函数周期性教案

1、细心整理欢迎下载函数周期性教案一，函数周期性1，函数 周期性的关键的几个字“有规律地重复显现”；当自变量 增大任意 实数 时（自变量有意义） ，函数值 有规律的重复显现假如函数 fx=fx+t 或 fx+a=fx-b其中 a+b=t, 就说 t 是函数的一个周期.t 的整数倍也是函数的一个周期,2. 最小正周期的概念：对于一个函数fx ，假如它全部的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小正数叫fx 的最小正周期；对于正弦函数y=sinx,自变量 x 只要并且至少增加到x+2 时， 函数值才能重复取得；所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2 ；（说明：假如以后无特别说明，周期指的就是最小正周期

2、；）在函数图象 上，最小正周期是函数图象重复显现需要的最短距离；3. 周期函数性质：（ 1）如 t （ 0 ）是 fx 的周期，就 -t 也是 fx 的周期；（ 2）如 t （ 0 ）是 fx 的周期，就nt （ n 为任意非零整数）也是fx 的周期；（ 3）如 t1 与 t2 都是 fx 的周期，就t1 ±t2 也是 fx 的周期；（ 4）如 fx 有最小正周期t* ，那么 fx 的任何正周期t 肯定是 t* 的正整数倍；（ 5） t* 是 fx 的最小正周期，且t1 、t2 分别是 fx 的两个周期，就（ q 是有理数集 ）（ 6）如 t1 、t2 是 fx 的两个周期，且是无理

3、数 ，就 fx 不存在最小正周期；（ 7）周期函数fx 的定义域m 必定是双方无界的集合；细心整理欢迎下载4. 重要推论1，如有 fx 的2个 对称轴 x=a,x=b. 就 t=2|a-b|2，如有 fx ）的 2个对称中心（a,0 ） b,0 就 t=2|a-b|3, 如有 fx 的1 个对称轴x=a, 和1个对称中心 b,0 ，就 t=4|a-b|二，周期函数的性质及题型；利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法. 此类问题的解决应留意到周期函数定义、紧扣函数图象特点，查找函数的周期，从而解决问题. 以下给出几个命题：命题 1：如 a是非零常数，对于函数y=fx定义域的一切x ，满意以下

4、条件之一，就函数y=fx是周期函数 .（ 1）函数 y=fx满意 fx+a= fx，就 fx是周期函数，且2a是它的一个周期.（ 2）函数 y=fx满意 fx+a=1，就 fx是周期函数，且2a是它的一个周期.f x（ 3）函数 y=fx满意 fx+a+fx=1，就 fx是周期函数，且2a是它的一个周期.命题 2：如a、b ab 是非零常数，对于函数y=fx定义域的一切x ，满意以下条件之一，就函数y=fx是周期函数 .(1) 函数 y=fx满意 fx+a=fx+b，就 fx是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2) 函数图象关于两条直线x=a ，x=b对称，就函数 y=fx是周期函数，且

5、2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点ma,0 和点 nb,0 对称， 就函数 y=fx是周期函数， 且2|a-b|是它的一个周期.(4) 函数图象关于直线x=a，及点 mb,0 对称，就函数y=fx是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题 3：如 a是非零常数，对于函数y=fx定义域的一切x ，满意以下条件之一，就函数y=fx是周期函数 .（ 1）如 fx是定义在 r上的偶函数，其图象关于直线x=a 对称，就 fx是周期函数，且2a是它的 一个周期 .（ 2）如 fx是定义在 r上的奇函数，其图象关于直线x=a 对称，就 fx是周期函数，且4a是它的一个周期 .我们也可以把

6、命题3看成命题 2的特例 , 命题 3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件 a:定义在 r上的函数 fx是一个偶函数.条件 b: fx关于 x=a 对称条件 c: fx是周期函数 , 且2a是其一个周期.结论 :已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明 :已知 a、b c （ 20xx年全国高考第22题其次问） fx是r上的偶函数f-x=fx又 fx关于 x=a对称 f-x=fx+2a fx=fx+2a fx是周期函数 , 且 2a是它的一个周期细心整理欢迎下载已知 a、c b定义在 r上的函数 fx是一个偶函

7、数f-x=fx又 2a是fx一个周期 fx=fx+2a f-x=fx+2a fx关于 x=a对称已知 c、b a fx关于 x=a对称 f-x=fx+2a又 2a是fx一个周期 fx=fx+2a f-x=fx fx是r上的偶函数由命题 32 ，我们仍可以得到结论:fx是周期为 t的奇函数，就ft =02基于上述命题阐述，可以发觉，抽象函数具有某些关系. 依据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1. 求函数值例1： fx是 r上的奇函数 fx= fx+4， x 0 ， 2 时fx=x，求 f2007的值解：方法一 fx= fx+4fx+8 = f

8、x+4 =fx 8是 fx的一个周期 f2007= f251× 8-1=f-1= f1=1方法二 fx= fx+4， fx是奇函数 f-x=fx+4 fx关于 x=2 对称又 fx是奇函数 8是 fx的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知 fx是定义在 r上的函数，且满意fx+21 fx=1+fx，f1=2，求 f2021的值解：由条件知fx1，故f x21f x1f xf x41f x211f x2f x类比命题 1可知，函数 fx的周期为 8，故 f2021= f251× 8+1=f1=22. 求函数解析式例3：已知 fx是定义在 r上的偶函数，fx= f4-x，且当

9、 x2,0时， fx= 2x+1，就当x4,6时求 fx的解析式解：当 x0,2时x2,0 f x=2x+1 fx是偶函数 f x=fxfx=2x+1当 x4,6时4x0,2f 4+x=2 4+x+1=2x 7又函数 fx是定义在 r上的偶函数， fx= f4-x，类比命题 3（ 1）知函数 fx的周期为 4故f-4+x=fx 当 x4,6时求 fx=2x 73. 判定函数的奇偶性细心整理欢迎下载例4：已知 fx是定义在 r上的函数，且满意fx+999=1， f999+x=f999x ，试判定f x函数 fx的奇偶性 .解：由 fx+999=1，类比命题1 可知，函数fx的周期为1998 即

10、fx+1998=fx；由f xf999+x=f999 x 知fx关于 x=999对称，即 f x=f1998+x故fx=f xfx是偶函数4. 判定函数的单调性例5：已知 fx是定义在 r上的偶函数，fx=f4-x，且当 x2,0时， fx是减函数，求证当 x4,6时 fx为增函数解：设 4x1x26 就2x24x140 fx在-2 ，0 上是减函数f x24f x14又函数 fx是定义在 r上的偶函数， fx= f4-x，类比命题 3（ 1）知函数 fx的周期为 4故fx+4=fx f x2 f x1 f-x=fxf x2 f x1 故 当 x4,6时fx为增函数例6：fx满意 fx =-f

11、6-x， fx= f2-x，如 fa =-f2000， a 5 ， 9 且 fx在5 ， 9上单调 . 求 a的值 .解： fx=-f6-xfx关于（ 3， 0）对称 fx= f2-x fx关于 x=1对称依据命题 2（ 4）得 8是fx的一个周期f2000= f0又 fa =-f2000 fa=-f0又 fx =-f6-x f0=-f6 fa=f6 a 5 ， 9 且fx在 5 ， 9 上单调 a =65. 确定方程根的个数例7：已知 fx是定义在 r上的函数， fx= f4 x ， f7+x= f7 x,f0=0，求在区间 1000， 1000 上fx=0至少有几个根？解：依题意 fx关于

12、 x=2， x=7 对称，类比命题2（ 2）可知 fx的一个周期是10故fx+10=fxf10=f0=0又f4=f0=0即在区间 0 ， 10 上，方程 fx=0至少两个根又fx是周期为 10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 fx=0在区间 1000， 1000 上至少有 1+2200010=401个根 .练习细心整理欢迎下载1：定义在 r 上的特别数函数满意：f 10+x 为偶函数，且f 5 x = f 5+x, 就 f x 肯定是（）a 是偶函数，也是周期函数b 是偶函数，但不是周期函数c是奇函数，也是周期函数d 是奇函数，但不是周期函数2.求证 :如 fxxr 为奇函数，就方程fx =0 如有根肯定为奇数个；-13. 设定义域为r 的函数 y = f x、y =gx 都有反函数，并且fx 1 和 gx 2 函数的图像关于直线y = x对称，如 g5 = 1999，那