多元函数微分学

1、第十七章 多元函数的微分学一、     选择题（每小题2分）   1、若极限（    ）存在，则称这极限值为函数 在 处对x的偏导数。A、  。B、 C、 D、2、设函数 在 处的全增量为，若 在 处可微，则在 处（    ）A、       

2、60;                   B、C、     D、3、设函数 在  处的偏导数存在，则（      ）A、       B、     

3、     C、        D、    4、设函数 在 处不连续，则在该点处（     ）A、 必无定义                  B、极限必不存在 

4、      C、偏导数必不存在             D、全微分必不存在5、设函数 在 处可微，且，则在该点处（     ）A、 必有极值，可能为极大值，也可能为极小值  B、 可能有极值也可能无极值C、 必有极大值D、必有极小值6、函数 在 处取得极值，则在处（&#

5、160;        ）A、偏导数存在      B、可微     C、连续      D、前者都不一定                7、对于函数 ，点（0，0）（ 

6、   ）A、不是驻点                   B、是驻点却非极值点C、是极小值点                 D、 是极大值点8、函数 在点处二阶偏导数与都存在，则与在点处连

7、续是=的（    ）A、 必要条件       B、充分条件     C、充要条件     D、既非充分又非必要条件9、设函数 在点 的某邻域内有连续的一阶、二阶偏导数，又，则函数 在 处有极小值的充分条件为（     ）A、     &#

8、160;          B、    C、        D、10、函数 在 处连续是函数在可微的（      ）A、必要条件       B、充分条件     C、充要条件&#

9、160;    D、既非充分又非必要条件 二、     判断题  （每小题2分）   1、若函数 在处存在偏导数，则在处一定可微。          （       ）2、若函数 在 处存在偏导数，则在处一定连续。（   

10、;     ）3、函数的极值点一定是它的稳定点。                             （        ）    4、函

11、数在点可微，则在处沿任意方向的方向导数都存在。                                              &

12、#160;                    （      ）    5、在处可微，则在处两个偏导数存在且连续。               &#

13、160;                                                 &#

14、160;（      ）    6、函数在处两个偏导数连续，则函数 在 处也连续。                     （      ）    7、函数在处可微，则在

15、处两个偏导数存在。                             （      ）    8、若函数 在 点处的方向导数存在，则函数在该点一定可微。  

16、0;                                                 

17、0;              （       ）    9、函数 在 点处的方向导数存在，则函数在该点一定连续。                  

18、                                                 （ 

19、;       ）    10、若函数 在 点处取得极值，则当固定时，一元函数必定在取得相同的极值。                               

20、; （        ）三、填空题：（每小题2分）   1、 ，则                     。    2、 在点处沿方向（其中方向角分别为）的方向导数为   

21、60;                  。3、 ，其中  ，则                  。    4、函数在处可微，则   &#

22、160;      。    5、 ，   则               。    6、，则              

23、0;              。    7、函数 在处可微是曲面在点存在不平行于z轴的切平面的         条件。    8、，则         。9、二元函数的n阶偏导数最多有&#

24、160;          个。10、若函数 在区域D上存在偏导数，且，则在区域D上为          函数。四、     计算题   1、（5分）  求 2、（6分） 有连续的偏导数，求 3、（6分）， 求4、（6分）， 求 

25、5、（5分）， 求 6、（5分）， 求 7、（6分）， 求 dz8、（5分），求 9、（5分）， 求10、（6分）   求五、     应用题   1、（6分）求抛物面 在点 M（1，1，3）处的切平面方程与法线方程。2、（6分）求曲面在点 （3，1，1）处的切平面方程与法线方程。3、（8分）求在（1，4）处带有皮亚诺余项的泰勒公式（到二阶为止）。4、（8分）求在（1，-2）处

26、的泰勒公式5、（8分）求函数的极值。6、（6分）求函数的极值7、（8分）求在（0，0）处的泰勒公式。8、（6分）求函数的极值。9、（8分）求函数的极值。六、     证明题1、（7分）证明：在点（0，0）处连续且偏导数不存在。2、（7分）证明；   在（0，0）点连续，且 不存在。3、（7分）证明： 在 点（0，0）处连续且偏导数存在。4、（5分） 设 函数在的某邻域内存在偏导数，若（x，y）属于该邻域，则存在和  ，使得。5、（7分）证明：&#

27、160; 在 点（0，0）不可微。答案：一、选择题（每小题2分）   1、C   2、D  3、C  4、D  5、B  6、C  7、B  8、B  9、B  10、A二、判断题  （每小题2分）   1、 ×  2、×  3、×

28、;  4、  5、×  6、  7、  8、×   9、×  10、三、填空题：（每小题2分）   1、(1,-3,-3)     2、5     3、     4、     5、 

29、;       6、      7、充要    8、9、                  10、常量四、计算题1、（5分）  求 解：       

30、          （2分）                                       &#

31、160;             （5分）2、（6分）求曲面在点 （3，1，1）处的切平面方程与法线方程。解；  （3，1，1）在第一卦线       曲面方程可改为       而         在（1，1

32、，3）处                 （3分）        切平面方程为          即            

33、60;                         （5分）       法线方程为                

34、               （6分）3、（8分）求在（1，4）处带有皮亚诺余项的泰勒公式（到二阶为止）。解：                            &#

35、160;                （3分）                                

36、0;       （6分）             （8分）4、（8分）求在（1，-2）处的泰勒公式。解：                        

37、60;            （3分）                                     

38、;   （6分）             （8分）5、（8分）求函数的极值。解：                     得驻点 （0，0）和 （1，1）    

39、0;           （3分）       又      在 （0，0）点处，A=0，  B=-3，  C=0         （0，0）不是极值点。     （6分

40、）      在 （1，1）点处，A=6 0，  B=-3，  C=6          （1，1）是极小值点       极小值为 f（1，1）= -1。            

41、        （8分）6、（6分）求函数的极值。解：           得驻点 （0，0）， （1，0）， （0，1），    （3分）   又    在 （0，0）点处，A=0，  B=1，  C=0 &

42、#160;     （0，0）不是极值点   在 （1，0）点处，A=0，  B=-1，  C=-2       （1，0）不是极值点   在 （0，1）点处，A=-2，  B=-1，  C=0       （0，1）不是极值点  

43、;       （6分）   在  点处，       是极大值点   极大值为                         

44、（8分）7、（8分）求在（0，0）处的泰勒公式。解：                    （2分）                   （4分）     &#

45、160;            （6分）                      +  +            &#

46、160;                                   （8分） 解法二：可以令 u=x+y， 用一元函数 f（u）=ln（1+u）的展开式。8、（6分）求函数的极值。解： &#

47、160;                       解得驻点（3，-1）                    （3分）    

48、    又            （3，-1）是极小值点        极小值为 f（3，-1）= -8。              （6分）9、（8分）求函数的极值。解：   &

49、#160;                    解得驻点（-1，-1）                    （3分）      

50、0;                           （-1，-1）是极小值点      （6分）           极小值为  &#

51、160;            （8分）六、证明题1、（7分）证明：  在（0，0）连续且偏导数不存在。证明：          在 （0，0）点连续                

52、0;     （3分）       而   不存在            不存在       故两个偏导数不存在。            &

53、#160;          （7分）2、（7分）证明；   在（0，0）点连续，且 不存在。证明：         f（x，y）在 （0，0）连续。                 

54、60; （3分）                 不存在。 （7分）3、（7分）证明： 在 点（0，0）处连续且偏导数存在。证明：       函数在 (0,0)连续。            

55、;             （3分）                   即两个偏导数均存在。               

56、60;              （7分）4、（5分） 设 函数在的某邻域内存在偏导数，若（x，y）属于该邻域，则存在和  ，使得。证明：函数在的某邻域内存在偏导数，         （2分）      用一元函数的中值定理，   

57、0;  存在和  ，使得。      （5分）5、（7分）证明：  在 点（0，0）不可微。证明：因为                     （3分）         

58、                                                 （5分）&#

59、160;               而  不存在（令y=kx， 沿此直线趋近于（0，0）时，极限随k的变化而变化）       所以函数在点（0，0）不可微。                

60、;             （7分）      第十七章    多元函数微分学1.      试求分别对的偏导数.2.      设向量函数, 试求其导数.3.      证明: 若存在, 在点连续, 则在点可微.4.      设, 在上连续. 试证: 在上关于满足利普希茨条件.5.      设与满足: 在点处连续, 可微, 且. 试证在点可微, 且有