平面几何中四个重要定理的应用(一)

1、平面几何中四个重要定理的应用（一）ARB梅涅劳斯（Menelaus）定理（梅氏线） ABC的三边BC CA AB或其延长线上有点 P、Q R,则P、Q R共线的充要条件是QBP CQ AR 4 PC QA RB塞瓦（Ceva）定理（塞瓦点） ABC的三边 BC CA AB上有点 P、Q R贝U AP、BQ CR共点的充要条件是CQ AR .1 oPC QA RB托勒密（Ptolemy）定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松（Simson）定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆 上。例题：BF1 （梅氏

2、定理）FAA、B、D之一作CF的平行1. 设人。是厶ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证:AE 2AF二 。ED FB求证：BE CF =1。EA FA【分析】CEFS abd腥 DCED CB【评注】也可以添加辅助线证明：过线。2. 过厶ABC的重心 G的直线分别交 AB AC于E、F,交CB于Db【分析】连结并延长 AG交BC于M,则M为BC的中点。DEGSA ABM> 匪=1 （梅氏定理）EA GM DBDGFSA ACMK 空MD =1 （梅氏定理）FA GM DC.BE ±CF_GM （DB+DC）_GM 2MDEA FA AG MD 2GM MD 【评注

3、】梅氏定理3. D E、F分别在 ABC的BC CA AB边上,BD _AF=CE = - , AD BE、CF交成 LMNDCFBEA求 Sa lm。【分析】【评注】梅氏定理4. 以厶ABC各边为底边向外作相似的等腰 BCE CAF ABG求证：AE、BF、CG相 父于点。【分析】【评注】塞瓦定理5. 已知 ABC中，/ B=2/ C。求证：aC=aB+AB BG【分析】过A作BC的平行线交 ABC的外接圆于D,连结BD。贝 U CD=DA=AB AC=BD 由托勒密定理， AC- BD=AD BC+CD AB【评注】托勒密定理6. 已知正七边形 AAA3AAAA7。1 1 1求证：。（第2

4、1届全苏数学竞赛）Ad? A1A3 A1A4【分析】【评注】托勒密定理7. ABC的BC边上的高 AD的延长线交外接圆于 P,作PE±AB于E,延长ED交AC延长 线于F。求证：BC- EF=BF- CE+B- CF。【分析】【评注】西姆松定理（西姆松线）&正六边形且B、M【分析】【评注】ABCDEF勺对角线AC CE分别被内分点 M N分成的比为N共线。求 k。（ 23-IMO-5 ）AM AC=CN CE=k【分析】【评注】面积法10. ABC中，面积法 ABC内一点，分别以da、的距离，以艮、Q、民表示O到A、B C的距db、dc表示O到BC证：(1) a -R a&g

5、t;b -d b+c -d c;(2) a -R a>c -d b+b -d c;(3) R a+Rj+艮2(d a+db+dc)。H、G O分别为垂心、重心、外心。求证：H G O三点共线，且HG=2GO（欧拉线）【分析】【评注】同一法ABC中，AB=AC AD丄BC于D, BM BN三等分/ ABC与AD相交于 M N,延长CM交AB于巳求证：MB/NE。【分析】【评注】对称变换12. G是厶ABC的重心，以 AG为弦作圆切 BG于G,延长CG交圆于 0 求证：aG=GCGD【分析】【评注】平移变换13. C是直径 AB=2的O O上一点，P在厶ABC内,PA+PB+PC勺最小值是.

6、7 ,求此时 ABC的面积【分析】【评注】旋转变换费马点：已知/ COA=120 ; PSoOR(b, -60°)【分析R(B,£0°)、PA+PB+PG OA+OB+QC （ O为费马点）连结AB'P'-C'BPP' oBO是厶ABC内一点，/ AOB2 是厶ABC内任一点，求证：若BOC=则厶B OO'、 B PP'都是正三角形。 OO'=OB PP' =PB。显然 BO'C' BOC BP'C' BPC 由于/ BO'C'= / BOC=12

7、76; =180° - / BO'O,. A O O'、C'四点共线。PA+PB+PIC OA+OB+QC AP+PP'+P'C' > AC'=AO+OO'+OC,即卩 14.菱形ABCD的内切圆O与各边分别交于 E、F、G H,在弧EF和弧GH上分别作O O 的切线交 AB BC CD DA分别于M N、P、求证：MQ/NP。【分析】由 AB/ CD知：要证 MQ/ NP,只需证/ AMQM CPN结合/ A=Z C知，只需证CPNAMAQCPCN，AM- CN=AQ CFO连结AC BD,其交点为内切圆心 O。

8、设MN与O O切于K,连结 OE OM OK ON OF。 记/ ABO邛，/ MOKa，/ KON=3，贝U/ EOMa，/ FON=3，/ EOF=2% +2 3 =180° -2 $。/ BON=90 - / NOF-Z COF=90 - 3 - $ = a/ CNOZ NBOZ NOB=$ +a =Z AOEZ MOEZ AOM又Z OCNZ MAO.A OCWA MAO 于是 AM = AOCO CN AM- CN=AO CO 同理，AQ- CP=AO CO【评注】15.0 O和O Q与 ABC的三边所在直线都相切，交于P。求证：PA丄BC【分析】【评注】16.如图，在四边

9、形 ABCD中，对角线 AC平分/ BAD在 CD上取一点E, BE与AC相交于F,延长DF交BC于 G 求 证：/ GACM EAC证明：连结 BD交AC于巴对厶BCD用塞瓦定理，可得CG BH DE1GB HD EC因为AH是/ BAD的角平分线，由角平分线定理，可得故 CG AB DEHD AD ' GB AD ECE、F、GH为切点，EG FH的延长线过C作AB的平行线交 AG的延长线于I，过C作AD的 平行线交AE的延长线于J。贝y CG CI DE AD GB 一 AB ' EC 一 CJ，所以_CL AB AD -1，从而 AB AD CJ又因为 CI/AB ,

10、CJ/AD，故/因此， ACIA ACJ,从而/CI=CJ。jiACI= n - / BAC=n - / DAC2 ACJIAC=Z JAC,即/ GAC2 EAC17.已知 AB=AD BC=DC AC与 BD交 于O,过O的任意两条直线 EF和GH与四 边形ABCD的四边交于 E、F、G H。连结 GIF EH分别交BD于 M No求证：OM=ON(5 届 CMO证明：作 EOH S(ac)_； E'OH',则只需证E'、M GF三线共点。H'共线，即 E'H'、BOE'GFKD记/ BOGa ,/ GOE'=3。连结E

11、9;F交BO于K。只需证GBBH'H'F=1KE'(Ceva 逆定理)。E'G BH'GB H'FFK S jpEG Spbh ' SofkOE'sin PKE' S.8b S.Oh'f soke'OBsinE'G°Bs 阮 0F=1OF sin ： OE'注：筝形：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。F对应于99联赛2:/ E'OB=/ FOB且E'H'、GF BO三线共点。 求证：/ GOB/ H'OBo事实上，上述条件是充要条件， 且M在OB延长线上时结论仍然 成立。证明方法为：同一法。蝴蝶定理：P是O O的弦AB的中点，过P点引O O的两弦CDEF,连结 DE交AB于M,连结 CF交AB于N。求证：MP=NP【分析】设 GH为过P的直径，F S(GH) > F'F，显然O 0。又 P GH 二 PF'=PF o v PF罢戈tPF' , PAPB / FPN玄 F'PM, PF=PF'。又 FF'丄 GH AN! GH 二 FF' /F'PM+/ MDF'=/ FPN+/ EDF'=/ EF