导数练习题及答案

1、 章末检测 一、选择题 1已知曲线yx22x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( ) A(1,3) B(1，3) C(2，3) D(2,3) 答案 B 解析 f(x)2x20，x1. f(1)(1)22×(1)23.M(1，3) 2函数yx42x25的单调减区间为( ) A(，1)及(0,1) B(1,0)及(1，) C(1,1) D(，1)及(1，) 答案 A 解析 y4x34x4x(x21)，令y<0得x的范围为(，1)(0,1)，故选A. 3函数f(x)x3ax23x9，在x3时取得极值，则a等于( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 f(x)3x22ax

2、3.由f(x)在x3时取得极值， 即f(3)0，即276a30，a5. 4函数yln1|x 1|的大致图象为( ) 答案 D 解析 函数的图象关于x1对称，排除A、C，当x1时，yln(x1)为减函数，故选D. 5二次函数yf(x)的图象过原点，且它的导函数yf(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数yf(x)的图象的顶点所在象限是( ) A第一 B第二 C第三 D第四 答案 C 解析 yf(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数yf(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限 6已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取

3、值范围是( ) A( ，3) B 3 ，3 C (3，) D( 3 ，3) 答案 B 解析 f(x)3x22ax10在(，)恒成立，4a2120? 3a 3. 7设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于( ) Ae2 Bln 2 C.ln 2 2 De 答案 D 解析 f(x)x·(ln x)(x)·ln x1ln x. f(x0)1ln x02， ln x01， x0e. 8设函数f(x)1 3xln x(x0)，则yf(x)( ) A在区间(1e，1)(1，e)内均有零点 B在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点 C在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)

4、内有零点 D在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 答案 C 解析 由题意得f(x)x33 x，令f(x)0得x3；令f(x)0得0x3；f(x)0得x3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，)为增函数，在点x3处有极小值1ln 30；又f(1)130，f(e)e310，f(1e)1 3e10. 9设函数f(x)sin 3x3 3cos 2x2tan ，其中 0，512，则导数f(1)的取值范围是( ) A 2,2 B 2，3 C3 ，2 D2，2 答案 D 解析 f(x)x2sin x·3cos ， f(1) sin 3cos 2(12sin 32

5、cos ) 2sin(3) 05 12，3 334， 22sin ( 3)1.22sin (3)2. 10方程2x36x270在(0,2)内根的个数有( ) A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 令f(x)2x36x27， f(x)6x212x6x(x2)， 由f(x)0得x2或x0；由f(x)0得0x2；又f(0)70， f(2)10，方程在(0,2)内只有一实根 二、填空题 11若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_. 答案 1 解析 求导得yk1 x，依题意k10， 所以k1. 12已知函数f(x)x3ax在区间(1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是_ 答案

6、a3 解析 由题意应有f(x)3x2a0，在区间(1,1)上恒成立，则a3x2，x(1,1)恒成立，故a3. 13在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_ 答案 (2,15) 解析 y3x2102?x±2，又点P在第二象限内，x2，得点P的坐标为(2,15) 14函数f(x)x3ax2bxa2，在x1时有极值10，那么a，b的值分别为_ 答案 4，11 解析 f(x)3x22axb，f(1)2ab30， f(1)a2ab110， ? 2ab3a2ab9，? a3b3，或? a4b11，当a3时，x1

7、不是极值点，a，b的值分别为4，11. 三、解答题 15设23<a<1，函数f(x)x332ax2b(1x1)的最大值为1 ，最小值为62，求常数a，b. 解 令f(x)3x23ax0， 得x10，x2a. f(0)b，f(a) a32b，f(1)132ab， f(1) 132ab 因为2 3<a<1，所以132a<0， 故最大值为f(0)b1， 所以f(x)的最小值为f(1)132ab32a， 所以3 2a 62，所以a 63. 故a 63，b1. 16若函数f(x)4x3ax3在1 2，12上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？ 解 f(x)12x2a，若f

8、(x)在12，12上为单调增函数，则f(x)0在 12，12上恒成立， 即12x2a0在12，12上恒成立， a12x2在12，12上恒成立，a(12x2)min0. 当a0时，f(x)12x20恒成立(只有x0时f(x)0) a0符合题意 若f(x)在12，12上为单调减函数， 则f(x)0，在12，12上恒成立， 即12x2a0在12，12上恒成立， a12x2在12，12上恒成立， a(12x2)max3. 当a3时，f(x)12x233(4x21)0恒成立(且只有 x±12时f(x)0) 因此，a的取值范围为a0或a3. 17某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该

9、蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率) (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2rh200rh(元)，底面的总成本为160r2 元， 所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元 又根据题意200rh160r212 000， 所以h15 r(3004r2)， 从而V(r)r2h 5(300r4r3)

10、因为r>0，又由h>0可得r <53， 故函数V(r)的定义域为 (0,53) (2)因为V(r) 5(300r4r3)， 故V(r) 5(30012r2) 令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去) 当r(0,5)时，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数； 当r (5,53)时，V(r)<0，故V(r)在 (5,53)上为减函数 由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8. 即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大 17统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y1

11、 128 000x33 80x8(0x120)已知甲、乙两地相距100千米 (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解 (1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了100 402.5小时， 要耗油(1 128 000×4033 80×408)×2.517.5(升) (2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得h(x)(1 128 000x33 80x8).100 x1 1280x2800 x15 4(0x12

12、0)， h(x)x 640800x 2x3803640x 2(0x120) 令h(x)0，得x80. 当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是减函数； 当x(80,120)时，h(x)0，h(x)是增函数 当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25. 因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值 答 当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升 18已知函数f(x)13x3aln x13(aR，a0) (1)当a3时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求

13、函数f(x)的单调区间； (3)若对任意的x1，)，都有f(x)0成立，求a的取值范围 解 (1)当a3时，f(x)13x33ln x13，f(1)0， f(x)x23x，f(1)2， 曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程2xy20. (2)f(x)x2axx3a x(x0) 当a0时，f(x)x3a x0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0，) 当a0时，令f(x)0，解得x 3a或x 3a(舍). x (0，3a ) 3a (3a，) f(x) 0f(x) 减 极小值 增 函数f(x)的递增区间为(3a，)，递减区间为(0，3a) (3)对任意的x1，)，使f(x)0成立，只需对任意的x1，)，