课件函数的微分

1、引引 言言在理论研究和实际应用中在理论研究和实际应用中, ,常常会遇到这样的常常会遇到这样的问题问题:当自变量当自变量x有微小变化时有微小变化时, ,改变量改变量).()(xfxxfy 这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了, ,然而然而, , 对于较复杂的函数对于较复杂的函数),(xf差值差值)()(xfxxf 却是一个更复杂的表达式却是一个更复杂的表达式, , 不易求出其值不易求出其值. .一种设想一种设想是是: 设法将设法将y 表示成表示成x 的线性函数的线性函数, ,求函数求函数)(xfy 的微小的微小即即线性化线性化, , 从而把复杂问题

2、化为简单问题从而把复杂问题化为简单问题. .微分微分就是实现这种线性化的一种数学模型就是实现这种线性化的一种数学模型. .完完一、微分的概念一、微分的概念 xydyxxdy 即.2引例引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 y , 则,2xy xx面积的增量为22)(xxxy2)(2xxxxx 2xy xx 2)( x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为xxy2称为函数在 的微分x当 x 取得增量x时,x变到,xx边长由其记为记为即即)(2xoxxy故定义定义1 设函数设函数xxfxxfy)()(处可导，我们把在点称为函数称为函数)

3、(xfy 在点在点x处的微分，简称函数处的微分，简称函数y的微分，记作的微分，记作dy，即，即xxfdy)(则则,xdx x xy 当当 时，时，从而从而称为自变量的微分，称为自变量的微分，,)(dxxfdy 于是于是),(xfdxdy从而从而即导数是因变量的微分与自变量的微分之商即导数是因变量的微分与自变量的微分之商.所以导数又所以导数又称为微商称为微商.因此函数的增量因此函数的增量y可以用它的微分可以用它的微分dy近似的表近似的表示出来：示出来：yxxfdy)(即对于函数增量即对于函数增量y可以转化为可以转化为dy的计算。的计算。例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0

4、d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112又如又如,解解因为因为,2xdxdy 由题设条件知由题设条件知所以所以.02. 001. 012 dy解解求函数求函数3xy 在在2 x处的微分处的微分; ;函数函数3xy 在在2 x处的微分处的微分为为dxxdyx 23)( .12dx 完完例例1例例21求函数求函数2xy 当当x由由改变到改变到的微分的微分. .01. 1, 1 x01. 0101. 1 xdx例例10解解半径半径10厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后, , 半径伸长了半径伸长了0.05厘米厘米, ,问面积增大了多少问面积增大了多少?设设,2ra 10 r(厘米厘

5、米), ,05. 0 r(厘米厘米). .daa rr 205. 0102 ).(2厘米厘米 完完定理定理1函数函数 在在 处可微的充分必要处可微的充分必要)(xfy x条件是它在条件是它在 处可导处可导. x证明：必要性证明：必要性:在在 处可微处可微, )(xfx)()(xoxxgy xxoxgxy )()( 即即 在在 处可导且处可导且 )(xfx)()(xgxf )(lim0 xgxyx 充分性充分性:0)(lim0 xfxyx 即即 )(lim0 xfxyx )(xfx在在 处可导处可导)1()(oxfxy 由无穷小的定义，有由无穷小的定义，有)()()1()(xoxxfxoxxfy

6、 从而从而)(xf即即 在在 处可微处可微.x由定理由定理2.4.1知知: 可导可导 可微，可微，)()(xfxg )()(xoxxfy 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式dxxfdy)( 0)( cdxdxxdcos)(sin xdxxd2sec)(tan xdxxxdtansec)(sec adxaadxxln)( dxaxxdaln1)(log dxxxd1)( xdxxdsin)(cos xdxxd2csc)(cot xdxxxdcotcsc)(csc dxeedxx )(dxxxd1)(ln dxxxd211)(arcsin dxxxd211)(arccos 基本初等函数的

7、微分公式基本初等函数的微分公式dxaxxdaln1)(log dxxxd1)(ln dxxxd211)(arcsin dxxxd211)(arccos 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式dxaxxdaln1)(log dxxxd1)(ln dxxxd211)(arcsin dxxxd211)(arccos dxxxd211)(arctan .11)cot(2dxxxarcd 完完微分四则运算法则微分四则运算法则dxxfdy)( 导数的四则运算法则导数的四则运算法则微分的四则运算法则微分的四则运算法则)(cucu cducud )()(vuvu dvduvud )()(uvvuuv u

8、dvvduuvd )(2)(vuvvuvu 2)(vudvvduvud 微分四则运算法则微分四则运算法则2)(vuvvuvu 2)(vudvvduvud 微分四则运算法则微分四则运算法则2)(vuvvuvu 2)(vudvvduvud 以乘积的微分运算法则为例以乘积的微分运算法则为例:dxuvuvd)()( dxuvvu) ( dxuvvdxu )()(dxvudxuv .udvvdu 完完例例3解解求函数求函数的微分的微分. .xexy23 因为因为23)(xexy xxexex232223 )23(22xexx 所以所以dxxexdxydyx)23(22 或利用微分形式不变性或利用微分形式

9、不变性)()(2332xxedxxdedy dxexdxxexx232223 .)23(22dxxexx 完完例例4解解求函数求函数的微分的微分. .xxysin 因为因为 xxysin2sincosxxxx 所以所以dxydy .sincos2dxxxxx 完完复合函数的微分法复合函数的微分法设函数设函数)(ufy 及及)(xu 都可导都可导, ,则复合函数则复合函数)(xfy 的微分为的微分为dxydyx .)( )( dxxuf 由于由于,)( dudxx 故复合函数故复合函数)(xfy 的微的微分公式为分公式为duufdy)( 或或duydyu 由此可见由此可见, ,无论无论x是自变量

10、还是中间变量是自变量还是中间变量, ,函数函数)(xfy 的微分形式的微分形式微分形式不变性微分形式不变性dxxfdy)( 总是总是微分形式不变性微分形式不变性表明表明:当变换自变量时当变换自变量时u为为(即设即设复合函数的微分法复合函数的微分法dxxfdy)( 微分形式不变形微分形式不变形表明表明:当变换自变量时当变换自变量时u为为(即设即设微分形式不变形微分形式不变形复合函数的微分法复合函数的微分法dxxfdy)( 微分形式不变形微分形式不变形表明表明:当变换自变量时当变换自变量时u为为(即设即设保持不变保持不变. .duufdy)( 另一变量的任一可微函数时另一变量的任一可微函数时),

11、,微分形式微分形式完完微分形式不变形微分形式不变形例例5解解设设),12sin( xy求求.dy设设,sinuy , 12 xu则则)(sinuddy uducos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 注注: :与复合函数求导类似与复合函数求导类似, ,可不写出中间变量可不写出中间变量, ,这样更加直接和方便这样更加直接和方便. .完完求复合函数的微分也求复合函数的微分也例例6解解完完设设,2sin xey 求求.dy应用微分形式不变性有应用微分形式不变性有xdedyx2sinsin2 dxxexcossin22sin .2sin2sindxxex

12、xxdexsinsin22sin 例例7解解已知已知,22xeyx 求求.dy222222)()()(xxdeedxdyxx 422222xxdxedxexxx .)1(232dxxxex 完完例例8解解在等式在等式 的括号中填入适当的括号中填入适当tdtd cos)( 使等式成立使等式成立. .,cos)(sintdttd )(sin1costdtdt );sin1(td 一般地一般地, , 有有.cossin1tdtctd 完完的函数的函数,三、微分的几何意义三、微分的几何意义)(xfy 0 xtdyy)( xo xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就

13、是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 p .,mnmpmx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 mn当 很小时,xyyd微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当当 | x | 很小时很小时( (记作记作 | x | 1) )， 有有 y dy .即即f (x0 + + x) - - f (x0) f (x0) x， 或或f (x) f (x0) + + f (x0)(x - - x0). 特别地特别地, , 令令, 00 x,xx 得到函数得到函数)(xf在点在点0 x附近的近似公式附近的近似公式

14、:xffxf )0( )0()(常用函数的近似计算公式常用函数的近似计算公式由微分近似公式由微分近似公式,)0( )0()(xffxf 易得常用初等函数的近似公式易得常用初等函数的近似公式|(| x很小时很小时):(1);111xnxn (2)x(xx sin为弧度为弧度);(3)x(xx tan为弧度为弧度);(4);1xex (5).)1ln(xx 完完例例12解解计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值: :(1);5 .9983(2).03. 0 e(1)335 . 110005 .998 310005 . 111000 30015. 0110 0015. 031110.995. 9 (2)03. 0103. 0 e完完.97. 0 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfx