第十章Stokes公式

1、stokesstokes 公式公式一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式 前面所介绍的前面所介绍的 gauss 公式是公式是 green 公式的推广公式的推广下面我们下面我们 从另一个角度来推广从另一个角度来推广green 公式。公式。 green 公式表达了平面闭区域上的二重积分公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，与其边界曲线上的曲线积分之间的联系， stokesstokes公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线公式则是把曲面上的曲面积分与沿曲面的边界曲线上的曲线积分联系起来上的曲线积分联系起来定理定理 设设 为分段光滑的空间有

2、向闭曲线为分段光滑的空间有向闭曲线, , 是以是以 为边界的分片光滑的有向曲面为边界的分片光滑的有向曲面, , 的正向与的正向与 的侧符合右手规则的侧符合右手规则, , 函数函数),(zyxp, ,),(zyxq, ,),(zyxr在包含曲面在包含曲面 在内的一个空间区域内具在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, , 则有公式则有公式dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdxn 右手法则右手法则 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 证明证明如图如图设设与与平平行行于于z轴轴的的直直线线相相交交不不多多于于一一点点, , 并

3、并取取上上侧侧, ,有有向向曲曲线线 c c 为为的的正正向向边边界界曲曲线线 在在xoy的的投投影影. .且且所所围围区区域域xyd. .xyzo),(:yxfz xyd cn思路思路曲面积分曲面积分1二重积分二重积分2曲线积分曲线积分dsypzpdxdyypdzdxzp)coscos( 代入上式得代入上式得又又,coscos yfdsfzpypdxdyypdzdxzpy cos)( dxdyfzpypdxdyypdzdxzpy)( 即即yfzpypyxfyxpy ),(,),(,dxdyyxfyxpydxdyypdzdxzpxyd 1根椐格林公式根椐格林公式 cddxyxfyxpdxdyy

4、xfyxpyxy),(,),(,dxyxfyxpdxdyypdzdxzpc ),(,即即平面有向曲线平面有向曲线2,),(dxzyxpdxdyypdzdxzp 空间有向曲线空间有向曲线同理可证同理可证,),(dyzyxqdydzzqdxdyxq ,),(dzzyxrdzdxxrdydzyr dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx.故有结论成立故有结论成立.便于记忆形式便于记忆形式 rdzqdypdxrqpzyxdxdydzdxdydz另一种形式另一种形式 rdzqdypdxdsrqpzyx coscoscoscos,cos,cos n其中其中stoke

5、sstokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系. .( (当是当是xoy面的平面闭区域时面的平面闭区域时) )斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形二、简单的应用二、简单的应用例例 1 1 计计算算曲曲线线积积分分ydzxdyzdx , , 其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐标标面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整个个边边界界, ,它它的的正正向向与与这这个个三三角角形形上上侧侧的的法法向向量量之之间间符符合合右右手手规规则则. . 解解0 xyd

6、xyzn111按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydz弦都为正，弦都为正，的法向量的三个方向余的法向量的三个方向余由于由于 再由对称性知：再由对称性知： dxdydzdxdydz xydd3如图如图xydxyo11xyddzyxdyzdx 23 例例2 计算计算 dzyxdyxzdxzy)()()(1,222 bzaxayx为椭圆为椭圆其中其中 从从 x 轴正向看去，椭圆取逆时针方向轴正向看去，椭圆取逆时针方向解一解一用用 stokes stokes 公式公式 rdzqdypdx rqpzyxdxdydzdxdydzxyzo dxdydzdxdydz

7、)11()11()11( dxdydzdxdydz2坐标面垂直坐标面垂直与与 zox 0dzdx面面的的投投影影为为一一椭椭圆圆在在 yoz 1222bzaxayx消去消去 x 得得1)(2222 aybbz yzdabdydzdydz（椭圆面积椭圆面积）222ayxxoy ：面的投影面的投影在在 xydadxdydxdy2（圆面积圆面积） )(2baardzqdypdx解二解二化为参变量的定积分计算化为参变量的定积分计算 tytxsincos令令)cos1()1(tbaxbz 则则 20)sin)(cos1(sintatbtai tbtatatatatbsinsincoscoscos)cos

8、1( )(2baa 解三解三 投影方法投影方法 1:222bzaxayx 将将投影到投影到 xoy 面得投影曲线面得投影曲线222:ayxc （逆时针方向）（逆时针方向）记记 c 所围区域为所围区域为 d rdzqdypdxi cdyxaxbdxaxby)1()1()1()(axbdyx cdyxabbdxbyab)1()1( ddxdyab)1(2green公式公式)(2baa 三、空间曲线积分与路径无关的条件三、空间曲线积分与路径无关的条件 前面我们利用前面我们利用green公式得到了平面曲线积分公式得到了平面曲线积分与路径无关的条件，完全类似地，利用与路径无关的条件，完全类似地，利用st

9、okes stokes 公公式可推得空间曲线积分与路径无关的条件式可推得空间曲线积分与路径无关的条件 空间一维单连域：若空间一维单连域：若 g 内任一闭曲线总可以内任一闭曲线总可以张一张完全属于张一张完全属于 g 的曲面，则称的曲面，则称 g 为空间一维为空间一维单连域，或称单连域，或称 g 为按曲面是单连通区域为按曲面是单连通区域内内恒恒成成立立在在）的的充充要要条条件件是是为为任任一一闭闭曲曲线线的的曲曲线线积积分分内内内内与与路路径径无无关关（或或沿沿在在间间曲曲线线积积分分一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则空空内内具具有有在在是是空空间间一一维维单单连连域域，设设定定理理gzpxryr

10、zqxqypggrdzqdypdxgrqpg ,0, 应用上述定理，并仿照以前的证明方法可得到应用上述定理，并仿照以前的证明方法可得到内内恒恒成成立立在在的的全全微微分分的的充充要要条条件件内内是是某某一一函函数数在在连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数，则则内内具具有有在在是是空空间间一一维维单单连连域域，设设定定理理gzpxryrzqxqypzyxugrdzqdypdxgrqpg ,),(, ),(),(000),(zyxzyxrdzqdypdxzyxu xxyydyzyxqdxzyxpzyxu00),(),(),(000 zzdzzyxr0),(oxyzm0m1m2m四、物理意义四、物理意义

11、-环流量与旋度环流量与旋度1. 1. 环流量的定义环流量的定义: :.),(),(),(),(按所取方向的环流量按所取方向的环流量沿曲线沿曲线称为向量场称为向量场上的曲线积分上的曲线积分中某一封闭的有向曲线中某一封闭的有向曲线则沿场则沿场设向量场设向量场cardzqdypdxsdacakzyxrjzyxqizyxpzyxacc 利用利用stokesstokes公式公式, , 有有sdrqpzyxkjisdac 环流量环流量2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :. )(arotrqpzyxkji为向量场的旋度为向量场的旋度称向量称向量 rqpzyxkjiarot 旋度旋度.)()()(kypxq

12、jxrzpizqyr 斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式dsypxqxrzpzqyrcos)(cos)(cos)( dsrqp)coscoscos( 其中其中,coscoscoskjin 的的单单位位法法向向量量为为kjit coscoscos 的的单单位位切切向向量量为为斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstadsnarot其中其中 cos)(cos)(cos)()(ypxqxrzpzqyrnarotarotn coscoscosrqpnaat dsasdarott环流量环流量stokes公式的物理解释公式的物理解释:向向量量场场a沿沿有有向向闭闭曲曲线线 的的环

13、环流流量量等等于于向向量量场场a的的旋旋度度场场通通过过 所所张张的的曲曲面面的的通通量量. .( ( 的的正正向向与与 的的侧侧符符合合右右手手法法则则) )例例4 设一刚体绕过原点的某个轴设一刚体绕过原点的某个轴转动，其角速度为转动，其角速度为 321, 刚体在每一点的线速度构成一线刚体在每一点的线速度构成一线速场，则向量速场，则向量 zyxomr, 在点在点 m 处的线速度场的旋度处的线速度场的旋度等于角速度的等于角速度的 2 倍倍mv lo解解由力学知道点由力学知道点 的线速度为的线速度为m rv zyxkji321 观察旋度观察旋度vrot .22,2,2321 由此可看出速由此可看

14、出速度场的旋度与度场的旋度与旋转角速度的旋转角速度的关系关系.五、向量微分算子五、向量微分算子kzjyix -hamilton 算子算子graduu graduuu 2)()(kzujyuixukzjyix uzuyuxu 222222-laplace算子算子krjqipa divazryqxpa rotarqpzyxkjia 若若 p，q , r 具有连续的二阶偏导数，具有连续的二阶偏导数， 即得即得0)( rotadiv-即旋度场是无源场即旋度场是无源场0)( gradurot-即梯度场是无旋场即梯度场是无旋场六、小结六、小结斯托克斯公式斯托克斯公式 dsrqpzyxcoscoscos r

15、dzqdypdxrqpzyxdxdydzdxdydz dstadsnarot斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义练练 习习 题题一、一、 计 算计 算 dzyzxzdyydx23, , 其 中其 中 是 圆 周是 圆 周2,222 zzyx若从若从z轴正向看去轴正向看去, ,这圆周是这圆周是逆时针方向逆时针方向 . . 二、二、 计 算计 算 dzxdyzdxy222, , 其 中其 中 是 球 面是 球 面2222azyx 和园柱面和园柱面axyx 22的交线的交线)0,0( za, ,从从x轴正向看去轴正向看去, ,曲线为逆时针方曲线为逆时针方向向 . . 三、三、 求向量场求向量场jyxziyza)cos()sin( 的旋度的旋度 . . 四四、利利用用斯斯托托克克斯斯公公式式把把曲曲面面积积分分 dsnarot化化成成曲曲 线线积积分分, ,并并计计算算积积分分值值, ,其其中中a, , 及及n分分别别如如下下: : kxzjxyiya 2, , 为为上上半半个个球球面面 221yxz 的的上上侧侧, , n