D2数学方法在级数求和教学中的运用

1、数学方法在级数求弄口教学 中 的运用无锡市m - m课题组顾曼生（崇安职校214005）无穷级数在数学中是出现得很早的，从十八世纪至今，无穷级数一直被认为是微积分不 可缺少的一部分，它是计算初等超越函数的最有效的工具。随着研究领域的逐渐发展，数学 家们运用无穷级数所収得的成功越來越多。而这些成功，可以毫不夸大地说，儿乎都运用了 数学思想方法，也就是说，级数的成功可以看作是数学思想方法的成功。1因此，在级数 的教学中运用数学方法是显然的事。也只冇运用数学方法进行级数的教学，才可以使学生易 于接受，起到化难为易的效果。%1 遵循“一般化、特殊化”的认识规律从特殊到一般，由一般到特殊是人类认识客观世

2、界的一个普遍规律。在人类探索世界的 奥妙的奋斗屮诞牛和发展起來的任何一门学科都将受到这一规律的制约。数学和数学教学当 然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之屮。为此，苦名数学家、数学教冇家g.波利亚 在数学与猜想小用了一章的篇幅來讨论这个问题，认为一般化、特殊化和类比是获得发 现的伟大源泉。g.波利亚在这一章中也正是举了瑞士数学家l.欧拉在级数方而的例子：求,1111111h1111 4 91625 36 49的和。2教学过程包括教和学两个方而，是教师与学纶共同活动的过程，然而就其本质而言，是 学生在掌握知识的基础上发展能力的过程，发展认知结构的过程，即学生认识客观世界的过 程。由于学牛的认

3、识过程是受到认识的普遍规律制约的，因此在教学中，教师的教不能违背 这一规律来组织教学。在级数求和的教学屮当然也必须遵循这一认识规律。例如，应该在级数求和的教学开始时，先复习公比小于1的无穷等比级数的求和公式： + g + g +g + qh + = q<.i_qco / qn0以便使学生可以从一般到特殊地认识到级数工- 就是公比为兰的无穷等比级数，其和只要 幺1丿500 n直接利用公式就可以得到。而级数工歸的和可以通过适当的变形，化归为无穷等比级数來 n=l 3"求。+ - + -的和,然后再将其特57又如，求级数t+扛+.的利可以安排在无穷级数的逐项可微、逐项可积等性质的复习

4、之后,启发学牛从特殊到一-般地先思考求级数a- 3%1 运用“关系映射反演（rmi）”方法把较困难的问题化归为较简单的问题，这也是一种非常普遍的思想方法，其应用范围远 不限于数学领域。20世纪80年代，人们愈来愈明白：数学可以成为研究关系结构形式的科学。 一-般所谓数学问题无非是指有待确定的、或需要探求的某种未知关系。于是提出了 “关 系映射反演方法”（简称为rhi方法），这儿的“映射”是指实现化难为易的某种对应方法或 变换手段，这儿的“反演”就是把变换后求得的解答再转换成原來问题所耍求的答案。3具 过程可以用框图农示如下：微分（求导）与积分是高等数学的最基木最主要的运算，可用作映射反演方法解

5、决数学 中的许多问题。由于它们互为逆运算，所以在rm1程序中彼此成为逆映射。在级数求和的教 学中，充分运用这一方法是化难为易的关键。00 2,1 + 18例如，求级数工 一的和，先对它逐项求导，就可以映射为等比级数yx2n求和，其 »=0 +1m=0和为一!，再对它逐项求积，反演为原级数的和。1-x2乂如，求级数£況1的和，先对它逐项求积，就可以映射为等比级数$>"求和，其和 n=n=为旦,再对它逐项求导，反演为原级数的和。1 -x0c 7? + 10c而求级数工 一与工n（n + l）*i的和，就必须使用两次rm1方法，即先对它逐项求导 心如+ 1）心（积

6、）两次，映射为等比级数求和后，再逐项求积（导）两次：%1 级数求和的教学过程根据“一般化、特殊化”的认识规律与“关系映射反演方法”，对级数求和的教学过程作了如下安排（二课时）：1.复习五个函数：esinx,cosxjn（l + x）,（l + a）a的马克劳林展开式，强调丄的展开式 -x即无穷等比级数的求和公式。2讲练下列问题，介绍从一般到特殊的求和法（代公式法）:、2卄17v8 / °hcc -00求数项级数£ z , y-, y幺15丿!幺（2卄叭4丿3.讲练下列问题，介绍和式变换法（凑公式法）:(-1)"的和（注意特殊值应在收敛区间内）。co noo zcc

7、 /_ih+l求帚级数£上，工 _兀“+1的和函数。n=0 n=（）n=4. 复习收敛幕级数的运算性质，强调逐项可导与逐项可积性；简介rmi方法及其框图。5. 讲练卜-列问题，rti浅入深地介绍逐项求导法：g 2/z+l8?+1oo 2n+l求幕级数£ , y-, y-的和函数。（强调求导时首项的确定，反演时如何 ,=o2/7+1心曲+ 1）心0刃确定积分常'数等注意事项）6. 讲练下列问题，由浅入深地介绍逐项求积法：求幕级数+的和函数。（引导学生对逐项求导法与逐项求72=17z=in=0积法进行比较，由学生小结何时用逐项求导法，何时用逐项求积法）7. 讲练下列问题，介绍从特殊到一般的求和法（引入变量法）：利用以上结果，求数项级数工丄 丄 ，工巴竿的和，并设求出1_丄+丄一丄+的和。 幺円+ 113丿紀2-13 5 78. 小结级数求和法为级数求和的数学方法。参考资料1 （美）m.