函数与不等式问题的解题技巧

1、学习必备欢迎下载函数与不等式问题的解题技巧一、重点解析1明白映射的概念，懂得函数的概念2明白函数的单调性和奇偶性的概念，把握判定一些简洁函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程3明白反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简洁函数的反函数4懂得分数指数的概念，把握有理指数幂的运算性质，把握指数函数的概念、图象和性质5懂得对数的概念，把握对数的运算性质，把握对数函数的概念、图象和性质6能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简洁的实际问题7在娴熟把握一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，把握其它的一些 简洁不等式的解法通过不等式解法的复

2、习，提高同学分析问题、解决问题的才能以及运算才能8把握解不等式的基本思路，即将分式不等式、肯定值不等式等不等式，化归为整式不等式 组，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式9通过复习不等式的性质及常用的证明方法比较法、 分析法、 综合法、 数学归纳法等， 使同学较敏捷的运用常规方法即通性通法 证明不等式的有关问题10通过证明不等式的过程，培育自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的才能11能较敏捷的应用不等式的基本学问、基本方法，解决有关不等式的问题12通过不等式的基本学问、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分学问中的应用， 深化数学学问间的融汇贯穿，

3、从而提高分析问题解决问题的才能 在应用不等式的基本学问、方法、 思想解决问题的过程中， 提高同学数学素养及创新意识二、例题解析1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮忙考生敏捷把握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.例 1（ 20xx 年广东 卷理）已知函数n=f x1的定义域为m ， gx= ln11xx 的定义域为n ，就 m（ a ） x | x1（b） x | x1（ c） x |1x1（ d）命题意图 : 此题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解 ： 函 数f x1的 定 义 域m=1 xx x1 ,

4、gx= ln1x 的 定 义 域n=x x1 , mn= x |1应选 cx1 例 2. 20xx年湖南卷）函数ylog 2 x2 的定义域是 （ a ） 3,+ （b ） 3, + （c） 4, + （ d） 4, + 命题意图 : 此题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.学习必备欢迎下载解：由x0x 4. ，应选 d.log 2 x202.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培育人的逆向思维才能和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的懂得 .例 3（ 20xx 年安徽卷）函数y2x, x0x2 , x0的反函数是（）（ a ） yx, x02x, x0（b ） y2x, x0x

5、 , x0（ c） yx , x02（d ） y2x, x0x , x0x , x0命题意图 : 此题主要考查有关分段函数的反函数的求法.解 :y2x,xy .f1 xx , x0;22又yx2 , y0,x , x0y2f 1 xx, x0 .x, x0.应选 c.例 4（20xx 年湖北 卷理） 已知函数 y2xa 的反函数是y bx3 ，就 a；b命题意图 : 此题主要考查反函数的求法及待定系数法等学问.解：y2xa,x1ya ,y1 xa1 x1 a. 与 ybx3 比较得 a6， b1 .22222；故填 6 123.复合函数问题复合函数问题,是新课程、 新高考的重点 .此类题目往往

6、分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例 5（20xx 年北京 卷文）对于函数f xx2 ，f x x2 2 ，f xcos x2 ，判定如下两个命题的真假：命题甲：f x2 是偶函数；命题乙：f x 在 ， 上是减函数，在2， 上是增函数；能使命题甲、乙均为真的全部函数的序号是（） 命题意图 : 此题主要考查利用复合函数和函数单调性等学问解决问题的才能.解：f x x2 2 ,f x2x2 是偶函数，又函数f x x2 2 开口向上且在， 上是减函数，在 2，应选 上是增函数故能使命题甲、乙均为真的函数仅有f x x2 2 例 6（ 2

7、0xx 年安徽卷）函数fx 对于任意实数x 满意条件fx21，如 ffx15, 就ff5 .学习必备欢迎下载命题意图 : 此题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的才能.解：由 fx21 ,得 fx4 fx1fx2f x ，所以f 5f 15，就ff5f 5f 111 .f 1254.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容敏捷多样. 这里主要帮忙读者深刻懂得奇偶性、单调性和周期性的定义，把握判定方法， 正确熟悉单调函数与奇偶函数的图象 .例 7（20xx 年全国卷）已知函数1fxaxz, ，如 fx 为奇函数， 就 a .1命题意图 : 此题主

8、要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用.常规解法：由fx 为奇函数 ,所以 fx+f-x=0, 即 ax12x1a12 x10,11a22 x112 x11 1222x11 . 应填 1 .22奇妙解法：由于fx 为奇函数 ,所以 f0=0, 即 a12010,a1 . 应填 1 .22点评：奇妙解法巧在利用了fx 为奇函数 ,所以 f0=0, 这一重要结论 .例 8（20xx 年全国卷理i ）f x ， g x 是定义在 r 上的函数，h xf xg x ，就“f x ， g x均为偶函数”是“h x 为偶函数”的（）a 充要条件b 充分而不必要的条件 c必要而不充分的条件d既不充分也

9、不必要的条件命题意图 : 此题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关学问.解 先证充分性：由于f x ， g x 均为偶函数，所以 f xf x, gxg x ，有hxf xgxf xg xh x ，所以h x 为偶函数反过来，如h x 为偶函数，f xg x 不肯定是偶函数如h xx2 ，f xx, g xx2x ，应选 b.方法二：可以选取两个特别函数进行验证应选 b点评： 对充要条件的论证，肯定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不行同时，对于抽象函数，有时候可以选取特别函数进行验证 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是争论和记

10、忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要把握绘制函数图 象的一般方法，把握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象争论函数的性质.此类题目仍很好的考查了数形结合的解题思想.例 9 20xx年山东卷 函数 y= 1+ax0<a<1 的反函数的图象大致是学习必备欢迎下载（ a ）（ b）（ c）（ d）命题意图 : 此题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等学问.解 ： y= 1+ax0<a<1, f 1 xloga x1, 0a1. 此 函 数 图 象 是 由 函 数fxlog a x, 0a1 向右

11、平移一个单位得到的.应选 a.6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大， 考查内容和形式敏捷 多样 . 这里主要帮忙考生在把握有关函数学问的基础上进一步深化综合运用学问的才能，把握基本解题技巧和方法，并培育读者的思维和创新才能.例 10（20xx 年浙江卷 文）已知f x| x 21 |x 2kx.（）如 k = 2，求方程（）如关于x 的方程f xf x0的解；0在（ 0，2）上有两个解x1， x2，求 k 的取值范畴，并证明114.x1x2 命题意图：此题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础学问，以及综合运用所学学问、分类争论等思想方法分析和解决

12、问题的才能；满分15 分；（ i）解：当 k2时,f x| x 21 |x22x0.分两种情形争论：当 x 211时,即 x1或x1时 ， 方程化为2x22x10,解得 x13 .由于0131,舍去,所以 x13 .222当 x 210时,即1x1， 方程化为 1+2x = 0， 解得 x1 ，2由得，当k2时, 方程f x0的解是x13 ,或x1 .22（ ii ）解：不妨设02x1x22 ，由于 fx2xkx kx1,1, | x | 1,| x |1,所以 f x在 0,1是单调递函数，故 f x0在 0,1上至多一个解，如x , x1,2, 就x x10, 故不符合题意,因此 , x0

13、,1 , x1,2.121 2122由f x10, 得k1, 所以 k1;x1由f x 0, 得k12 x , 所以7k1.22x22故当7k21时,f x0在0, 2 上有两个解 .方法一：学习必备欢迎下载由于 x10,1 , 所以 x11 , 而方程 2 x2 k2kx10的两根是kk 28;4由于 x21,2, 所以 x2kk8 , 4就 11k41 k 28k ,x1x2k 28k2而yk 28k在72,1上是减函数 , 就k8k7 2788,因此 114.222x1x2方法二：由于 x10,1, 所以kx110 ；由于 x21,2, 所以 2 x 2kx210 ，2由消去k，得2x

14、x2xx0即,112 x又.由于x1, 所2以 ,114.1 21222x1x27.以集合为背景的不等式x1x2以集合为背景的不等式 ,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的,解题时应留意将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,精确解题 .例 11. （ 20xx 年北京卷文 ）记关于 x 的不等式xa0 的解集为 p ，不等式x1 1的解集为 q x1（i ）如 a3 ，求 p ；（ii ）如 qp ，求正数 a 的取值范畴命题意图：此题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含肯定值的不等式的解法.解：（ i ）由 xx30 ，得 px11x3 （ii ） qx x1 1x

15、0 x 2 由 a0 ，得 px1xa ，又 qp ，所以 a2，即 a 的取值范畴是2， 8.以线性规划形式显现的不等式以线性规划形式显现的不等式,重在考查数形结合的解题才能.这种题目解题时要留意依据已知不等式组作出图形,分析求解 .例 12.（ 2006 年辽宁卷） 双曲线 x2示该区域的不等式组是y24 的两条渐近线与直线x3 围成一个三角形区域,表xy0xy0（b）xy0（c）xy0（d ）xy00x30x30x30x3（a ）xy0xy0xy0命题意图： 此题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的学问，表达数形结合才能.解：作图可知三角形区域在第一象限.即满意xy0xy00x3学习

16、必备欢迎下载应选 a9.以简易规律为背景的不等式以简易规律为背景的不等式 ,解题时往往以不等式为工具,来确定命题 ,用简易规律学问解决问题 .例 13.（ 2006 年山东卷 ） 设21，就是的x2p : xx200, q :0pq| x |2（ a ）充分不必要条件（ b）必要不充分条件（ c）充要条件（d ）既不充分也不必要条件命题意图： 此题主要考查利用不等式和简易规律学问解决问题的才能.解：由题设可得 :p : x2x200,即p : x5, x4.2q : 1x0, 即1x1,或x2, x2.| x |2应选 a10.与函数学问结合的不等式与函数学问结合的不等式 ,解题时往往以不等式

17、为工具, 结合函数学问,通过推理来解决问题.例 14.（ 2006 年山东卷 ） 设f x2ex 1, x2，就f f 2 的值为3log x21， x2.（ a ） 0（ b） 1（ c） 2（ d） 3命题意图： 此题主要考查利用不等式和函数学问解决问题的才能.解： f f 2 =f log 3 3f 12e02. 应选 c12.与平面对量学问结合的不等式与平面对量学问结合的不等式 ,解题时往往以不等式为工具, 结合平面对量学问和坐标运算,通过 和坐标运算和推理来 解决问题 .例 15.（ 2006 年辽宁卷） 设 o0,0, a1,0, b0,1 ,点 p 是线段 ab 上的一个动点,

18、apab ,如op abpa pb ,就实数的取值范畴是（ a ） 112（b ） 1212（ c） 112（d ） 12122222命题意图： 此题主要考查利用不等式和平面对量学问解决问题的才能.解： 设 px,y, 就由 apab 得,apab,即x1, y 1,1,x1,x1,解得y,y.op abpa pb,x, y 1,11x,yx,1y,x2y2y0,12220,1212 .22又点 p 是线段 ab 上的一个动点 ,01.学习必备欢迎下载121.2应选 b13.与函数的导数学问结合的不等式.与函数的导数学问结合的不等式 ,解题时往往以不等式和函数的导数 为工具 , 结合函数学问,

19、通过推理来 解决问题 .例 16. （ 2006 年江西 卷）已知函数f xx3ax2bxc 在 x2 与 x31 时都取得极值.(1) 求 a 、 b 的值及函数f x 的单调区间 ;(2) 如对 x1,2,不等式f x < c2 恒成立 ,求 c 的取值范畴 .命题意图： 本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，给定区间上二次函数的最值等基础学问的综合运用，考查就数形结合的数学思想分析问题，解决问题的才能.解： 1 f xx3ax2bxc, f x3x22axb,由f 得a2 124 a3931 ,b2,2b0, f132ab0,f x3x2x23 x2 x1,函数 f x的单调

20、区间如下表:x,2 322 ,13311,f x00f x极大值微小值所以函数f x 的递增区间为,2 与 1, ; 递减区间为 32 ,1.32 f xx31 x222xcx1,2 ,当x2 时, f x22c为极大值 ,327而f 22c,就f 22c为最大值 .要使 f x < c2 x1,2 恒成立 , 只须c2 >f 22c,解得 c <1或c > 2.14.与数列学问结合的不等式与数列学问结合的不等式 ,解题时往往以不等式和数列学问结合为工具 , 结合函数学问,通过运算和推理来 解决问题 .例 17.（ 2006 年湖北卷）设数列的前 n 项和为ansn ，

21、点n, snn nn * 均在函数 y3x2 的图像上 .（）求数列an的通项公式；学习必备欢迎下载（） 设 bn整数 m .3a n an 1，tn 是数列bn的前 n 项和， 求使得 tm 对全部20nn都成立的最小正*n命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础学问和基本的运算技能，考查分析问题才能和推理才能.解：（ i ）依题意得，snn3n2, 即 sn3n 22n .当 n 2 时，ansnsn 13n222n3 n12n16n5 ;当 n=1 时， a1s13×12 -2 ×1-1-6 ×1-5.所以 an6n5 nn .（ii ）由

22、（ i）得 bn31111，an an 16n5 6n1526n56n1n故t nb111177131.11= 1 11.1 126n56n126n1因此，使得 1 11 mnn成立的 m 必需满意 1 m ，即 m 10,故满意要求的最26n120小整数 m 为 10.15.不等式 的实际应用220不等式 的实际应用题,解题时往往以不等式为工具, 结合函数学问和函数的导数的应用,通过建立不等式模型,利用运算和推理来解决问题 .例 18（ 20xx 年重庆卷 文）（本小题满分12 分）用长为 18m 的钢条围成一个长方体外形的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少

23、时，其体积最大？最大体积是多少？命题意图： 本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础学问，以及运用不等式学问解决实际问题的才能解：设长方体的宽为x（ m），就长为2 x m ，高为h1812 x44.53x m0x3.2故长方体的体积为v x2x 2 4.53x9 x26x 3 m 3 0x3.2从而v x18x18x218x1x令v x0，解得x0 （舍去）或x=1，因此 x=1.当0x1时， v x0;当1x3时， v2 x0 ，故在 x=1 处 v x 取得极大值，并且这个极大值就是v x 的最大值 .从而最大体积vv 19126133m 3 ，此时长方体的长为2m，高为 1.5m答

24、：当长体的长为2m，宽为 1m，高为 1.5m 时，体积最大，最大体积为3m3.三、专题训练与高考猜测一.挑选题学习必备欢迎下载21. y=x2x3 的单调递减区间为（）a. ， 3b. ， 1c. 1， +d. 3， 1 2.以下函数中，在区间0， 1上是增函数的是（）a. y=xb. y=1x1c.y=3 2xd. y=x2 +2x+13.设 fx是定义在a 上的减函数，且fx 0，就以下函数：y=3 2fx,y=1+2f x,y=f2 x,y=1f x ，其中增函数的个数为（）a.1b.2c.3d.44关于 x 的方程 9x+a+4 · 3x+4=0有解，就实数a 的取值范畴是

25、（）a （-， -8 0 ， +） b、（ -， -4） -8 ，4） d、（ -， -8 5如 a>0， b>0，且 2a+b=1，就 s=2ab -4a2-b2 的最大值是（）a 212b 、21c、212d、216已知不等式m2 cos2 5m4sin 2 0 恒成立，就实数m 的取值范畴是（）a.0 m 4b.1 m4cm 4 或 x0d.m 1 或 m0二.填空题7.设 fx=x2 1x 2,就 f 14= .18.已知 fx=3 x 2,就 f3x2= .9.已知 f（ x）是奇函数，当x（ 0，1）时， f（ x） lg11x，那么当x（ 1，0）时，f（x）的表达式

26、是 10. 记 s=121012101121021211，就 s 与 1 的大小关系是.11 cos2 x 8sin 2 x11.当 x0,时 ,函数 y2xsin2 x的最小值是 .12.实数x, y 满 足 yxy ,就 x 的取值范畴是 .三.解答题13. 设函数 f（ x） =log 2（ x+1 ），当点（ x， y）在 y=f （ x）的反函数图象上运动时，对应的点（x , y ）在 y=g （ x）的图象上 .231求 g（ x ）的表达式 ; 112当 g（ x ） f（ x ）0 时，求 u（ x） =g（ x） f（ x）的最小值 .14. 在某产品的制造过程中，次品率p

27、依靠于日产量x，已知p1,当0<x100时;101x1, 当x100时.其中 x 为正整数，又该厂每生产一正品可赢利a 元，但每生产出一件次品就要缺失a 元.3学习必备欢迎下载1 将该厂的日赢利额t （元）表示为日产量x （个）的函数，并指出这个函数的定义域;2为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少？15已知xf x xx11.(1) 求f x 的单调区间；（2）如 ab0,c1ab b, 求证: f af c3 . 416某人上午7 时乘摩托艇以匀速v 千米 /小时（ 4 v 20）从 a 港动身前往50 千米处的b 港，然后乘汽车以匀速w 千米 /小时（ 30w 100）自 b 港向 300 千米处的c 市驶去，在同一天的16 时至 21 时到达 c 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、 y小时，如所需经费p10035x28y 元，那么 v 、w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.【参考答案】一.1.a提示：x22x30, 就x1或x3 ,x22x3又2x14 可知当 x1 时 函数递减.2.d提示： 函数 y= x2+2 x+1 的图象开口向下,对称轴 x=