八年级第二章因式分解因式分解的方法

1、学习必备欢迎下载因式分解的方法介绍一、教学目标1、学问目标把握因式分解的一些技巧,并会运用解决实际相关问题.2、才能目标培育同学观看 ,比较,类推的才能 .3、情感目标激发同学探究数学的动力,提高同学学习数学方法技巧的爱好.二、教学重点难点因式分解的技巧及其应用三、教学方法老师引导同学为主四、教学过程引入: 我们知道因式分解的常见方法有：提取公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法； 对以上四种方法通过提问同学来回忆旧知除了这四种常见的方法外， 在数学竞赛中仍要用到下面的一些方法，现例析如下：一.推广了的十字相乘法依据十字相乘法的形式，将其对系数的要求推广到含有字母的式子，可将较为复杂的多

2、项式分解因式；例分解因式： x2xy6 y2x13 y6 期望杯赛题 解:原式 =x 2+xy-6y2+x+13y-6提示同学为什么要这样合并= x+3yx-2y+x+13y-6=x+3y-2x-2y+3关键在于 x2+xy-6y 2可以分解 教学过程留意分析: x+3y-2x-2y33x+3y-2x-2y =x+13y22练习题 ：分解因式：4x-4x-y+4y=302 年重庆赛题 学习必备欢迎下载二.延拓了的公式法在平方差公式、立方和与立方差公式的基础上，推导出了公式：教学过程 :给出平方差公式 , 立方和与立方差公式,并作肯定形式上的分析:x2y2 xy xyx3y3xy x2xyy2

3、xnynxy nx1xn2yn3x2 ynx2yn1yxnynxy xn1xn2ynx32yxn 2yn1y例已知乘法公式：a5 +b 5 =a+ba 4 -a3b+a 2b2 -ab3 +b 4 a5 -b5 =a-ba4 +a3b+a2b2 +ab3+b4 利用或者不用上述公式分解因式：x 8 +x 6 +x 4 +x 2 +1祖冲之杯赛题 分析:题目对比a5 -b5 =a-ba4 +a3b+a2b2 +ab3 +b4 ,发觉跟432234a +a b+a b +ab +b 的类似找出规律.解:x10 -1=x 2 5 -1=x2 -1x 8 +x 6 +x 4 +x 2 +1x10 -1

4、x5 -1x 5 +1x8 +x 6 +x 4 +x 2 +1=x 2-1x-1x+1 x - 1 4 x3+ x 2 + x+ x + 1 4x +31 2 x- x+ x=x - 1x + 1= x4+ 3x+2x+ x + 14 3x- 2x+ x- x + 1 练习题 ：分解因式：1+x2 +x 3 +x 15学习必备欢迎下载三.拓展了的分组分解法 拆项（分组）法把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解的一种方法；例分解因式：解:x 4 -7x 2 +1祖冲之杯赛题 原式 =x 4 +2x 2 +1-9x 2即把-7x 2拆成-9x 2 +2x 2 =x=x2 +1 2 -

5、3x2 +1+3xx22 +1-3x 添项（分组）法在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解的一种方法；例分解因式：3x 6 -x12 -1解:原式= x6+ 26 x1-2x- 1= x6 -x 1 -22x+61=x3 2-x-612=x3 -x 6+1x+3 x-16 练习 ：x4 +2x 3 +3x 2 +2x+102 年河南赛题 x3 -9x+8祖冲之杯赛题 四.换元法换元法是一种重要的数学方法，在分解因式时， 通过将原式的代数式用字母代替后，达到简化原式结构的目的例 1分解因式：x+1x+2x+3x+6+x2天津赛题 解:原式 =x+1x+6x+2x+3+x2=x 2

6、 +7x+6x 2 +5x+6+x2令 m = x2+ 6学习必备欢迎下载原式 =m+7xm+5x+x2=m 2 +12xm+36x2=m+6x 2=x 2 +6+6x 2= x 2 +6x+6 2例2分解因式：xyxy+1+xy+3-2x+y+1 -x+y-1 2 （天津赛题）2解: 设x+y=a,xy=b,原式 =b2 +2b+1-a2=b+1+ab+1-a=xy+1+x+yxy+1-x-y=x+1y+1x-1y-1练习 ：分解因式 x+1x+2x+3x+4-24 x+y-2xyx+y-2+xy-1期望杯赛题 五主元法：主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数；重新

7、按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从而简化问题例分解因式：2x3 -x 2z-4x2y+2xyz+2xy2 -y 2z（天津赛题）解:原式=2x-zy 2 +2xz-4x2y+2x-3xz2=2x-zy 2 +2xz-2xy+x 2 2x-z=2x-zx-y 2练习：x 4 -2x 4y+x4 y 2 -2x 2 +y 2 -2x 2 y 2 +2y+1学习必备欢迎下载六构造法构造法是数学解题中的一种重要方法，在中考与竞赛中常常用到；在分解因式时，通过适当的构造，可简化分解的难度；例分解因式：x 2 +2xy-8y 2 +2x+14y-3解:原式=x 2 +2y+1x-8y2 +14y-

8、3令原式=0,x 1 +x 2 =-2y+1 其中 x1 ,x 2分别为关于x 的方程两根 2设 x1 =-y+1+k,x2 =-y+1-k 构造对偶式 又 x1x2 =y+1-k2 =-8y2 +14y-312k2 =3y-22 ,得x=2y-3,x=-4y+1原式=x-2y+3x+4y-1练习 ： 分解因式：x 2 +5xy+x+3y+6y 2河南赛题 七待定系数法待定系数法是数学常用方法，用途非常广泛；在因式分解中，就是第一设出几个含有待定系数的因式，然后依据多项式恒等和方程（组）来确定待定系数，从而分解因式；例分解因式：x 3 +y 3 +z3 -3xyz解：由于原式为轮换对称式，其分

9、解后的因式也必定是轮换对称式；当x=-y+z 时，原 式 =0 ； 所 以 原 式 含 有 （ x+y+z ） 的 因 式 ； 余 下 的 必 为2次 对 称 式 ， 设 成mx+y+z+nxy+zy+zx222x 3 +y 3 +z3 -3xyz=x+y+zmx2 +y 2 +z2 +nxy+yz+zx比较三次项系数得m=1又 当 x=1,y=0,z=1 时得： 2=2（ 2+n ） n=-1原式 =x+y+zx2 +y 2 +z2 -xy-yz-zx32练习 ：如x +ax+bx+8 有两个因式x+1 和 x+2,求（ a+b）的值，（武汉赛题）学习必备欢迎下载八配方法配方法是把一个式子的

10、一部安排成完全平方式或几个完全平方式的和（差）的形式，在此基础上分解因式；例分解因式：x 4 +x 2 +2ax+1-a 2 （哈尔滨赛题）解:原式 =x 4 +2x 2+1-x+2 2ax-a2=x 2 +1 2-x-a2=x 2 +1+x-ax 2 +1-x+a练习 ： （ 1+y 2 -2x 2 1+y 2 +x 4 1-y 2扬州赛题 九整体法整体法就是把字母的某种组合看成一个整体，作为一个字母来对待，从而便于因式分解的一种方法；例分解因式：x 4 -4x 2 +1x4 +3x 2 +1+10x 4 五羊杯赛题 分析：由于两个括号内都有x 4 +1 ,我们把x 4 +1 看作一个整体，当作是一个字母来分解因式；解:原式= 4x+ 1 2- 4 x4 x+21 + 3 4x + 1 0 x= x4= x4+ 12 + 12 2- x2- x2 x+ 1 4- 1 2 x4 x+ 1 4 - 2 x4 + 1 0 x= x4+ 1 - 22 x4 x+21 + x= x2- 12 4 x2+ x+ 1 = x + 21 x2 - 1 2 x+ x2 + 1 x- x + 1 学习必备欢迎下载十综合方法我们在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能完成一个因式分解的问题；对上述方法要敏捷的运用；例分解因式：x-2 3 -y-2 3 -x-y 3五羊