随机过程与排队论PPT课件

1、2021-11-20391上一讲内容回顾随机变量及其分布程 随机变量、分布函数 离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度常见的随机变量及其分布n维随机变量随机变量函数的分布第1页/共39页2021-11-20392本讲主要内容随机变量的数字特征数学期望方差k阶矩协方差条件数学期望随机变量的特征函数第2页/共39页2021-11-203931.3 随机变量的数字特征一、数学期望若离散型若离散型R.V.X的分布律为的分布律为pkPX=Xk，k=1,2,，当，当时，时，称称 k1kkpx 1kkkpx)X(E为为R.V.X的的数学期望数学期望(均值均值)若连续型若连续型R.V.X的概率密

2、度函数为的概率密度函数为f(x),x (-,+)，当，当时，时，称称 dx)x( fxdx)x(xf)X(E为为R.V.X的的数学期望数学期望(均值均值)第3页/共39页2021-11-20394定理设Yg(X)，g(x)是连续函数1) 若若X是离散型是离散型R.V.，分布律为，分布律为pkPX=Xk，k=1,2,，当，当 时，则有时，则有 k1kkp)x(g 1kkkp)x(g)X(gE)Y(E2) 若若X是连续型是连续型R.V.，概率密度函数为，概率密度函数为f(x)，x (-,+)，当，当 时，则有时，则有 dx)x( f )x(g dx)x( f )x(g)X(gE)Y(E第4页/共3

3、9页2021-11-20395定理设Zg(X,Y)，g(x,y)是连续函数1)当当(X,Y)是离散型是离散型R.V.,联合分布律为联合分布律为pij=PX=Xi,Y=Yj，i,j=1,2,，若，若 则有则有 1iij1jjip)y,x(g 1i1jijjip)y,x(g)Y,X(gE)Z(E2)若若(X,Y)是连续型是连续型R.V.，概率密度函数为，概率密度函数为f(x,y)，x （-,+)，当，当 时，则有时，则有 dxdy)y, x( f )y, x(gdydx)y, x( f )y, x(g)Y,X(gE)Z(E 第5页/共39页2021-11-20396二、方差设X是随机变量，若EX-

4、E(X)2存在，称D(X)EX-E(X)2为R.V.X的方差(或记为Var(X)，称为R.V.X的均方差或标准差。)X(DX 事实上有：事实上有：D(X)EX-E(X)2E(X22XE(X) E2(X)E(X2)-E2(X)第6页/共39页2021-11-20397常见随机变量的数学期望和方差 分布：E(X)p，D(X)pq； 二项分布XB(n,p)：E(X)np，D(X)npq； 泊松分布X()：E(X)D(X)； 均匀分布XU(a,b)：E(X)(a+b)/2，D(X)(b-a)2/12； (负)指数分布：E(X)1/，D(X)1/2； 正态分布XN(,2)：E(X)，D(X)2； -分布

5、X(,)：E(X)/，D(X)/2； 2-分布X2(n)：E(X)n，D(X)2n； 爱尔朗分布XEk：E(X)k/，D(X)k/2。 第7页/共39页2021-11-20398例 泊松分布X()： 011kkkkkkk!kee!kkpx)X(E21212221 kkkk)!k(kee!kk)x(E)x(E)X(D200201 )!k!kk(e!k)k(ekkkkkk 2)ee(e泰勒展开式：泰勒展开式：100kk)k()xx(!k)x(f)x( f第8页/共39页2021-11-20399例2.(负)指数分布：E(X)1/，D(X)1/2；00 xxxdedxexdx)x(xf)X(E 10

6、0 xde|xexx020222xxdexdxexdx)x( fx)X(E 200222 xdxe|exxx22222112 )X(E)X(E)X(D第9页/共39页2021-11-203910三、k阶矩设R.V.X有E(|X|k)+，E|X-E(X)|k+，则称kE(Xk)为X的k阶原点矩；称kE(|X|k)为X的k阶绝对矩；称kEX-E(X)k为X的k阶中心矩；称kE|X-E(X)|k为X的k阶绝对中心矩。第10页/共39页2021-11-203911四、协方差若EX-E(X)Y-E(Y)，称cov(X,Y)EX-E(X)Y-E(Y)E(XY)-E(X)E(Y)为随机变量X和Y的协方差，称

7、)Y(D)X(D)Y,Xcov(XY 为随机变量为随机变量X和和Y的的相关系数相关系数，称，称 XY0为随机变量为随机变量X和和Y不相关不相关。第11页/共39页2021-11-203912协方差矩阵设n维R.V.(X1,X2,Xn)，若cijcov(Xi,Xj)EXi-E(Xi)Xj-E(Xj)i,j1,2,n存在，则称为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵。 nn2n1nn22221n11211nnijccccccccc)c (C第12页/共39页2021-11-203913协方差矩阵协方差矩阵中元素满足：1) ciiD(Xi)，i=1,2,n；2) cij

8、cji，i,j=1,2,n。故协方差矩阵是对称矩阵。故协方差矩阵是对称矩阵。 )Y(D)Y,Xcov()Y,Xcov()X(DC特别地，二维随机变量特别地，二维随机变量(X,Y)的的协方差矩阵协方差矩阵为：为：第13页/共39页2021-11-203914五、随机变量数字特征的性质 E(aX+b)aE(X)+b，D(aX+b)a2D(X)，a,b为任意常数； n1in1jjijin1kkkn1kkkn1kkk)X,Xcov(aa)Xa(D)X(Ea)Xa(E2.对任意常数对任意常数ak，k=1,2,n，有，有3.| XY|14.许瓦兹不等式成立：许瓦兹不等式成立：)Y(E)X(E)XY(E22

9、 5.协方差的性质：协方差的性质：(1)cov(X,Y)cov(Y,X)(2)cov(X1+X2,Y)cov(X1,Y)+cov(X2,Y)(3)cov(aX+bY,cX+dY)=acD(X)+bdD(Y)+(ad+bc)cov(X,Y)第14页/共39页2021-11-203915随机变量数字特征的性质6.方差的计算公式D(X)E(X2)-E2(X) 0特别地，当D(X)0的充分必要条件是PX=E(X)1。7.Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)特别地，特别地， Cov(X,X)D(X)第15页/共39页2021-11-203916例设二维R.V.(X,Y)的联合概率密度为 其它。其它

10、。, 0, xy0 , 1x0, 2)y, x( f求：求：(1).cov(X,Y)， XY和和C；(2).讨论讨论X与与Y的独的独立性。立性。解解：(1).xX02x,0 x1,f (x)f(x,y)dy2dy0, 其其它它。1Yy2(1y),0y1,f (y)f(x,y)dx2dx0, 其其它它。011yx0 x1, 0yx 0y1, yx1 011xy第16页/共39页2021-11-203917例（续）32xdx2xdx)x(xf)X(E10X 21xdx2xdx)x(fx)X(E102X22 181)32(21)X(E)X(E)X(D222 31dy)y1(2ydy)y(yf)Y(E

11、10Y 61dy)y1(2xdx)y(fy)Y(E102Y22 181)31(61)Y(E)Y(E)Y(D222 第17页/共39页2021-11-203918例（续）41ydy2xdxdxdy)y, x(xyf)XY(Ex010 361)Y(E)X(E)XY(E)Y,Xcov( 21)Y(D)X(D)Y,Xcov(XY 181361361181)Y(D)Y,Xcov()Y,Xcov()X(DC由于f(x,y) fX(x)fY(y)，故X与Y不独立。第18页/共39页2021-11-2039191.4 条件数学期望设(X,Y)为离散型二维随机变量，其联合分布律为pij，i,j=1,2,，若则称

12、则称， 1ji | jj1ij | iip|y|p|x| 1ij | iijpx)yY|X(E为为已知已知Y=yj的条件下，的条件下，R.V.X的的条件数学期望条件数学期望，称，称 1ji | jjipy)xX|Y(E为为已知已知X=xi的条件下，的条件下，R.V.Y的的条件数学期望条件数学期望。第19页/共39页2021-11-203920条件数学期望设(X,Y)为连续型二维随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，若则称则称， dy)x|y(f |y|dx)y|x(f |x|X|YY|X为为已知已知Y=y的条件下，的条件下，R.V.X的的条件数学期望条件数学期望，称，称为为已知已知X=x的条

13、件下，的条件下，R.V.Y的的条件数学期望条件数学期望。dx)y|x(xf)yY|X(EY|X dy)x|y(yf)xX|Y(EX|Y 第20页/共39页2021-11-203921定理设g(x)为连续函数，(1)若则则， dx)y|x(f | )x(g|Y|X;dx)y|x(f )x(g)yY| )X(g(EY|X 。dy)x|y(f )y(g)xX| )Y(g(EX|Y ， dy)x|y(f | )y(g|X|Y(2)若若则则第21页/共39页2021-11-203922条件方差称D(X|Y=y)EX-E(X|Y=y)2为Y=y条件下，随机变量X的条件方差。第22页/共39页2021-11

14、-203923条件数学期望的性质 E(C|Y)C，C为常数； E(aX+bY|Z)aE(X|Z)+bE(Y|Z)，a,b为常数； 如果X与Y独立，则E(X|Y)E(X)； E(X)EE(X|Y)； Eg(X)EEg(X)|Y； Eg(X)h(Y)|Xg(X)Eh(Y)|X；Eg(X)h(Y)|Yh(Y)Eg(X)|Y； Eg(X,Y)EEg(X,Y)|Y； EX-E(X|Y)2EX-E(Y)2。 设设X,Y,Z为随机变量，为随机变量，g(.)和和h(.)为连续函数，为连续函数，下列期望和条件期望均存在，则下列期望和条件期望均存在，则全期望公式全期望公式第23页/共39页2021-11-2039

15、24例设在某一天内进入某商店的顾客数是数学期望为100的随机变量。又设这些顾客所花的钱为数学期望是50元的相互独立的随机变量。再设一个顾客花钱数和进入商店的总人数相互独立。试问在给定一天内，顾客在该店所花的钱的期望值是多少？ N1iiXY解解：设：设N表示进入某商店的顾客人数，表示进入某商店的顾客人数，Xi表示第表示第i个顾客所花的钱数，则个顾客所花的钱数，则N个顾客所花钱的总数为个顾客所花钱的总数为，现在要求，现在要求EY。第24页/共39页2021-11-203925例(续)由全期望公式：E(Y)EE(Y|N)而)XE(n)XE(n)N|XE(n)N|E(Yn1iin1ii 因为因为Xi与

16、与N相互独立，且相互独立，且E(Xi) E(X)，从而，从而E(Y|N)NE(X)E(Y)E(NE(X)E(N)E(X)由假设，由假设，E(N)100，E(X)50，故，故E(Y)5000。由此得，顾客们花费在该商店的钱的数学期望值由此得，顾客们花费在该商店的钱的数学期望值为为5000元。元。第25页/共39页2021-11-2039261.4 特征函数随机变量X的特征函数定义为X(u)=E(eiuX)，i1当当R.V.X为离散型随机变量时，为离散型随机变量时， 1kkiuXXpe)u(k当当R.V.X为连续型随机变量时，为连续型随机变量时， dx)x(fe)u(XiuxX第26页/共39页2

17、021-11-203927例1 二项分布 XB(n,p)特征函数：n, 2 , 1 , 0kqpCkXPpknkknk 0kkiukXpe(u) n0kknkiuknq)pe(C n0kknkkniukqpCeniu)peq( 第27页/共39页2021-11-203928例2 泊松分布 X ( )特征函数：, 2 , 1 , 0k, 0e!kkXPpkk 0kkiukXpe(u) 0kkiu!k)e(e 0kkiukek!eiueee )1e(iue 第28页/共39页2021-11-203929例3 (负)指数分布特征函数： dx)x( fe(u)iuxX00 x, 00 xe)x( fx

18、 ， 0 xiuxdxee 0 x)iu(dxe0,iu 第29页/共39页2021-11-203930例4 k阶爱尔朗分布 XEk 特征函数： dx)x( fe(u)iuxX 0 x, 00 xe)!1k()x()x( fx1k， 0 x1kiuxdxe)!1k()x(e 0 x)iu(1kkdxex)!1k()k()!1k()iu(kk k)iu( 第30页/共39页2021-11-203931特征函数的性质 X(0)1； X(u)X(0)； X(u)X(-u)；。0zz )uu(n1jn1kkjkjX 7.如果如果R.V.X的的k阶原点矩存在，则阶原点矩存在，则X的特征函数的特征函数 X

19、(u)有有n阶导数，且阶导数，且E(Xk)(-i)k X(k)(0)4.设设YaX+b，则，则 Y(u)eiub X(au)；5. X(u)在在(- ,+ )上一致连续；上一致连续；6. X(u)是非负定函数，即对任意的是非负定函数，即对任意的ui,zi，i=1,2,n，有，有第31页/共39页2021-11-203932特征函数的性质8. (逆转公式或反演公式)设随机变量X的分布函数为F(x)，x1,x2是F(x)任意连续点，有 TTXiuxiuxT12du)u(iuee21lim)x(F)x(F219. (唯一性定理唯一性定理)随机变量随机变量X的分布函数的分布函数F(x)与特征与特征函数函数 X(u)是一一对应且相互唯一确定的。其是一一对应且相互唯一确定的。其相互关系如下：相互关系如下： du)u(e21)u(fdx)x(fe)u(XiuxXXiuxX第32页/共39页2021-11-203933二维随机变量的特征函数二维随机变量(X,Y)的特征函数定义为(u,v)=Eei(uX+vY)。当当R.V.(X,Y)为离散型随机变量时，为离散型随机变量时， 1j1kjk)vy