第1节不定积分的概念与性质54404

1、1第五章第五章 不定积分不定积分2例例，xxcos)(sin ，？内在区间23)(),(x第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念如如果果在在某某区区间间i内内)()(xfxf , ,则则称称i内内f(x)为为f (x)的的一一个个原原函函数数. . 定义定义不定积分又称不定积分又称反导数反导数, ,它是求导运算的逆运算它是求导运算的逆运算. . ，233)(xx，233) 1(xx，233)(xcx 本章所讲的内容就是寻求函数的原函数本章所讲的内容就是寻求函数的原函数.3原函数存在性定理：原函数存在性定理：如如 果果 函函 数

2、数)(xf在在 区区 间间 i 内内 连连 续续 ， 简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.问题：问题：(1) 原函数是否存在？原函数是否存在？那那么么在在区区间间 i 内内存存在在可可导导函函数数)(xf， 使使ix ，都都有有)()(xfxf . .(2) 是否唯一？是否唯一？因此一切初等函数在其定义域内都有原函数因此一切初等函数在其定义域内都有原函数 .( (但原函数不一定是初等函数但原函数不一定是初等函数) ) 4是否唯一？是否唯一？)()( )()(xgxfxgxf 0)()( xfxf（1 1）若若)(xf是是)(xf的的一一个个原原函函数数, ,则则对对任任何

3、何常常数数c, , cxf )(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数； （2 2）设设)(xf是是)(xf的的一一个个原原函函数数, ,则则)(xf的的任任一一个个原原函函数数)(xg与与)(xf最最多多相相差差一一个个常常数数, ,即即cxfxg )()(. . 说明：说明：.)()(cxfxg 所以所以5任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数cxfxxf )(d)(被积表达式被积表达式为积分变量为积分变量记为记为.)()d(cxfxxf 定义定义 x6例例1 1 求求.d5xx 解解,)6(56xx .6d 65cxxx 解解例例2 2 求求.d112 xx,11)(arctan

4、2xx .arctand112 cxxx7，若若1 .|lnd cxxx则则说明：说明：,0 xxx1)(ln ,0 x)(1 xx.)ln(d cxxx,1x 例例3 3 求求解解.dxx .1d1cxxx 则则，若若1 )ln( x;lnd1 xxx 8二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义xyo 设设f(x)是是f (x)的一个原函的一个原函数，则方程数，则方程 y= f(x)的图形是的图形是直角坐标系直角坐标系 oxy 中的一条曲中的一条曲线线, ,称为称为f (x)的一条的一条积分曲线积分曲线. 将这条曲线沿将这条曲线沿 y轴向上轴向上或向下移动长度为或向下移动长度为 |c|

5、的距的距离离, ,就可以得到就可以得到 f (x) 的无穷的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f (x)的的积分曲线族积分曲线族，其方程为，其方程为 xxfyd)(cxfy )(或或0 x9它们的特点是：它们的特点是： 在横坐标相同的点在横坐标相同的点 处，各积分曲处，各积分曲线的切线有相同的斜率，都是线的切线有相同的斜率，都是 f (x0) ，即各切线平行即各切线平行. . xyo0 x0 x10 xxxfd2)( ,2cx , 1 c得得.1 2 xy所所求求积积分分曲曲线线为为，代代入入将将2, 1 yx解解1例例4 4 设曲线通过点设曲线通

6、过点(1,2), 且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2ddxxy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.xyo11三、不定积分的基本性质三、不定积分的基本性质性质性质1 1)(d)(ddxfxxfx .d)(d)(dxxfxxf 或或求求不定积分与求导互为逆运算：不定积分与求导互为逆运算： cxfxxf)(d)(.)()(d cxfxf或或性质性质2 2,d)(d)( xxfaxxfa其中其中a为非零常数为非零常数. . 证证d)( xxfad)( xxfa, )(xfa 由由定义可知，定义可知，.d)(d)( xxfaxxfa12 xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(d)(d)( xxgxxf, )()(xgxf 此性质可推广到有限多个函数之和差的情形此性质可推广到有限多个函数之和差的情形.d)(d)( xxgxx