函数与方程导学案

1、学习必备欢迎下载学案 11函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，明白函数的零点与方程根的联系，会判定一元二 次方程根的存在性及根的个数.2.依据详细函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值自主梳理1函数零点的定义1对于函数y f x x d，把使 成立的实数x 叫做函数y fx x d 的零点2方程 fx0 有实根 . 函数 y fx的图象与 有交点 . 函数 yf x有 2函数零点的判定假如函数 y fx 在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y fx在区间 内有零点，即存在c a， b，使得 ，这个 也就是 f x 0 的根我们不妨把这一结论称为零点存在性

2、定理3二次函数yax2bx c a>0 的图象与零点的关系>0 0<0二次函数yax2 bxca>0 的图象与 x 轴的交点 ， 无交点零点个数 4.用二分法求函数fx零点近似值的步骤第一步，确定区间a， b ，验证 ，给定精确度；其次步，求区间a，b的中点 c；第三步，运算 ：如 ，就 c 就是函数的零点；如 ，就令 b c 此时零点x0 a， c；如 ，就令 a c 此时零点x0 c， b；第四步，判定是否达到精确度：即如 |a b|<，就得到零点近似值a或 b；否就重复其次、三、四步自我检测1 2021 ·福建 fx2 2x 3， x 0x 2ln

3、 xx>0的零点个数为a 0b 1c 2d 32如函数y fx在 r 上递增，就函数yfx的零点 a 至少有一个b 至多有一个c有且只有一个d 可能有很多个3如下列图的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是学习必备欢迎下载a bcd4设 fx 3x 3x8，用二分法求方程3x 3x8 0 在 x 1,2内近似解的过程中得 f1<0 ， f1.5>0 ， f1.25<0 ，就方程的根所在的区间是a 1,1.25b 1.25,1.5c1.5,2d不能确定5 2021福·州模拟 如函数fx的零点与gx 4x 2x 2 的零点之差的肯定值不超过

4、0.25，就 fx可以是2a fx 4x 1b f x x 1cf x ex1d fx ln x 0.5探究点一函数零点的判定例 1判定函数y ln x 2x 6 的零点个数变式迁移 12021 ·烟台模拟 如定义在 r 上的偶函数 fx满意 fx 2f x，且当 x 0,1时， fx x，就函数y fx log 3|x|的零点个数是 a 多于 4 个b 4 个c3 个d 2 个探究点二用二分法求方程的近似解例 2求方程 2x3 3x 3 0 的一个近似解精确度 0.12变式迁移 22021 ·淮北模拟 用二分法讨论函数fx x3 ln x 1的零点时， 第一次经运算 f0

5、<0 ， f1>0 ，可得其中一个零点x0 ，其次次应运算 以上横2线上应填的内容为11a. 0， 2f2c. 1， 1f31b 0,1f 2d. 0， 1f12424探究点三利用函数的零点确定参数例 3已知 a 是实数，函数fx 2ax2 2x 3 a，假如函数y fx 在区间 1,1上有学习必备欢迎下载零点，求a 的取值范畴变式迁移 3如函数 f x 4x a·2x a 1 在， 上存在零点，求实数a 的取值范畴1 全面熟悉深刻懂得函数零点：1从“ 数” 的角度看：即是使fx 0 的实数 x；2从“ 形” 的角度看：即是函数fx的图象与x 轴交点的横坐标；3如函数 f

6、x的图象在x x0 处与 x 轴相切，就零点x0 通常称为不变号零点；4如函数 fx的图象在x x0 处与 x 轴相交，就零点x0 通常称为变号零点 2求函数y fx的零点的方法：1 代数法 求方程 fx 0 的实数根 常用公式法、因式分解法、直接求解法等；2 几何法 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yfx的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；3 二分法 主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件fa ·fb<0 说明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点3有关函数零点的重要结论：1如连续不间断的函数fx是定义域上的单调函数，就f x至多有一个零点；2连续不间断的函

7、数，其相邻两个零点之间的全部函数值保持同号；3连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变满分： 75 分一、挑选题 每道题 5 分，共 25 分 1 2021 ·天津 函数 fx 2x 3x 的零点所在的一个区间是a 2， 1b 1,0c0,1d1,222021就 fx1的值1福·州质检 已知函数 fx log 2x 3x ，如实数 x0 是方程 fx 0 的解，且 0< x1 <x0，a 恒为负b等于零c恒为正d不小于零3以下函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是学习必备欢迎下载4函数 fx x 2x 5 1 有两个零点x1 、x2 ，且

8、 x1<x2，就 a x1<2,2< x2<5bx 1>2， x2>5 cx 1<2， x2>5d 2<x1<5， x2>55 2021厦·门月考 设函数f x4x4，x1， gx log 2x，就函数hx fxx2 4x3， x>1gx的零点个数是a 4b 3c 2d 1题号12345答案二、填空题 每道题 4 分，共6定义在 r 上的奇函数fx12 分 满意：当x>0 时，fx 2006x log2 006x，就在 r 上，函数fx零点的个数为 72021 深·圳模拟 已知函数f x x2x，

9、gxx lnx，h xxx1 的零点分别为x1， x2， x3，就 x1， x2 ，x3 的大小关系是 8 2021 ·山东 如函数fx ax x aa>0，且 a 1有两个零点，就实数a 的取值范畴是 三、解答题 共 38 分9 12 分 已知函数fx x3 x2证明：存在x0 0， 1x12 4.2 ，使 fx0 x0.1012 分已知二次函数fx 4x2 2p 2x 2p2 p 1 在区间 1,1 内至少存在一个实数 c，使 fc>0 ，求实数p 的取值范畴，11 14 分2021 杭·州调研 设函数 f xax2bx c，且 f1 b3a3a>2

10、c>2b，求证： 241a>0 且 3<a< ；2函数 fx在区间 0,2内至少有一个零点；3设 x1， x2 是函数 f x的两个零点，就2|x1 x2 |<57.4学习必备欢迎下载答案自主梳理1 1 fx 02 x 轴零点2.fa ·fb<0a，bf c 0c3.x1,0 x2,0x1,0两个一个无4.fa ·fb<0fc f c 0 f a ·fc<0fc ·fb<0自我检测1 c 当 x 0 时，令 x2 2x 3 0，解得 x 3；当 x>0 时，令 2 ln x 0，解得 x e2，

11、 所以已知函数有两个零点2 b3.b4.b5.a课堂活动区例 1解题导引判定函数零点个数最常用的方法是令fx 0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数yfx就有几个零点，假如方程的根解不出，仍有两种方法判定：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要留意参考单调性可判定零点的唯独性；方法二是数形结合法，要留意作图技巧解方法一设 fx ln x 2x6，y ln x 和 y2x 6 均为增函数，fx 也是增函数又f1 0 2 6 4<0， f 3 ln 3>0 ，fx 在1,3 上存在零点又fx为增函数，函数在1,3上存在唯独零点方法二在同一坐标系画出y ln x 与 y6

12、2x 的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数 y ln x 2x 6 只有一个零点变式迁移 1b 由题意知 f x是偶函数并且周期为2.由 fx log 3|x| 0，得 fx log 3|x |，令 y f x， ylog 3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y 轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x0， xr 的范畴内共4 个 例 2解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将运算过程所得的 各个区间、 中点坐标、 区间中点的函数值等置于表格中，可清晰地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；学习必备欢迎下载在确定方程近似解所在的区间时

13、，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间 a， b 长度尽可能小，且满意fa ·fb<0 ；求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度，是指在运算过程中得到某个区间a， b后，直到 |a b|< 时，可停止运算，其结果可以是满意精确度的最 后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯独解设 f x 2x3 3x3.经运算， f 0 3<0 ， f1 2>0 ， 所以函数在 0,1 内存在零点，即方程 2x3 3x 3 0 在0,1内有解 取0,1的中点 0.5，经运算f0.5<0 ，又 f1>0 ，所以方程2x3 3x 3

14、0 在 0.5,1 内有解，如此连续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.a， ba， b20,10.5f 0.5<00.5,10.75f0.75>00.5,0.750.625f0.625<00.625,0.750.687 5f0.687 5<0的中点f a b0.687 5,0.75|0.687 5 0.75| 0.062 5<0.1至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1 的区间 0.687 5,0.75 内，可以将区间端点 0.687 5 作为函数fx零点的近似值因此0.687 5 是方程 2x3 3x 3 0 精确度 0.1 的一个近似解变式迁

15、移2d 由于f0<0 ， f 12>0，而fx x3 ln x 12中的x3 及 ln x 1 在2112， 上是增函数，故fx在 2， 上也是增函数，11故 fx 在 0， 2 上存在零点，所以x0 0， 2 ，其次次运算应运算011和 在数轴上对应的中点20 21x124.例 3解如 a 0， fx2x 3，明显在 1， 1 上没有零点，所以a 0.令 4 8a3 a 8a2 24a 4 0， 3± 7解得 a当 a2. 372时， f x 0 的重根 x372 1,1 ，当 a 372时， fx0 的重根 x372. 1,1 ，y fx恰有一个零点在1,1 上；学习

16、必备欢迎下载当 f 1 ·f 1 a 1 a 5<0 ，即 1<a<5 时， y fx在1,1 上也恰有一个零点当 yfx在 1,1 上有两个零点时，就a>0 8a2 24a 4>0 1< 1 <12af 1 0f 1 0a<0 8a2 24a 4>0，或 1< 1 <1，2af 1 0f 1 0解得 a 5 或 a< 372. 37综上所述实数a 的取值范畴是a>1 或 a2.变式迁移 3解方法一换元 设 2x t，就函数fx 4x a·2x a1 化为 gt t2 at a 1 t0， 函数

17、fx4x a·2x a 1 在 ， 上存在零点，等价于方程t2 at a1 0，有正实数根1当方程有两个正实根时， a24 a 1 0a 应满意t1 t2 a>0，t1·t2 a 1>0解得： 1<a 2 22； 2当方程有一正根一负根时，只需t1·t 2 a 1<0，即 a<1；3当方程有一根为0 时， a 1，此时方程的另一根为1.综上可知 a 2 22.方法二令 gtt 2 at a1 t0 ， 1当函数 gt在0， 上存在两个零点时， a2 4 a 1 0a实数 a 应满意 >0，2g 0 a 1>0解得 1<

18、;a 222；2当函数gt在 0， 上存在一个零点，另一个零点在 ， 0时，实数a 应满意g0 a1<0 ，解得 a< 1；3当函数 gt的一个零点是0 时， g0 a 1 0，a 1，此时可以求得函数gt的另学习必备欢迎下载一个零点是1.综上 123 知 a 2 22.课后练习区11 b 由于 f 1 2 3<0， f0 1>0，所以 fx在区间 1,0上存在零点 2 a3c能用二分法求零点的函数必需在给定区间a ，b上连续不断， 并且有 fa ·f b<0.a 、b 中不存在fx<0 ，d 中函数不连续 4 c5 b 当 x1 时，函数 f x

19、 4 x 4 与 gx log 2 x 的图象有两个交点，可得 hx有两个零点，当 x>1 时，函数 f x x2 4x 3 与 gx log 2 x 的图象有 1 个交点，可得函数 hx 有 1 个零点，函数 h x共有 3 个零点 6 3解析函数 fx为 r 上的奇函数，因此f0 0，当 x>0 时， fx 2 006 xlog 2 006x 在区1间0 ， 2 006内存在一个零点，又fx为增函数，因此在0， 内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在 ， 0内有且仅有一解，从而函数在r 上的零点的个数为3.，7 x1<x2<x3解析令 x 2x0，即 2xx，设 y

20、 2xy x；令 x ln x 0，即 ln x x， 设 y ln x， y x.在同一坐标系内画出y 2x ， y ln x， y x，如图： x1<0<x2<1，令 xx 10，就2x x 10，15 x即 x32，352>1，所以 x1<x2<x3.8 a>1解析 设函数 yaxa>0 ，且 a 1和函数 y x a，就函数 fx ax x aa>0，且 a 1 有两个零点， 就是函数 y axa>0，且 a 1与函数 y x a 有两个交点， 由图象可知当 0<a<1时两函数只有一个交点，不符合；当 a>1 时，由于函数 y axa>1的图象过点 0,1，而直线yx a 所过的点肯定在点0,1的上方，所以肯定有两个交点， 所以实数a 的取值范畴是a>1.9证明令 gx f x x.2 分111114，g2 f 228g0，g0g1<0.8 分·2学习必备欢迎下载又函数 gx在0，1上连续，10 分21所以存在 x