bcb 2 acc 2 ab2abc （ 12） a 3b 3c 33abc四、十字相乘法.（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x 2 pqxpq xp xq 进行分解；特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和；例 5、分解因式：x 25 x6分析：将6 分成两个数相

5、乘，且这两个数的和要等于5；由于 6=2× 3=-2 × -3=1 × 6=-1 × -6 ，从中可以发觉只有2× 3 的分解适合， 即 2+3=5 ；12解 ： x25 x6 = x 2= x 22 x3 x233131×2+1 × 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数；例 6、分解因式：x 27 x6解：原式 = x216 x161-1= x1 x61-6（ -1）+（ -6） = -7练习 5、分解因式 1 x 214x24(2) a 215a36(3) x

6、24x5练习 6、分解因式 1 x 2x2(2) y 22 y15(3) x 210 x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax 2bxc条件：（1） aa1a 2a1c1（2） c（3） bc1 c2a1 c2a 2c1a 2ba1c2c2a2 c1分解结果：ax 2bxc = a1 xc1 a2 xc2 例 7、分解因式：3x 211x10分析：1-23-5（ -6） +（ -5） = -11解 ： 3x211x10 = x2 3 x5练习 7、分解因式： （ 1） 5 x27 x6（ 2） 3x 27 x2（ 3） 10x 217x3（ 4）6 y 211y10名师总结优秀学问点（三

7、）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：a 28ab2128b分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解；18b1-16b8b+-16b= -8b解 ： a 28ab128b 2 = a 28b16b a8b16b练习 8、分解因式 1= a8b ax 23xy2 y2 2 m16b26mn8n 2 3 a 2ab6b 2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9 、2x27 xy6 y2例 10 、 x2 y 23 xy21-2y把 xy 看作一个整体1-12-3y1-2-3y+-4y= -7y-1+-2= -3解：原式 = x2 y 2 x3

8、 y解：原式 = xy1 xy2练习 9、分解因式： （ 1） 15 x27 xy4 y 2（ 2） a 2 x26 ax8综合练习10、（ 1） 8 x67 x31（2） 12 x211xy15 y 2（ 3） xy 23 xy10（ 4） ab 24 a4b3（ 5）x 2 y 25x 2 y6x 2（ 6） m 24mn4 n 23m6n2（ 7） x 24 xy4 y 22 x4 y3 （ 8） 5ab 223 a 2b 2 10 ab 2（ 9） 4 x24 xy6 x3 yy210 （ 10） 12 xy 211x 2y 2 2 xy 2摸索：分解因式：abcx 2a 2 b 2c

9、2 xabc五、主元法 .23xy10 y2x9 y25-22-1例 11、分解因式：x解法一：以x 为主元解：原式 = x 2= x 2= xx3 y x3 y 5 y112 x10 y25 y2 y9 y22 2 y11-5+-4= -91-5y-212y-1= x5 y2 x2 y1-5y-2+2y-1= -3y-1解法二：以y 为主元1-1解：原式 =10 y 210 y 210 y 2y3 x3 x3x99 y9 y x 2x 2 xxx 1 x22212-1+2=12x-1= 2 y=2 yx1 5yx1 5 y xx225-x+25x-1-2 x+2=3 x-9名师总结优秀学问点

10、练习 11、分解因式 1 x2y 24 x6 y52 x2xy2 y2x7 y6(3) x 2xy6 y 2x13 y6(4) a 2ab6b 25a35b36六、双十字相乘法；定义：双十字相乘法用于对ax2bxycy 2dxeyf型多项式的分解因式；条件：（1）（2）aa1 c2a1a 2 ， c a 2c1c1 c2 ， f b ， c1 f 2f1 f 2c2 f1e， a1 f 2a2 f1d即：a1c1f 1a 2c2f 2a1 c2a 2c1b ， c1 f 2c2 f1e ， a1 f 2a 2 f1d就 ax 2bxycy 2dxeyf a1 xc1 yf1 a2 xc2f 2

11、 例 12、分解因式（1） x2（ 2） x23xy xy10 y 26 y2x9 y2x13y6解 ：（ 1） x 23 xy10 y 2x9 y2应用双十字相乘法：x5 y2x2 y12 xy5 xy3xy ， 5 y4 y9 y ，x2xx原式 = x5 y2 x2 y1（ 2） x 2xy6 y2x13 y6应用双十字相乘法：x2 y33xy2 xyxxy ， 4 y3 y9 y13 y ，22x3xx原式 = x2 y3 x3y2练习 12、分解因式（1） x 2（ 2） 6 x2xy7 xy2 y 23 y 2x7 y xz67 yz2 z2七、换元法；例 13、分解因式（1） 2

12、005 x 22005 21x2005（ 2） x1 x2 x3 x6x 2解：（ 1）设 2005= a ，就原式 = ax 2= axa 21 x1) xa a = 2005x1 x2005（ 2）型如abcde 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘；原式 = x27 x6 x 25x6x2设 x25 x6a ，就 x 27 x6a2x原式 = a2x ax2 =a 22 axx 2= ax 2 = x 26 x62练习 13、分解因式（1） x 2xyy 2 24xy x2y2 名师总结优秀学问点（ 2） x 23x2 4 x28 x390（ 3） a21 2a 2524a 2

13、3 2例 14、分解因式（1） 2 x4x36 x2x2观看：此多项式的特点是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”；这种多项式属于“等距离多项式”；方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法；解：原式 = x2 2 x 2x61x1 = x2x22 x2112 x6xx设 x1 xt ，就 x21x 2t 22原式 = x22= x（2 t 222t5t2t6 =2 = x2x2 2t 22 x2 x1t105x12x22= x·2 x5 ·x·xx2= 2xx5x2x2 x1= x1 2 2 x1 x2解：原式 = x2（

14、 2） x 4x24 x14 x 34x24 x11= x2x214x11xx2121设 xy ，就 x2xxx 2xy 22 原 式 = x2 y 24 y213 = x 2y11y322= xx1 xx3 = xxx1x3 x1练习 14、（ 1） 6 x 47 x336x 27 x6 （ 2） x42x 3x 212xx 2 八、添项、拆项、配方法；例 15、分解因式（1） x33 x24解法 1拆项；解法 2添项；原式 = x 313 x23原式 = x33 x 24x4 x4= x= x1 x21 x2x1x13 x3x1 x13= xx 2= x x3x41 x44 x44x1=

15、x= x1 x21 x4 x42 2= x= x1 x21 x4 x42 2（ 2） x9x6x 33解：原式 = x 91x 61x 313= x3= x1 x61 x6x 31x31 x3 x31 x3111 x31= x1 x2x1 x62x 33练习 15、分解因式（1） x39x8（ 2） x14 x21 2x14名师总结优秀学问点（ 3） x 47 x 21（ 4） x4x 22ax1a 2（ 5） x 4y 4 xy) 4（6） 2 a 2 b 22a 2 c22b 2 c2a 4b 4c 4九、待定系数法；例 16、分解因式x 2xy6 y 2x13 y6分析：原式的前3项 x

16、 2xy6 y 2 可以分为 x3 y x2 y，就原多项式必定可分为x3 ym x2 yn解：设 x2xy6 y2x13y6 = x3 ym x2 yn x3ym x2 yn = x2xy6 y2mnx3n2 m ymn2 xxy6 y 2x13 y6 = x2m2xy6 yn1mn xm3n22 m ymn对比左右两边相同项的系数可得3n2mmn613 ，解得n3原式 = x3 y2 x2 y3例 17、（ 1）当 m 为何值时，多项式x 2y2mx5 y6 能分解因式，并分解此多项式；（ 2）假如 x 3ax 2bx8 有两个因式为x1和 x2 ， 求 ab 的值；（ 1 ） 分 析 ： 前 两 项 可 以 分 解 为 xy xy ， 故 此 多 项 式 分 解 的 形 式 必 为xya xyb解：设 x22就 x2ymx2ymx5 y6 = x25 y6 = xya x2yaybb) xba) yab比较对应的系数可得：a bmb a5a，解得：b2a23或b3ab6m1m1当 m1时，原多项式可以分解；当 m1时，原式 = xy2 xy3 ；当 m1时，原式 = xy2 xy3（2）分析：x3ax 2bx8 是一个三次式，所以它应当分成三个一次式相