本原性问题驱动下高中数学变式教学提升学生创新能力探究

1、    本原性问题驱动下高中数学变式教学提升学生创新能力探究    路锋杰【摘要】知识的本原性是数学概念的根源或构成的最根本属性，对本原性的思考凸显为一种刨根问底的探寻精神，始终把理解知识的本质作为首要问题.从课堂教学的角度可以理解为以变式教学为载体，深化知识本原性的观念、思想和方法.本原性问题驱动下的高中数学变式教学，可以强化学生的双基，内化知识，提高课堂的教学效果，落实新课标的核心素养，激发学生的创新能力.【关键词】本原性问题;变式教学;创新能力【基金项目】本文为甘肃省教育科学“十三五”规划2020年度一般课题“本原性问题驱动下高中数学变式教学的行动

2、研究”阶段性研究成果，课题立项号gs2020ghb1992.本原性问题驱动下高中数学变式教学是指在教学过程中通过变更高中数学概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从变的现象中发现不变的本质，从不变的本质中探究变的规律的一种教学方式.本原性问题驱动下高中数学变式教学是通过一个问题的变式达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学双基，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学习的能力都具有很好的积极作用.一、挖掘知识概念本质，强化双基新课标倡导教师不仅要教会学生概念，还要让学生通过学

3、习体会透过现象观察本质，真正理解数学概念的本质.课堂中，教师应通过变式教学，让学生体会从不变的本质中探究变的规律，加深对数学概念的理解，最后回归教材，强化双基，构建高效数学课堂.学习“函数的单调性与导数的关系”这节课时，教师应先讲清楚函数单调性与导数的关系，让学生理清两者内在的逻辑关系，再改变题目中的已知条件或所求结论，激发学生的思维，创设活跃的课堂氛围，学生通过互动交流，分享心得体会，强化双基.例1 若函数h（x）=ln x-12ax2-2x（a0）在1，4上单调递减，则实数a的取值范围是多少？教师分析：本题主要考查函数的单调性与导数的关系，因为函数在闭区间上单调递减，只需令导函数在闭区间上

4、恒小于等于零即可.学生按照教师的分析很快得到以下解答过程.学生解答：因为h（x）在1，4上单调递减，所以当x1，4时，h（x）=1x-ax-20恒成立，即a1x2-2x恒成立.令g（x）=1x2-2x，所以g（x）max=-716（此时x=4），所以a-716.又因为a0，所以a的取值范围是-716，0（0，+）.变式1 若函数h（x）=ln x-12ax2-2x（a0）在1，4上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是多少？教师分析：本题是例1的变式，改变试题的条件，属于二级变式，锻炼学生对知识的灵活应用，尤其是存在单调区间，学生容易出错.教师通过这样的变式教学体现教学重点，突破教学难点，使学

5、生加深对概念的理解.学生解答：因为h（x）在1，4上存在单调递减区间，所以h（x）0在1，4上有解，所以当x1，4时，a1x2-2x有解，而当x1，4时，令g（x）=1x2-2x，g（x）min=-1（此时x=1），所以a的取值范围是-1，0）（0，+）.变式2 若函数h（x）=ln x-12ax2-2x（a0）在1，4上不单调，则实数a的取值范围是多少？教师分析：本题通过对例1的条件再次改变，让学生更为清楚地理解函数的单调性与导数之间的关系，激发学生的求知欲，让课堂更加“热闹”.学生在交流中理解知识的本质，培养核心素养.学生解答：因为h（x）在1，4上不单调，所以h（x）=0在1，4上有解，

6、即a=1x2-2x=1x-12-1在1，4上有解，令g（x）=1x2-2x，则-1g（x）-716.所以实数a的取值范围是-1，-716.教师点评：由函数的单调性求参数取值范围的方法.1.可导函数f（x）在区间（a，b）上单调，实际上就是在该区间上f （x）0（或f （x）0）恒成立，得到关于參数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，进而求出参数的取值范围.2.可导函数f（x）在区间（a，b）上存在单调区间，实际上就是f （x）0（或f （x）0）在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.3.若已知f（x）在区间i上的单调性，区间i上含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，

7、令i是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.二、多维视角变式教学，落实新课标的核心素养变式教学实际上是根据高中数学知识内容、授课对象和教学环境形成的一种综合性教学方法.变式教学以本原性知识问题为背景，通过题型有限的变式训练达成解决无限的举一反三的目的，这种教学可以优化课堂结构，构建和谐的课堂氛围，激发学生学习数学的积极性，引导学生主动学习和思考，促进学生的全面发展，从而落实新课标的核心素养.例2 abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知asina+c2=bsin a，a=1且c=1，求abc的面积.教师分析：本题主要考查三角函数与解三角形方面的知识，是一道非常经典的试题，对提升学

8、生的数学思维品质有很大的帮助.学生解答：由题设及正弦定理得sin asina+c2=sin bsin a.故b=60°.sabc=12acsin b=12×1×1×sin60°=34.变式1 若本例中的条件a=1且c=1变为b=1，求abc面积的最大值.教师分析：改变上题中的条件，题目转化为已知一角及一边，求面积的最大值，利用正、余弦定理和基本不等式可以顺利解答，培养了学生的基本运算能力.学生解答：由余弦定理得 b2=a2+c2-ac2ac-ac=ac，所以ac1，所以sabc=12acsin b12×1×32=34，所以（

9、sabc）max=34.变式2 若本例中的条件a=1且c=1变为c=1，且abc为锐角三角形，求abc面积的取值范围.教师分析：继续改变上題中的条件，已知三角形的一角和该角的一条邻边，求三角形面积的取值范围.本题难度较大，对学生的思维灵活程度要求较高，利用正弦定理和三角函数相关知识解决，培养了学生灵活应用知识解决问题的能力.学生解答：由正弦定理得a=csin asin c=sin（120°-c）sin c=32tan c+12.由于abc为锐角三角形，所以30°<c<90°，故12变式3 若本例中的条件a=1且c=1变为b=1，且abc为锐角三角形，求

10、abc周长的范围.教师分析：改变题目中的条件，已知一个角和对边，再加上三角形为锐角三角形，知识的本原性得以体现，学生通过讨论、交流充分理解解三角形的一般方法，提高了学生的知识转化能力，落实了高中数学核心素养.学生解答：由题设知labc=a+b+c=1+a+c，由正弦定理得a=sin asin b=233sin a，c=sin csin b=233sin c.所以a+c=233·sin a+233sin c=2sin（a+30°）.因为30°<a<90°，所以3教师点评：解决三角形面积、周长取值范围的方法.1.对于面积公式s=12absin c

11、=12acsin b=12bcsin a，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理转化为求三角函数的最值问题.三、通过本原性问题拓展联想，激活学生的创新思维教师进行本原性问题变式教学，可以创设和谐的教学环境，创设多种形式的问题，让学生学得轻松、学得灵活，从而最大限度地挖掘学生的潜能，激发学生的创新思维.课堂通过数学变式活动可变静态教学为主动参与，赋予数学课堂蓬勃的生机，让一个个鲜活的学生个体，在自主参与的过程中，有动手的机会，有思考的空间，有创新的余地.教师要全方位激发学生的学习欲望，激活学生的思维，让学生灵活地运用数学知识，解决生活中的实际问题，使

12、学生成为学习真正的主人.例3 已知数列an的前n项和sn=n2+n2，nn+，求数列an的通项公式.教师分析：数列的通项是数列中的核心问题，教师要善于引导，激发学生的求知欲，为数列的学习奠定坚实的基础.本题着重解决数列的通项和前n项和之间的关系，学生容易忽视n=1的情形.学生解答：当n=1时，a1=s1=1，当n2时，an=sn-sn-1=n.因为a1=1也满足an=n，故数列an的通项公式为an=n.变式1 在数列an，bn中，设sn是数列an的前n项和，已知a1=1，an+1=an+2，3b1+5b2+（2n+1）bn=2nan+1，nn+，求an的通项.教师分析：改变题目中的条件，增加试

13、题的难度.学生不容易发现该题中条件与前n项和之间的关系，没有透过现象认识问题的本质.教师通过变式教学，让学生深刻理解知识的本原，激活学生的思维，培养创新精神.学生解答：因为an+1-an=2，所以an是等差数列.又a1=1，所以an=2n-1，从而sn=n（1+2n-1）2=n2.当n2时，3b1+5b2+（2n-1）bn-1=2n-1an-1+1.又因为3b1+5b2+（2n+1）bn=2nan+1，-，因为an=2n-1，可得bn=2n-1.而b1=1也满足上式，故bn=2n-1.变式2 数列an满足nn+，a1·a2·a3an=n2+n，求数列an的通项公式.教师分析

14、：继续改变题目的条件，原本对数列的和的训练使学生初步掌握了技巧，现在变成各项的乘积，如何求通项？绝大多数学生会认为无从下手没有办法解答，本题是知识本原性的很好展示，对学生理解知识有很大的帮助，只需要稍做改变即可求解，培养了学生的创新能力.学生解答：数列an当n=1时，a1=2.当n2时，由a1·a2·a3an=n2+n，可得a1·a2·a3an-1=（n-1）n，则an=a1·a2·a3ana1·a2·a3an-1=n+1n-1，而a1=2不符合an=n+1n-1，所以an=2，n=1，n+1n-1，n2.教师点评：解决数列的通项与前n项和之间的问题.1.若数列an的前n项和为sn，通项公式为an，则an=s1，n=1，sn-sn-1，n2.2.数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.本原性问题驱动下高中数学变式教学可以激发学生