22基于“产婆术”的数学错解分析策略

1、基于“产婆术”的数学错解分析策略86【内容摘要】基于“产婆术”思维，在初屮数学错解分析时教师不肯接给出事先预设好的正确答案, 而是通过创设情境、设置陷阱等方法诱导学牛出错或出示学牛的错解原型，引发学牛思考, 引起争辩，通过教师暗示性的补充问题，启发学生的积极思维活动，促使学生发现错误、寻 找错因、纠正错课、整理错谋，深入理解、迁移掌握的知识，自觉地获得新知识。从而提升 学生分析问题、解决问题的能力，进而深度内化为情感、态度与价值观。【关键词】 产婆术错解分析策略“产婆术”渊源于古希腊著名的哲人、思想家苏格拉底。苏格拉底在教学中并不直接向学 生传授各种具体知识，而是凭借正确的提问，刺激对方思考，

2、回答错了，也不直接指出错在 什么地方和为什么错了，而只是提出暗示性的补充问题，使对方不得不承认答案的荒谬，最 后得出正确的答案。这种方法就像接生婆帮助孕妇以其i'i力分娩婴儿那样，使学生靠门身的 力量去孕育真理，出产真理，这是一种心智上作出援助的教育技术，我们把它称z为“产婆 术”。笔者认为，山于初中学生认知水平还不够成熟，分析问题带有片而性，对问题的理解常 留于表面，在数学解题时出错在所难免。错误展现了学生的思维历程，折射出学生学习数学 的难点和疑点，错解既源于学牛就应从学生的实际出发，比学生自己來反思错误、纠正错 误，使他们经历实践、获得体验，产生思维的碰撞，激起思维的火花，教师通

3、过刺激、暗示、 引导等方法，促使学牛感悟道理、领悟方法，发展思维。在实践屮这种错解分析的策略是行 之有效的。在实施过程屮可把握以下几个方面：一、设计情境、引发思考、加深对知识本质的理解对待学生的错解，很多老师常会肓接地分析题目，给出正确的答案，这种形式与例题 的讲解没什么两样，有些题即使老师一讲再讲，学生还是屡屡犯错，究其原因是学生没有真 正理解。如果教师能从学生的实际出发，设置一些学生容易犯错并有一定思维价值的问题情 境，或有意地展示学牛的错解原型，引导学生进行错题分析，必能激发学纶的学习欲望，使 他们在发现错误的同时，带着如何解决此类问题的强烈愿望去迁延知识、分析思考，加深对 知识本质的理

4、解，这样学生学习的知识就会更加牢固,避免错谋的重复出现。【案例】在学习一元二次方程的解法时，笔者提出这样一个问题：一个数的平方等于这 个数的两倍，这个数是几？很快冇学生回答：这个数是2。笔者先不予以评价，问：你是怎 么求的？生1答：设这个数为x,由题意得x2=2x等式两边同时除以x得x=20笔者没有表 态，看其他学生的反应，试图让学生自己从错误中走出来。不一会儿另一学生站起來说：这 个数还可以是零。笔者再次问：0也是此方程的解，你如何验证。生2答：只需将x二0代入 原方程，等式两边都等于0,等式仍成立，所以x二0也是方程的解。其他的学生都认同答案 是x=2或0,这显然生1的解矛盾，冲突激起了学

5、生强烈的学习兴趣，学生很自觉地去寻 找出错的原因。课堂一下活跃了起来，学生们纷纷讨论开了。适时笔者引导学生一起冋顾了 等式性质2,不久，就有学牛站起來说：等式两边不能同时除以x,只有当xho时，才可以 使用。最后笔者引导学生分析：因为x=0恰好是此方程的一个根，两边同时除以x就出现了 失根的情况。正确的解答应是x2-2x=0, x (x-2) =0, x.=0, x2二2 。之后,笔者又提出另一 错解：如2x=3x两边同时除以x,就会出现2二3这种结果，显然是错误的。正确的解法应该 是2x-3x=0, x=0,这一设计有效地巩固了知识，排除了学生屮的疑虑。这种错解分析的方法把主动权交给了学生，

6、通过老师的精心设计，制造冲突，引发学生 思考，唤起学生解决问题的欲望，激发学生的探究兴趣，有效地巩固了等式性质2的应用。【案例】在学生学习了分式方程的解法后，出示下面这道题，请找一找错在哪里，并分 析错误的原因。化简：_1_ 2-xx - 1 x2 -1=2 (x+1) -2-x二2x+2-2 - x二 x 不一会儿就有学生提出第一步出现了错谋，错将解方程搬到化简屮去了，这不是等式不能利 用等式性质2去分母，正确的解法应先进行通分后，进行分式的加减运算。22-xx-12兀+ 22 x异_1x22x4-22 + x3兀在学了分式方程的解法后，让学生做分式的加减，往往有很多学生会出现这类错谋，以

7、纠错的方式呈现这个错误，让学生自己寻找出错的原因，培养了学生的问题意识，冇效地促 进了知识间的融会贯通，加深了对知识本质的理解。二、巧设陷阱、捕捉时机、培养质疑能力错误中往往孕育着比正确更丰富的发现少创造。所以教师可以在学生易错的环节中设置 陷阱，诱使学生走进陷阱，乂引导学牛从陷阱中一步一步地走出来，制造思维冲突，引出正 确的结论。【案例】在学生学习了勾股定理后，设计这样一-道题：已知三角形的两边长为3, 4, 求第三边的长为多少？问题一给出，很多学生都冋答是5.笔者先不作冋答，试图讣学生补 充，不一会儿又有一学生站起來说：应分类讨论，当第三边是斜边，长为5；若是直角边， 4是斜边，第三边长是

8、j7,所以答案是5或话音刚落，另一学生争辩说：如果此三 介形不是直角三角形呢？此时笔者顺势请同学们再仔细地审题，问：题中冇直角三介形的条 件吗？学生回答：没有。教师再启发：对于一般三角形，第三边需满足什么条件呢？学生陷 入了沉思儿分种后，一学生回答：因为三角形的三边应满足两边之和大于笫三边，两边 z差小于第三边，所以第三边长应大于1且小于7。这样的回答得到了其他学生的肯定，有些 学生在窃窃私语:是啊，我怎么没想到呢?此时，教师乂引导学牛总结直角三角形只是一般三角 形的特殊情况。由于受己有数学知识的局限，对新问题的本质属性缺乏正确的认识而产生的错误，教 师可引导学生先细心观察题目的特征，然后打开

9、思维，将所学的知识和方法融会贯通，跳出 思维定势，得出正解。在学习过程中，由于不同的学生有着不同的知识背景，不同的情感体 验，不同的表达方式和参差不齐的思维水平，这样的分析方法，使不同层次的学生都经历思维 体验，通过争辩、沉思，一步一步地对错解进行完善，直至得出正确的结论。真是“山穷水复 疑无路，柳暗花明又一村j试想如果教师置学生错解思路的闪光点于不顾，急于亮出教师 预先设计好的思路而另起炉灶，那么不仅错过了培养学生思维能力的机会，而且容易挫伤学 生的自尊心、自信心。这样的教学，不仅使学牛対知识的理解更加深刻，学牛在犯错、改错 的探讨过程小完善口己的思路，培养了学生的质疑能力，对数学思想方法的

10、学握也更加灵活。三、错因归类、提炼方法、提升能力学生在数学学习的过程中，常常会出现概念理解不透彻、运算求解能力薄弱、解题过程 不完整或忘记检验等问题，教师与学生都应善于搜集与整理来白课堂练习、课后作业、各类 测试屮的错题，教师可以将学生的错解作业直接呈现给学生，组织学生进行错题分析，回顾 解题的思路，寻找错课的源头，对同类错课进行合理的归类，用表格或提示语等形式概括总 结出一般方法和规律，提升解题的能力，防止再次犯错。概念类比，在反思中加深理解数学概念是数学学科的梢髓、灵魂，是学生进行计算、解题、证明的依据，也是培养 学生思维能力的良好素材。对此类错题的分析，可通过类比教学，精确挖掘概念的内涵

11、与外 延、抓住其本质，用强化训练的形式巩固知识，避免学生再次犯错。【案例】在学习一元二次方程后，出示这样一道來自学生作业中的错题，己知:关于x 的一元二次方程(a+l)x2+x+a2=0的其屮i个根为t,求a的值.错解:把x=t代入原方程得a+l-l+a2=o,即a+a2=0/.a=0或t错解过程出示后，一学生站起来说:a=-1应舍去，因为是一元二次方程a+lho。笔者引导学 主得出：如果a=-1,原方程就化简为x+1=0是一元一次方程。笔者接着问：一元二次方程 的一般形式是什么？学生答:ax2+bx+c=0(a0)。其中有很多学生把(ao)这个条件漏掉了， 笔者接着问：如果a=0此方程是关于

12、x的一-元一次方程吗?有学生答:需满足bho的条件。之 后师生一起归纳了一元一次方程ax+b二0qh0), 元二次方程ax'+bx+c二o(aho)的一般形式, 强调了 aho这个条件的重要性，于是笔者就在此题的卜.方用醒目的红字打出注意点.此外像同底数幕乘法如a2 吐f与幕的乘方()3=a6 ,完全平方公式(x-1) 2=x2-2x+1 表示(x-1) (x-1)与应用平方差公式因式分解x2-l= (x+1) (x-1)的对比教学，一次函数 ky=kx+b (kho)、反比例函数 y二一或 y=kx_1 (kho)与二次函数 y=axz+bx+c (aho)中 kho、xa#0的条件

13、以及x的指数等概念都可采用类比的方法进行教学。(二)算法与算理分析、突出注意点初中数学学习中的有理数、实数的运算，整式与分式的运算;解一元一次方程，一元二次 方程，分式方程、不等式(组)等内容，运算不正确的原因常常是不明算理.对此类错题的分析， 教师可引导学生建立算法与算理之间的对应关系，可借助表格等形式概插总结出出错的原 因，突出注意点，加深印象防止再次犯错.l-3r【案例】解不等式l 丁i错解：两边同吋乘以2得：2x-l-3x>l-x<l+l-x<2x<-2(3)教师引导学生进行错因分析:出错步骤算法依据正确解答注意点不等式性质22x- (l-3x) >2防止

14、漏乘，尤其整数(式)项注意添括号去括号法则2xt+3x>2括号前是“-”号，注意变号不等式性质15x>2+l移项时，不等号方向不变不等式性质23 x>-5不等式两边乘或除以同一个正 数，不等号方向不变;而两边乘 或除以同一个负数，不等号需改 变方向系数化为1,分子分母不要颠倒(三)漏解探因，渗透数学思想许多学生在解题时往往只满足一个答案，导致解题的不完整，引导学生探究分析出现漏 解情况的原凶，积累经验，强化数学分类的严密性，促使学生思维水平的提高。【案例】在九年级相似三角形的复习课上笔者出示了这样一道错解题：在aabc中，ab=8cm, bc=16cm,点p从点ba开始沿ab

15、边向b点以2cm/秒的速度移动，点q从点b开始沿bc向点c以4cm/秒的速度移动，如果p、q分别从.-a、b同时出发，经几秒钟abpq与abac相似？错解：设经x秒abpq与abac相似.(0<x<4) acvzb 是公共角，zibpqs/bac bp 二 bq .2x = 4x o笔者先引导学主分析了题口屮p、撫运笏/向，不丄会岛有学牛找出了第一个错课 是竺=12l，应改为_ 2x 仝，得出x=2秒。师生归纳总结了在解决此类问题时要注8 16 8 16意运动方向的不一致后，教师板帖注意点。紧接着笔者乂引导学生分析bpq与abac相似的 含义？ 一学生回答：tzb是公共角，abpq

16、与abac相似应分两种情况即zbpqzlbac或n bpqs/bca。解题的大致思路明确后，笔者又暗示学生将此题解答完整，还冇一种情况就是 当nbpqsjbca时，8-2x二竺 得x二o.8秒，此题的答案应有两个：2秒或0.8秒。最16 8后师生归纳分类思想再次板书。通过错题分析的形式既可降低沪牛解决综合题的难度，乂能使学牛深刻地休会到分类思 想在解题时的应用.灵活运用各种数学思想方法比如函数思想、方程思想、分类讨论思想、 数形结介思想、转化化归思想、运动变化思想等是提高解题能力的根本所在。(四)反思出错过程，培养思维的严谨性引导学生养成纠错质疑的习惯，加强思维严谨性训练，对思维过程进行分析和

17、检杳，培养学生运用数学方法解决问题的能力。a【案例】在等腰三角形的复习课上，笔者岀示了一道错解题, 让学牛來纠错。已知等腰三角形的底边长15cm, 腰上的 中线把其周长分成两部分的差为8cm,则腰长为多少？错解：如图设腰长为x,由题意得1 113x+-x- (15+-x)二8 或一x+15-x二82 222解得x=23或7,答：腰长为23或7。师牛一起归纳了此题应用了方程思想、分类思想后，很多学牛认为此题解答完整，没有 错谋。此时笔者启发：构成三角形三边的条件是什么？有些学生已意识到错谋所在，其屮有 学生站起來说：应将7舍去，因为三边长为7、7、15不能构成三角形。于是，笔者乂引导学生注意：求

18、三角形边长问题时需注意检验。z后布置练习：等腰三角形的周长为26, 边长为6,求腰长？冇效地巩固了知识。此外，学生证明过程中推理不严密、思维不清晰，审题不仔细等问题都是错解分析的良 好索材。教师应善于将学生的错解当成冇价值的教学资源合理地利用，这将是一笔宝贵的财 富。笔者尝试在试卷讲评后，先要求学生个别订正试卷中的错题，再根据学生不同的错题, 采用一对一的方式，布置针对性的巩固练习，以此来检验学生是否真正掌握，并适时地进行 必要的辅导。这样的形式拉近了师生间的距离，促使学生对试卷屮的每个题，每个知识点都能真正地理解掌握，并能举一反三，触类旁通。笔者深深地休会到川好每一个题比多做一个 题更能促进学生学习效率的提高，并节省了重复做题的时间，真正实现减负。学生在学习中的错误，犹如平静的水面上投入一粒小石了，能激起层浪花。慕于“产婆术”思维，充分利用学生的错误，为学生提供创造的机会，引导学生口己发现错误、分析 错误、改止错误，使他们在思维能力、悄感态度与价值观等多方面得到