《刚体定轴转动》PPT课件

1、12 4-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动 4-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 4-3力矩的功定轴转动的动能定理力矩的功定轴转动的动能定理 4-4角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律本章教学内容本章教学内容3 一一 了解描写刚体定轴转动的物理量，并掌了解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系握角量与线量的关系. 二二 了解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕了解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理. 三三 了解角动量概念，掌握质点在平面内运了解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题动以及刚体绕定轴转动情况下的角动

2、量守恒问题. 五五 能运用以上规律分析和处理包括质点和能运用以上规律分析和处理包括质点和刚体的简单系统的力学问题刚体的简单系统的力学问题. 四四 了解刚体定轴转动的转动动能概念，能了解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地运用机械能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地运用机械能守恒定律守恒定律.4全章的教学一直以全章的教学一直以类比法类比法进展。进展。由力矩的定义及牛顿第二定律导出刚体绕定轴转动由力矩的定义及牛顿第二定律导出刚体绕定轴转动的转动定律的转动定律,并与牛顿第二定律类比教学。并与牛顿第二定律类比教学。 力矩的功与力的功类比力矩的功与力的功类比;刚体的转动动能与质点

3、的平动动能类比刚体的转动动能与质点的平动动能类比; 刚体的角动量定理及角动量守恒定律与质点刚体的角动量定理及角动量守恒定律与质点(系系)的的角动量定理及角动量守恒定律类比角动量定理及角动量守恒定律类比;刚体绕定轴转动的机械能守恒定律与质点的机械能刚体绕定轴转动的机械能守恒定律与质点的机械能守恒定律类比。守恒定律类比。 51.刚体的运动刚体的运动 在讨论问题时可在讨论问题时可以忽略由于受力而引起以忽略由于受力而引起的外形和体积的改动的的外形和体积的改动的理想模型。理想模型。AA A BB B 一一.刚体定轴转动运动学刚体定轴转动运动学只讨论定轴转动只讨论定轴转动O转轴转轴(定轴转动定轴转动)质心

4、的平动质心的平动+绕质心的转动绕质心的转动 各质元的线量普通各质元的线量普通不同由于半径不同不同由于半径不同但角量角位移、角速但角量角位移、角速度、角加速度都一样。度、角加速度都一样。6 AA2.描画刚体转动的物理量描画刚体转动的物理量对定轴转动的刚体可选取对定轴转动的刚体可选取垂直于转轴的一个平面进垂直于转轴的一个平面进展研讨展研讨.xo Pr 转动平面转动平面点点P(r,)的转动可代表整的转动可代表整个刚体的转动个刚体的转动.描画点描画点P转动的物理量为转动的物理量为:(1). 角坐标角坐标 (t)普通规定逆时针转动普通规定逆时针转动为正为正.定义定义:dtd 单位单位: rad/s逆时针

5、转动时，逆时针转动时， 0顺时针转动时顺时针转动时 ， 0顺时针转动时顺时针转动时 ， 0(2).角速度角速度8加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反 定轴转动时定轴转动时 方方向只需用正负表示向只需用正负表示:3.刚体匀变速转动刚体匀变速转动当当为常量时有为常量时有:20 质点作匀变速质点作匀变速直线运动公式直线运动公式.类似于类似于角速度矢量角速度矢量 刚体定轴转动时刚体定轴转动时,只需只需用正负来表示方向用正负来表示方向.角速度方向规定为沿角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手轴方向，指向用右手螺旋法那么确定。螺旋法那么确定。(3).角加速度角加速度定义定义:单位

6、单位: rads-2dtd90t 20012tt 22002 () 对点对点P有有思索思索 v , r , 都是矢量都是矢量rv r v Pdarrdt ()nar加速转动加速转动方向一致方向一致减速转动减速转动方向相反方向相反 定轴转动时定轴转动时 方方向只需用正负表示向只需用正负表示:3.刚体匀变速转动刚体匀变速转动当当为常量时有为常量时有:20 质点作匀变速质点作匀变速直线运动公式直线运动公式.类似于类似于10v = rtdvdarrdtdt 2 ran 一圆柱形转子可绕垂一圆柱形转子可绕垂直其横截面经过中心的轴直其横截面经过中心的轴转动转动. 开场时它的角速度开场时它的角速度 0=0,

7、经过经过300秒后秒后,角速度角速度 =18000转转/分分.知其角加速知其角加速度度与时间成正比与时间成正比.问在这段问在这段时间内时间内,转子转过多少转转子转过多少转?0t 20012tt 22002 () 对点对点P有有思索思索 v , r , 都是矢量都是矢量rv r v Pdarrdt ()nar11即即:tdtdC d = Cdt ttdtd00C 2C21t 由条件由条件 t=300s 时时1-srad60060218000 753006002222 tCv = rtdvdarrdtdt 2 ran 一圆柱形转子可绕垂一圆柱形转子可绕垂直其横截面经过中心的轴直其横截面经过中心的轴

8、转动转动. 开场时它的角速度开场时它的角速度 0=0,经过经过300秒后秒后,角速度角速度 =18000转转/分分.知其角加速知其角加速度度与时间成正比与时间成正比.问在这段问在这段时间内时间内,转子转过多少转转子转过多少转?12再由再由:dtd dttdtd2150 积分积分 002150tdttd3450t 在在0300s内内,转过的转数转过的转数230045022 N= 3104 转转2150t 即即:tdtdC d = Cdt ttdtd00C 2C21t 由条件由条件 t=300s 时时1-srad60060218000 753006002222 tC13二二 刚体定轴转动动力学刚体

9、定轴转动动力学 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩ZfrPdOzM 转动转动 平面平面 frMz sinfrMz 满足右手法那么满足右手法那么.1 外力在转动平面内外力在转动平面内 ( sin )frf r 只需切向分力才能够只需切向分力才能够改动转动形状。改动转动形状。即：即：再由再由:dtd dttdtd2150 积分积分 002150tdttd3450t 在在0300s内内,转过的转数转过的转数230045022 N= 3104 转转2150t 14 只需在转动平面内的力只需在转动平面内的力 才干产生转动才干产生转动, ,才干改动才干改动 刚体定轴转动的转动形状。刚体定轴转动的转动形状。

10、2外力不在转动平面内外力不在转动平面内3外力产生的合力矩外力产生的合力矩nMMMM 21对定轴转动对定轴转动:nMMMM 21 合力矩是各分力产合力矩是各分力产生的力矩的代数和生的力矩的代数和.(4)一对内力对转轴的力矩一对内力对转轴的力矩二二 刚体定轴转动动力学刚体定轴转动动力学 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩ZfrPdOzM 转动转动 平面平面 frMz sinfrMz 满足右手法那么满足右手法那么.1 外力在转动平面内外力在转动平面内 ( sin )frf r 只需切向分力才能够只需切向分力才能够改动转动形状。改动转动形状。即：即：15由于成对内力大小相等由于成对内力大小相等,方方向

11、相反，那么其力臂必一向相反，那么其力臂必一样样.故力矩大小相等故力矩大小相等. 一对内力对转轴一对内力对转轴的合力矩为零的合力矩为零.故故:整个刚体的合内力矩整个刚体的合内力矩 为零为零. 半径为半径为R,质量为质量为m的均的均匀圆盘在程度桌面上绕中匀圆盘在程度桌面上绕中心轴转动心轴转动,盘与桌面间的摩盘与桌面间的摩擦系数为擦系数为 ,求转动中的摩求转动中的摩擦力矩的大小擦力矩的大小. 只需在转动平面内的力只需在转动平面内的力 才干产生转动才干产生转动, ,才干改动才干改动 刚体定轴转动的转动形状。刚体定轴转动的转动形状。2外力不在转动平面内外力不在转动平面内3外力产生的合力矩外力产生的合力矩

12、nMMMM 21对定轴转动对定轴转动:nMMMM 21 合力矩是各分力产合力矩是各分力产生的力矩的代数和生的力矩的代数和.(4)一对内力对转轴的力矩一对内力对转轴的力矩16h0drrdrRmr22dm=dvrdrhhRm22它对桌面的压力为它对桌面的压力为:由于成对内力大小相等由于成对内力大小相等,方方向相反，那么其力臂必一向相反，那么其力臂必一样样.故力矩大小相等故力矩大小相等. 一对内力对转轴一对内力对转轴的合力矩为零的合力矩为零.故故:整个刚体的合内力矩整个刚体的合内力矩 为零为零. 半径为半径为R,质量为质量为m的均的均匀圆盘在程度桌面上绕中匀圆盘在程度桌面上绕中心轴转动心轴转动,盘与

13、桌面间的摩盘与桌面间的摩擦系数为擦系数为 ,求转动中的摩求转动中的摩擦力矩的大小擦力矩的大小.17drRmgrgdmdN22与桌面间的摩擦力为与桌面间的摩擦力为:32312RRmgRdrrRmgdMM0222rdrRmgdNdf22090sinrdfdM 该摩擦力的力矩为该摩擦力的力矩为:mgR32drrRmg222h0drrdrRmr22dm=dvrdrhhRm22它对桌面的压力为它对桌面的压力为:182. 转动定律转动定律(定轴定轴)恒恒矢矢量量则则,0 iM假设假设zOrifiFi mi i i与桌面间的摩擦力为与桌面间的摩擦力为:32312RRmgRdrrRmgdMM0222rdrRm

14、gdNdf22090sinrdfdM 该摩擦力的力矩为该摩擦力的力矩为:mgR32drrRmg222转动平衡转动平衡19设刚体中质元设刚体中质元mi受外受外力力Fi ,内力内力fi 作用作用法向力的力矩为零法向力的力矩为零.iiiiamfF 对对 mi用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：Fisini+fisini= miait外力矩外力矩内力矩内力矩两边乘以两边乘以riait=ri 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 2. 转动定律转动定律(定轴定轴)恒恒矢矢量量则则,0 iM假设假设zOrifiFi mi i i转动平衡转动平衡20iiiiiiiirfrFsi

15、nsiniiirm2 Fi sini = mi ri2ir内力力矩和为零，那么内力力矩和为零，那么有有 2iirmJJM 矢量式矢量式 JM 上式为上式为设刚体中质元设刚体中质元mi受外受外力力Fi ,内力内力fi 作用作用法向力的力矩为零法向力的力矩为零.iiiiamfF 对对mi用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：切向分量式为：切向分量式为：Fisini+fisini= miait外力矩外力矩内力矩内力矩两边乘以两边乘以riait=ri 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 21(1)(1)定轴转动时定轴转动时M.JM.J均为代均为代 数量数量. .式中式中M M、J J、必必 须对同一

16、定轴而言。须对同一定轴而言。2 2定律具有矢量性和定律具有矢量性和 瞬时性。瞬时性。(3) ,iiiMMM 先先求求再再求求 m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，4 4amF 位置相当位置相当 JM 与与J反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性iiiiiiiirfrFsinsiniiirm2 Fi sini = mi ri2ir内力力矩和为零，那么内力力矩和为零，那么有有 2iirmJJM 矢量式矢量式 JM 上式为上式为22由转动惯量的定义知由转动惯量的定义知: 2iirmJ它是刚体中各质元的质量与它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的间隔平方的各质元到转轴的间隔平方的乘积之和乘积之和.

17、iiirmJ2三三.转动惯量转动惯量(1)(1)定轴转动时定轴转动时M.JM.J均为代均为代 数量数量. .式中式中M M、J J、必必 须对同一定轴而言。须对同一定轴而言。2 2定律具有矢量性和定律具有矢量性和 瞬时性。瞬时性。(3) ,iiiMMM 先先求求再再求求 m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，4 4amF 位置相当位置相当 JM 与与J反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性23 dmrJ2单位单位:kgm2dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别分别为质量的线密度、为质量的线密度、面密度和体密度。面

18、密度和体密度。由转动惯量的定义知由转动惯量的定义知: 2iirmJ它是刚体中各质元的质量与它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的间隔平方的各质元到转轴的间隔平方的乘积之和乘积之和.iiirmJ2三三.转动惯量转动惯量24 一质量为一质量为m, 长为长为l 的均匀长棒的均匀长棒. 求经过棒中求经过棒中心并与棒垂直的轴的转心并与棒垂直的轴的转动惯量动惯量.xOdxx在在x处取长为处取长为dx的质元的质元dxlmdxdm dxxdmxdJ22 2/2/2lldxxJ 3121l 2121ml dmrJ2单位单位:kgm2dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体

19、分布质量为体分布其中其中 、 、 分别分别为质量的线密度、为质量的线密度、面密度和体密度。面密度和体密度。25xO ldxxJ02 231ml 用用JC表示刚体过质心的表示刚体过质心的转动惯量转动惯量JC2121ml cdd=l /2231ml 222121 lmmlJ 一质量为一质量为m, 长为长为l 的均匀长棒的均匀长棒. 求经过棒中求经过棒中心并与棒垂直的轴的转心并与棒垂直的轴的转动惯量动惯量.xOdxx在在x处取长为处取长为dx的质元的质元dxlmdxdm dxxdmxdJ22 2/2/2lldxxJ 3121l 2121ml 26 平行轴定理平行轴定理JC是刚体经过质心的转动是刚体经

20、过质心的转动惯量惯量, d是过质心的转轴到是过质心的转轴到另一平行转轴的间隔另一平行转轴的间隔.2mdJC2mdJJC 求质量为求质量为m,半径为半径为R的细的细圆环或匀质圆环绕经过中圆环或匀质圆环绕经过中心并与圆面垂直的转轴的心并与圆面垂直的转轴的转动惯量转动惯量.xO ldxxJ02 231ml 用用JC表示刚体过质心的表示刚体过质心的转动惯量转动惯量JC2121ml cdd=l /2231ml 222121 lmmlJ 27 2iirmJ 222mRmRRmii 或或 dmRdmrJ2222mRdmR 2JmR 平行轴定理平行轴定理JC是刚体经过质心的转动是刚体经过质心的转动惯量惯量,

21、d是过质心的转轴到是过质心的转轴到另一平行转轴的间隔另一平行转轴的间隔.2mdJC2mdJJC 求质量为求质量为m,半径为半径为R的细的细圆环或匀质圆环绕经过中圆环或匀质圆环绕经过中心并与圆面垂直的转轴的心并与圆面垂直的转轴的转动惯量转动惯量.28rdr在在r 处取宽为处取宽为dr 的细圆环的细圆环设质量面密度设质量面密度2Rm 细环元的面积细环元的面积: S=2rdr那么那么 dm = dS = 2rdrdrrdmrdJ322 RdrrdJJ032 4241R 221mR 2iirmJ 222mRmRRmii 或或 dmRdmrJ2222mRdmR 2JmR 291. 与刚体的体密度与刚体的

22、体密度有有关关(几何外形简单几何外形简单,那那么么与质量与质量m有关有关)2. 与刚体的几何外形与刚体的几何外形(及及体密度体密度的分布的分布)有关有关.3.与转轴的位置及转轴与转轴的位置及转轴的取向有关的取向有关.定义定义: 22GiimrrmJ rG 叫刚体的回转半径叫刚体的回转半径rdr在在r 处取宽为处取宽为dr 的细圆环的细圆环设质量面密度设质量面密度2Rm 细环元的面积细环元的面积: S=2rdr那么那么 dm = dS = 2rdrdrrdmrdJ322 RdrrdJJ032 4241R 221mR 30 以下图所示刚体对经以下图所示刚体对经过过 棒端且与棒垂直的轴棒端且与棒垂直

23、的轴的转动惯量如何计算？的转动惯量如何计算？( (棒长为棒长为L L、圆半径为、圆半径为R R2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJLLmOm222)(5231RLmRmLmooL12LLJJJ 1. 与刚体的体密度与刚体的体密度有有关关(几何外形简单几何外形简单,那那么么与质量与质量m有关有关)2. 与刚体的几何外形与刚体的几何外形(及及体密度体密度的分布的分布)有关有关.3.与转轴的位置及转轴与转轴的位置及转轴的取向有关的取向有关.定义定义: 22GiimrrmJ rG 叫刚体的回转半径叫刚体的回转半径31刚体定轴转动定律的运用刚体定轴转动定律的运用细杆长

24、为细杆长为l, 质量为质量为m ,求从竖直位置由静止转到求从竖直位置由静止转到角时的角加速度和角速角时的角加速度和角速度度.O PNl 细杆受力细杆受力P 和和N1sin2pNMMmgl 以下图所示刚体对经以下图所示刚体对经过过 棒端且与棒垂直的轴棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？的转动惯量如何计算？( (棒长为棒长为L L、圆半径为、圆半径为R R2131LmJLL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJLLmOm222)(5231RLmRmLmooL12LLJJJ 32 Jmgl sin21而而231mlJ 于是于是 sin23lgdtd 利用利用 dddtddddtd

25、dlgdsin23 有有利用初始条件利用初始条件: t=0, 0=0, 0=0刚体定轴转动定律的运用刚体定轴转动定律的运用细杆长为细杆长为l, 质量为质量为m ,求从竖直位置由静止转到求从竖直位置由静止转到角时的角加速度和角速角时的角加速度和角速度度.O PNl 细杆受力细杆受力P 和和N1sin2pNMMmgl 33积分积分: 00sin23dlgd在在角时角时,角速度为角速度为)cos1(3 lg Jmgl sin21而而231mlJ 于是于是 sin23lgdtd 利用利用 dddtddddtd dlgdsin23 有有利用初始条件利用初始条件: t=0, 0=0, 0=034定轴定轴O

26、Rthmv0=0绳绳mgT ma TGNMf实验测出：实验测出： R, m1, h, t1, m2, t2)1(:maTmgm 对对)2(: JMTRf 对对飞飞轮轮由运动学关系由运动学关系)3( Ra )4(212ath 35联立上四个方程联立上四个方程:2211/0156. 02smtha N3 .78)(111 agmT)5()(11aRMRTJf 对第一次丈量对第一次丈量其中其中对第二次丈量对第二次丈量23222/104 . 62smtha N2 .39)(222 agmT)6()(22aRMRTJf 其中其中mgT ma TGNMf)1(:maTmgm 对对)2(: JMTRf 对对

27、飞飞轮轮由运动学关系由运动学关系)3( Ra )4(212ath 3621212()R TTJaa 联立联立(5)(6)式得式得a= rMg-T=maTr=JMg r=J (J=Mr2/2)abmm联立上四个方程联立上四个方程:2211/0156. 02smtha N3 .78)(111 agmT)5()(11aRMRTJf 对第一次丈量对第一次丈量其中其中对第二次丈量对第二次丈量23222/104 . 62smtha N2 .39)(222 agmT)6()(22aRMRTJf 其中其中37xOPrdd rF 1、力矩的功、力矩的功|cosrdFrdFdW rdF cos tFFcos Md

28、dW 一一.刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理MrFcos MdW力矩作功是力作功的力矩作功是力作功的角量表达式角量表达式2、转动动能、转动动能iiiKvmE221一切质元的动能之和为：一切质元的动能之和为：22221)(21Jrmiiiiiirm2)(2138212kEJ 3、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理力矩做功：力矩做功：dtdtdJ21ddtdJ2121Md21222121 JJ 21 dJ或由转动定律或由转动定律 MdW力矩作功是力作功的力矩作功是力作功的角量表达式角量表达式2、转动动能、转动动能iiiKvmE221一切质元的动能之和为：一切质元的动能之和为：22221)(

29、21Jrmiiiiiirm2)(2139dMJJdtdddJJddtd 当当=1时，时，=1 2121dJdM2122212121JJdM21222121 JJ 212kEJ 3、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理力矩做功：力矩做功：dtdtdJ21ddtdJ2121Md21222121 JJ 21 dJ或由转动定律或由转动定律40合外力矩对定轴转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。体转动动能的增量。4、刚体的重力势能、刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：一个质元：iighm iiiPhgmE 重整个刚体：整个刚体：dMJJdtdddJJddt

30、d 当当=1时，时，=1 2121dJdM2122212121JJdM21222121 JJ 41 一个不太大的刚一个不太大的刚体的重力势能相当于它体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质的全部质量都集中在质心时所具有的势能。心时所具有的势能。 对于含有刚体的系对于含有刚体的系统统, ,假设在运动过程中只假设在运动过程中只需保守内力作功需保守内力作功, ,那么此那么此系统的机械能守恒。系统的机械能守恒。212cEJmgh 常常量量5.刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律:ciiimghhmg )( 合外力矩对定轴转动合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。体

31、转动动能的增量。4、刚体的重力势能、刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：一个质元：iighm iiiPhgmE 重整个刚体：整个刚体：421. 质点的角动量质点的角动量定义定义: 质点质点m对点对点O的的 角动量角动量prL vmrOxyzrv d moxyzLrmvijkxyzmvmvmv 留意留意:(1) L 是矢量是矢量.(2)质点的角动量是对参考质点的角动量是对参考 点而言的点而言的.(3)其大小可以表达为其大小可以表达为 mvd大小大小: L = mvr sin方向满足右手螺旋关系方向满足右手螺旋关系.43 特例特例: 质点在平面上质点在平面上作圆周运动作圆周运动,质点对质点

32、对O的的角动量大小为角动量大小为:zov mr假设思索方向有假设思索方向有 JmrL 22. 质点的角动量定理质点的角动量定理dtvmdF)( oxyzLrmvijkxyzmvmvmv 留意留意:(1) L 是矢量是矢量.(2)质点的角动量是对参考质点的角动量是对参考 点而言的点而言的.(3)其大小可以表达为其大小可以表达为 mvd大小大小: L = mvr sin方向满足右手螺旋关系方向满足右手螺旋关系.44用用r 叉乘上式两叉乘上式两边边)(vmdtdrFr vmdtrdvmdtdrvmrdtd )()(且且0 vvvdtrd故故作用于质点的合力对参考作用于质点的合力对参考点点O的力矩的力

33、矩 , 等于质点对等于质点对该点该点O的角动量对时间的角动量对时间的变化率的变化率.那那么么)(vmrdtdFr 而而vmrL FrM , ,tLMdd 特例特例: 质点在平面上质点在平面上作圆周运动作圆周运动,质点对质点对O的的角动量大小为角动量大小为:zov mr假设思索方向有假设思索方向有 JmrL 22. 质点的角动量定理质点的角动量定理dtvmdF)( 45上式还可写为上式还可写为LtMdd M dt 叫冲量矩、角冲量。叫冲量矩、角冲量。积分方式积分方式:1221LLdtMtt 对同一参考点对同一参考点O,质点所质点所受的冲量矩等于质点角动受的冲量矩等于质点角动量的增量量的增量.1.

34、M1.M和和L L应对同一参考点。应对同一参考点。2.2.定律只适用于惯性系。定律只适用于惯性系。用用r 叉乘上式两叉乘上式两边边)(vmdtdrFr vmdtrdvmdtdrvmrdtd )()(且且0 vvvdtrd故故作用于质点的合力对参考作用于质点的合力对参考点点O的力矩的力矩 , 等于质点对等于质点对该点该点O的角动量对时间的角动量对时间的变化率的变化率.那那么么)(vmrdtdFr 而而vmrL FrM , ,tLMdd 463. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律假设假设 M = 0, 那么那么恒恒矢矢量量 vmrL即当质点所受对参考点即当质点所受对参考点O的合力矩为零时的

35、合力矩为零时,质点对质点对该参考点该参考点O的角动量为一的角动量为一恒矢量恒矢量.iiiioFoF;留意留意 1 1、条件：、条件：如有心力，对力心。如有心力，对力心。 F / r但过参考点但过参考点( )( )上式还可写为上式还可写为LtMdd M dt 叫冲量矩、角冲量。叫冲量矩、角冲量。积分方式积分方式:1221LLdtMtt 对同一参考点对同一参考点O,质点所质点所受的冲量矩等于质点角动受的冲量矩等于质点角动量的增量量的增量.1.M1.M和和L L应对同一参考点。应对同一参考点。2.2.定律只适用于惯性系。定律只适用于惯性系。473. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律假设假设

36、M = 0, 那么那么恒恒矢矢量量 vmrL即当质点所受对参考点即当质点所受对参考点O的合力矩为零时的合力矩为零时,质点对质点对该参考点该参考点O的角动量为一的角动量为一恒矢量恒矢量.iiiioFoF;留意留意 1 1、条件：、条件：如有心力，对力心。如有心力，对力心。 F / r但过参考点但过参考点( )( )48如下图如下图,一半径为一半径为R的的光滑圆环置于竖直平面光滑圆环置于竖直平面内内, 有一质量为有一质量为m的小球的小球穿在圆环上穿在圆环上, 并可在圆环并可在圆环上滑动上滑动. 小球开场静止于小球开场静止于圆环上的圆环上的A点点(该点经过该点经过环心环心O的程度面上的程度面上),

37、然后然后从点从点A开场下滑开场下滑.设小球设小球与圆环间的摩擦略去不与圆环间的摩擦略去不计计.求小球滑到点求小球滑到点B时对时对环心环心O的角动量和角速度的角动量和角速度. ARO B A OPTv小球受重力小球受重力P,支持力支持力T 作用作用tLMdd 由由(方向向里方向向里)M = mgR cos49有有dtdLmgR cos又又dtd dgRmLdLcos32 2dmRdtdL 2mRL , ,由由: t=0, 0= 0, L0= 0 LdgRmLdL0032cos sin21322gRmL 即即 sin2132242gRmRm ARO B A OPTv小球受重力小球受重力P,支持力支

38、持力T 作用作用tLMdd 由由(方向向里方向向里)M = mgR cos502/1sin2 Rg4.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量如图刚体上的一个质元如图刚体上的一个质元 mi 对对z轴轴(或或O点点)的角的角动量为动量为Zivirim iiiiiimrvmrL2 JL 有有dtdLmgR cos又又dtd dgRmLdLcos32 2dmRdtdL 2mRL , ,由由: t=0, 0= 0, L0= 0 LdgRmLdL0032cos sin21322gRmL 即即 sin2132242gRmRm 51刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量 iiiirmLL 2 J 5.刚体定轴转

39、动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理对质元对质元i)(2 iiiirmdtddtdLM 内内外外iiiMMM 外外内内外外iiiiMMMM对一切质元求和对一切质元求和: )(iiLdtdMM外外而刚体的内力矩和为零而刚体的内力矩和为零.2/1sin2 Rg4.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量如图刚体上的一个质元如图刚体上的一个质元mi 对对z轴轴(或或O点点)的的角动量为角动量为Zivirim iiiiiimrvmrL2 JL 52刚体绕某定轴转动时刚体绕某定轴转动时,作用作用于刚体的合外力矩等于刚于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时体绕此定轴的角动量随时间的变化率间的变化率

40、.由由)( JdtddtdLM 当当J为恒量时为恒量时 JdtdJM 转动定律的另一种表达转动定律的另一种表达方式方式.)( Jdtd dtdL 刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量 iiiirmLL 2 J 5.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理对质元对质元i)(2 iiiirmdtddtdLM 内内外外iiiMMM 外外内内外外iiiiMMMM对一切质元求和对一切质元求和: )(iiLdtdMM外外而刚体的内力矩和为零而刚体的内力矩和为零.53再看力矩对时间的累积再看力矩对时间的累积 : Mdt = dL两边积分两边积分:21121LttLMdtdLLL1122 JJ ttMd

41、t1作用在物体上的冲量矩作用在物体上的冲量矩等于物体角动量的增量等于物体角动量的增量.刚体绕某定轴转动时刚体绕某定轴转动时,作用作用于刚体的合外力矩等于刚于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时体绕此定轴的角动量随时间的变化率间的变化率.由由)( JdtddtdLM 当当J为恒量时为恒量时 JdtdJM 转动定律的另一种表达转动定律的另一种表达方式方式.)( Jdtd dtdL 546.刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律如如: M=0, 那么那么有有:L = J = 恒量恒量即：假设物体所受合外即：假设物体所受合外力矩为零力矩为零,或者不受外力或者不受外力矩作用矩作用,物体的角动量保

42、物体的角动量保持不变。持不变。角动量守恒定律角动量守恒定律.1. 当当J = 恒量恒量, J = J 0 , 那么那么 = 0 ,如如:回转仪回转仪, 定向安装定向安装.再看力矩对时间的累积再看力矩对时间的累积 : Mdt = dL两边积分两边积分:21121LttLMdtdLLL1122 JJ ttMdt1作用在物体上的冲量矩作用在物体上的冲量矩等于物体角动量的增量等于物体角动量的增量.552. 当当J可变化时可变化时, J = J 0 如如: 滑冰运发动旋转时滑冰运发动旋转时两臂收拢转速快。两臂收拢转速快。分必分必反向运动反向运动. .6.刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律如如: M

43、=0, 那么那么有有:L = J = 恒量恒量即：假设物体所受合外即：假设物体所受合外力矩为零力矩为零,或者不受外力或者不受外力矩作用矩作用,物体的角动量保物体的角动量保持不变。持不变。角动量守恒定律角动量守恒定律.1. 当当J = 恒量恒量, J = J0 , 那么那么 = 0 ,如如:回转仪回转仪, 定向安装定向安装.56 细杆长为细杆长为l可绕可绕O点转点转动动,当细杆程度静止时当细杆程度静止时,小虫小虫以速率以速率v0垂直落到距点垂直落到距点O为为l/4处处,并向并向A点爬行点爬行.设小虫设小虫和细杆质量都为和细杆质量都为m.细杆以细杆以恒定的角速度转动恒定的角速度转动,小虫的小虫的爬行速率为多少爬行速率为多少?O Av0APr 2. 当当J可变化时可变化时, J = J0 如如: 滑冰运发动旋转时滑冰运发动旋转时两臂收拢转速快。两臂收拢转速快。分必分必反向运动反向运动. .57 22041214lmmllmv小虫在爬行时小虫在爬行时,系统受重力矩系统受重力矩 cosmgrM 角速度为恒定角速度为恒定,由角动量定理由角动量定理此时细杆获得角速度此时细杆获得角速度lv0712 )( JdtddtdLM dtdJ 细杆长为细杆长为l可绕可绕O点转点转动动,当细杆程度静止时当细杆程度静止时,小虫小虫以速率以速率v0垂直落到距点垂直落到距点O