各种音律音调相互关系的探究

1、各种音律音调相互关系的探究吴敏金 本文将用一些初等数学与简单的物理常识来探讨各种音律音调的相互关系，并引入一种新颍的音调-“超调”，供乐理专业人士及业余爱好者进一步研究。众所周知，声音是空气振动形成的，并以波的形式传播，就单音而言，可简化为正弦波Asin(2ft+)表示。其中，振幅A决定了声音的响度，频率f决定了声音高度，而人耳对于声波的相位不敏感。音律学研究的重点是声波的频率。一般来说，人耳能听到的声波频率范围是20Hz到20000Hz之间（Hz为每秒振动次数）。声波的振动频率越快，听起来就越“高”；反之，越低。物理定律表明：弦长与其振动频率成反比。以二胡为例，通常外弦定音为440Hz（即钢

2、琴上的a1）。设下方的琴马处为坐标0，上方的千斤处为坐标1，弦长为1单位长度。此时，弦的中间处为1/2，其振动频率为2*440=880Hz（即钢琴上的a2）,它与空弦之间的音程是一个8度。进而，在弦的坐标1/4处，其振动频率为2*880=1760Hz（即钢琴上的a3）,它与空弦之间的音程是二个8度一. 十二音阶平均律生成音律的一个出发点是所谓“等差音高序列与等比频率序列”。由于人耳对于声波的频率是按指数敏感的，所以，一组声音，如果它们的频率成等比级数排列，它们听起来就是“等差音高“的。如前，设弦坐标1处,基准频率为1，而弦坐标1/2处，其对应的频率为2。它们构成一个8度的音程（记为C, C1）

3、。可将其划分成“等差音高序列”的12个音阶（即，12个半音），也即要求其对应的“等比频率序列”的公比d=2(1/12)=2的开12次方=1.059463094（简单记为1.059）。于是，按等比级数，从弦坐标1处（基准频率为1）到弦坐标1/2处(对应的频率为2)之间的12个音阶，其相应的频率与弦长(及其近似分数值)互为倒数，见下面的音律表。此频率（弦长）序列称为十二音阶平均律。十二音阶平均律适合于音高相对固定的键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）。十二音阶平均律、五度相生律与纯律的频率与弦长对照表n0123456789101112频率11.0591.1241.1891.2601.3351.

4、4141.4981.5871.6821.7821.8882弦长10.9440.8900.8410.7940.7490.7070.6680.6300.5950.5610.5300.5弦长11243/2568/927/3264/813/4181/2562/381/12816/279/16128/2431/2弦长2115/168/95/64/53/45/72/35/83/55/98/151/2C大调CDEFGCBC*C小调CD#DFGbCbBC*C超调C#C#DFGbCbBC*（注：弦长1是按“五度相生律”计算的，其中的181/256为近似分数值。弦长2是按“纯律”计算的。见后文）二. 五度相生律中

5、外古典音乐理论（如毕达哥拉斯学派）对音律的研究发现：弦长比为简单整数比（2:1,3:2,4:3）时，其发出的声音为和谐悦耳之音。例如，当空弦与弦坐标1/2处的弦长比为2:1，对应的频率比为1:2，此为8度和音（即可理解为c-c1,d-d1,）；当空弦与弦坐标2/3处的弦长比为3:2，对应的频率比为2：3，此为5度和音（可简单理解为1-5,2-6，3-7,4-1，5-2，6-3,等等）；当空弦与弦坐标3/4处的弦长比为4:3，对应的频率比为3:4，此为4度和音。比如，二胡的内外弦是按“5度和音”来定音的，通常取为钢琴上的d-a1。3:2这个比例在音乐术语中叫“纯五度”，由此生成的音律叫做“五度相

6、生律”（Pythagorean tuning）。借助”五度相生律”,可在8度音程C, C1中,确定8个和音点。“五度相生律”的方法是：1， 从空弦的频率f0=1(弦长1，音高C)出发，按公比3/2，向上递升的等比频率级数fn(若fn>2,则fn/2。 /2为最佳和音)：f1=1*(3/2), (弦长2/3，音高G);f2=f1*(3/2)/2=9/8, (弦长8/9，音高D);f3=f2*(3/2)=27/16, (弦长16/27，音高A);f4=f4*(3/2)/2=81/64, (弦长81/64，音高E);f5=f5*(3/2)=243/128, (弦长128/243，音高B)。(f

7、6=f5*3/2/2=729/512，弦长512/729，音高#F)。2， 从弦正中间的频率g0=2(弦长1/2，音高C1)出发，按公比2/3，向下递降的等比频率级数gn(若gn<1,则gn*2。*2为最佳和音)：g1=2*(2/3)=4/3 (弦长3/4，音高F);g2=g1*(2/3)*2=16/9 (弦长9/16，音高bB);g3=g2*(2/3)=32/27 (弦长27/32，音高#D)g4=g3*(2/3)*2=128/81 (弦长128/81，音高bA)g5=g4*(2/3)=256/243 (弦长243/256，音高#C)。(g6=g5*2/3*2=1024/729,弦长7

8、29/1024，音高bG)。在8度音程C, C1 中，如果取6个频率上行的和音f0,f1,f2,f3,f4,f5 及2个基本和音g0,g1, 就获得音阶序列：C-D-E-F-G-A-B-C1，此即构成了自然C大调，其频率分别为1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 23/16, 128/243, 2。（见前面音律表中的弦长1及C大调）。如果取6个频率下行的和音g0,g1,g2,g3,g4,g5 及2个基本和音f0,f1, 就获得音阶序列：C-#C-#D-F-G-bA-bB-C1，其频率分别为1, 256/243, 32/27，4/3, 3/2, 128/81, 16/9，2。这是一种

9、与自然C大调及C小调都不同的新调式，称之为自然C超调。（见前面音律表中的弦长1及C超调。第六节将详细论述）。从上面论述中，可看到由“五度相生律”生成的音阶并不完全等于12音阶平均律，有一些和音点的频率仅仅是近似而已。（此外，用有限次的五度相生律无法生成出#F=bG的频率分数值与弦坐标分数值，只能用256/181来近似2的开方。）三. 三分损益律“五度相生律”可用所谓“三分损益律”上下交替增减而得。设弦坐标点x，其和音点的弦坐标点y，那么y=x+x*1/3，此时y:x=4:3, y是x的向上和音点。或者y=x-x*1/3，此时y:x=2:3，y是x的向下和音点。具体方法如下：首先，在弦坐标1/2

10、处，弦长向上增加它的1/3。此时的弦长为1/2+1/2*1/3=2/3，其对应的频率为3/2=1.5, 此处为和音G。（也可理解为在弦坐标1处，弦长向下减少1/3，其弦长也是1-1/3=2/3。）其次，在弦坐标2/3处，把弦长向上增加它的1/3。此时的弦长为2/3+2/3*1/3=8/9，其对应的频率为9/8=1.125，近似于1.260, 可认定此处为和音D。(如在弦坐标2/3处，把弦长向下减少它的1/3，此时的弦长为2/3-2/3*1/3=4/9。由于4/9<1/2,可将其乘以2，得和音点的坐标也是8/9。)再次，在弦坐标8/9处，把弦长向下减少它的1/3。此时的弦长为8/9-8/9

11、*1/3=16/27，其对应的频率为27/16=1.6875，近似于1.682, 可认定此处为和音A。(如在在弦坐标8/9处，把弦长向上增加它的1/3，此时的弦长为8/9+8/9*1/3=32/27。由于32/27>1,可将其除以2，得和音点的坐标也是16/27。)然后，在弦坐标16/27处，把弦长向上增加它的1/3。此时的弦长为16/27+16/27*1/3=64/81，其对应的频率为81/64=1.266，近似于1.260, 可认定此处为和音E。(如在在弦坐标16/27处，把弦长向下减少它的1/3，此时的弦长为16/27-16/27*1/3=32/81。 由于32<1/2,可将

12、其乘以2，得和音点的坐标也是64/81。)最后，在在弦坐标64/81处，把弦长向下减少它的1/3。此时的弦长为64/81-64/81*1/3=128/243，其对应的频率为243/128=1.898，近似于1.888, 可认定此处为和音B。(如在在弦坐标64/81处，把弦长向上增加它的1/3，此时的弦长为64/81+64/81*1/3=256/243。由于256/243>1,可将其除以2，得和音点的坐标也是128/243。)如此，我们在8度音程C, C1中，依次得到和音点G,D,A,E,B。再加上前面已经讲到的弦长坐标3/4处的4度和音点F。此时获得的音阶序列C-D-E-F-G-A-B-

13、C1 构成了自然C大调。四. 四度相生律用类似“五度相生律”方法，将音阶序列生成过程中的公比3/2改为4/3，（无妨叫“四度相生律”），可得 f0=1; C;f1=4/3, F;f2=f1*4/3=16/9, bB;f3=f2*4/3/2=32/27, #D;f4=f3*4/3=128/81, bA;f5=f4*4/3/2=256/243, #C;及 g0=2, C1;g1=3/2, G。此音阶序列为C-#C-#D-F-G-bA-bB-C1，其频率分别为1, 256/243, 32/27，4/3, 3/2, 128/81, 16/9，2。与前面第二节的频率下行的“五度相生律”所生成的调式一样，

14、这是一个全新的音调自然C超调，（第六节将详细讨论.）五. 纯律除了12音阶平均律与五度相生律，还有一种“纯律”，对于自然C大调：C-D-E-F-G-A-B-C*，其对应的频率序列为：1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,2，.这是由于“纯律”遵照基本原理：“弦长比（频率比）为简单整数比（2/1,3/2,4/3,5/3,5/4）时，其发出的声音为和谐悦耳之音”，得5个基本和音；再通过和音的和音：3/2*3/2*2=9/8及3/2*5/4=15/8获得2个和音。 由于“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比较为简单，所以，“纯律”音阶的谐波丰富，音

15、响和谐，悦耳动听，故称之为“纯律”。因此，与“五度相生律”比较，“纯律”更适合于多声部乐曲。对于弦乐而言，“纯律”所生成的音阶的弦间距）分别为：（设弦长为1，见前面音律表中的弦长2）C-D,1-8/9=1/9 全音; D-E, 8/9-4/5=1/11全音; E-F, 4/5-3/4=1/20半音; F-G, 3/4-2/3=1/12全音; G-A, 2/3-3/5=1/15 全音;A-B, 3/5-8/15=1/15 全音;B-C*, 8/5-1/2=1/30 半音。值得注意的是，在8度音程C, C1中，5个全音弦间距并不相等，2个半音弦间距也不相等。掌握这些音阶的弦间距，对于弦乐指法（如小

16、提琴、二胡等）的音准与演奏很重要。六新式的音调-“超调”的分析音调由主音与调式构成。调式由音阶间距序列构成。首先注意到：自然C大调以C为主音，音阶序列C-D-E-F-G-A-B-C1，音阶间距序列：全 全 半 全 全 全 半。如果将自然C大调的主音C向下移动2度，得音阶序列：A1-B1-C-D-E-F-G-A, 音阶间距序列：全 半 全 全 半 全 全，主音为A，即自然a小调。可见，小调可由大调的调式平移而得。同样地，对于前面的第二、四节引入的自然C超调，其音阶序列：C-#C-#D-F-G-bA-bB-C1，音阶间距序列：半 全 全 全 半 全 全。如果将自然C大调的主音C向上移动2度，得音阶

17、序列：E-F-F-A-B-C1-D1-E1, 音阶间距序列也是：半 全 全 全 半 全 全，主音为E，即可自然E超调。这也就是命名之为“超”调的原因。它即不同于自然E大调，也不同于自然E小调。每一个调式（大调：全 全 半 全 全 全 半；小调：全 半 全 全 半 全 全；超调：半 全 全 全 半 全 全；）都可结合12个的主音，生成12不同的音调。最简单的不带升降号的音调是：C大调，自然a小调，E超调。如下表所示。（红色表示主音）。不带升降号音调表调名123456789101112C大调CDEFGABA小调CDEFGABE超调CDEFGAB可以方便地写出十二种不同主音的自然超调，如下表所示。十

18、二种不同主音的超音调表调名123456789101112E超调CDEFGABF超调 C#C#DFbGbAbBbG超调#CDEbGGABG超调CD#DEGbAbBbA超调#C#DEbGbAABA超调CDEFGAbBbB超调#C#DEbGbAbBBB超调CDEbGGABC超调C#C#DFGbAbB#cA超调#CDEbGbAABD超调CD#DFGAbB#D超调#C#DEbGbAbBB人们熟知，大调明亮坚定，小调暗淡柔美。那么，超调如何？可能比起大调更为坚实闪亮，也可能比起小调更为柔和平淡，要看实际使用与场合。其详细属性与应用有待进一步研究。音调系列-84种音调的全面论述，见1。七.总结1， 频率上行的“五度相生律”及“三分损益律”可生成自然C大调：C-D-E-F-G-A-B-C1 ，其频率分别为1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 23/16, 128/243, 2；（见附表的弦长1）。另注：频率下行“四度相生律”可生成的自然A大调。2， 频率下行的“五度相生