大鲵体重与体型关系模型

1、*大学暑期数学建模培训作业*小组队员： * 大鲵体重与体型关系模型摘 要：大鲵是3亿年前与恐龙同一时代生存并延续下来的珍稀物种，由于生态破坏，致使大鲵的数量急剧下降，许多地方的资源枯竭，甚至濒临灭绝，为了保护这一资源，大鲵成为农业产业化和特色农业重点开发品种。针对问题一：我们利用Excel软件利用所给数据作出散点图，根据散点图我们得到体重与各体型的指标回归模型为乘幂回归模型。结果表明体重与全长、体长、头长和体宽存在极显著的相关关系，其幂函数关系式依次为：；。其中体重与体宽的相关性最大，其决定系数为0.9236。 针对问题二：由于大鲵体重受多个主要体型指标的影响，所以大鲵体重与主要体型有关的相应

2、指标为多元线性回归模型，利用Matlab根据多元线性回归方程的求解，我们可以得出体重与各项主要体型指标的关系模型为： ，通过残差分析我们发现有五个异常数据，将其剔除后，再对其进行优化后的模型为：。 针对于问题三：问题三的模型为多元最优模型。我们利用Matlab最优回归方程的stepwisefit函数解决此问题。首先得到各体型指标对体重影响的相关系数，其次取相关系数绝对值最大的体型指标进行一元线性回归分析并进行回归检验；最后进行变量的追加以及回归方程的更新，从而得到最优回归方程：。关键字：Excel，乘幂回归分析，Matlab，多元线性回归分析 stepwisefit 大鲵体重与体型关系模型一、

3、问题重述大鲵是3亿年前与恐龙同一时代生存并延续下来的珍稀物种，被称为“活化石”，是世界上现存最大、最珍贵的两栖动物。它的叫声很像幼儿哭声，因此又称“娃娃鱼”。中国是大鲵的原产国，上世纪七十年代大量出口换汇，加之生态环境破坏，致使娃娃鱼的数量急剧下降，许多地方的资源枯竭，甚至濒临灭绝。为了保护这一资源，中国已于1988年将娃娃鱼列入国家二级重点保护野生动物。大鲵是农业产业化和特色农业重点开发品种,是野生动物基因保护品种。大鲵的生长除受外界环境及其生长条件影响外，与其体型各指标也密切相关，查找相关资料，根据题目附件给定的数据，通过数学建模，我们需要解决如下问题：（1）直接影响大鲵体重的主要指标；（

4、2）建立体重与主要体型指标之间的关系模型；（3）寻找体重与其它指标之间的最优关系。二、模型假设与符号说明2.1 模型假设1. 假设在统计过程中大鲵没有死亡或者生病情况；2. 假设在统计过程中外界环境没有发生改变，即大鲵的生长在此问题中与外界环境无关；3. 假设大鲵的体重只与所列体型指标有关。2.2 符号说明:大鲵体重； :（）分别表示全长、体长、头长、体高、体宽、尾柄长、肠长；:残差；:相关系数；：回归系数；：回归系数区间估计；：置信区间；：显著水平；：回归系数的显著性；：回归方程中地位的显著性；：显著性程度三、问题分析3.1问题(1)首先根据Excel表格作出体重与各项体型指标的散点图，利用

5、散点图进行回归分析，找出最优回归方法，求出决定系数；其次根据决定系数关系找出直接影响大鲵体重的主要指标。 3.2问题(2)的分析由于大鲵体重受多个主要体型指标的影响，因此我们可以对大鲵体重与主要体型指标进行多元线性回归求解，首先确定回归系数的点估计值，其次求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型，最后根据模型的检验对模型进行优化。3.3问题(3)的分析根据问题（3）可知，我们需要解决大鲵体重与除主要体型指标的最优关系，我们利用Matlab最优回归方程的stepwisefit函数解决此问题，首先计算出各体型指标对体重影响的相关系数；其次取相关系数绝对值最大的体型指标进行一元线性回归分析并进行

6、回归检验；最后进行变量的追加以及回归方程的更新，从而得到最优回归方程。四、模型建立与求解4.1问题（1）的模型建立与求解 1.利用Excel求得体重与体型各项指标的散点图，根据散点图趋势利用“右击散点图添加趋势线设置”步骤得到体重与各项体型指标的方程与，根据决定系数选择直接影响大鲵体重的指标。2.体型各项指标对体重的决定系数表：表一：各项指标全长体长头长体高体宽尾柄长肠长0.90390.88450.88540.64290.92360.67200.3876根据为弱相关，为显著相关，为极显著相关，利用上表得出直接影响大鲵体重的主要指标为全长，体长，头长与体宽。 4.2问题（2）的模型建立与求解建立

7、体重与体型指标之间的关系模型，考虑到这是在研究一个因变量与多个自变量之间的关系，可以通过建立多元线性回归分析模型来求解。4.2.1 多元线性回归分析模型准备：在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（m

8、ultivariable linear regression model ）多元线性回归模型的一般形式为： ， （1）其中为解释变量的数目,称为回归系数（regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为：， （2）也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。4.2.2 多元线性回归计算模型 （3）多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。设 是一个样本，用最大似然估计法估计参数：取，当时，达到最小； （4）（4）

9、化简可得： . ( 5) . . 引入矩阵：,方程组（5）可以化简得： (6)可得最大似然估计值： (7)的估计是 （8）公式（8）为元经验线性回归方程。 4.2.3基于Matlab的多元回归模型求解（1） b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值 ,（2）b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型 :表示回归系数的区间估计. ：表示残差：表示置信区间:表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数、值、与 对应的概率说明：相关系数 越接近1，说明回归方程越显著； 时拒绝，越大，说明回归方程越显

10、著；与对应的概率 时拒绝，回归模型成立。 表示显著性水平(缺省时为0.05)Matlab运行结果如下： 因此我们可以得到，其对应的置信区间所以，回归模型：，成立。（3） rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间图一（4）回归方程的优化：通过Matlab作出残差分析（程序代码见附录一），我们可以发现有五个异常点，利用Matlab剔除这五个异常点，利用4.2.3步骤重新作出有关大鲵体重与主要指标的多元回归模型为：。4.3 问题（3）的建立与求解4.3.1最优回归方程模型的准备 选择最优回归方程时，应考虑以下几点：（1）变量完备，回归方程中尽可能包含对因变量有实际影响的自变量；（2） 模

11、型从简，回归方程所包含的自变量的个数尽可能少；（3） 充分拟合，回归方程的剩余方差尽可能小。 最优回归方程方法步骤（利用逐步回归法）：（1）根据问题所属专业领域的理论和经验提出对因变量可能有影响的所有量；（2） 计算各个自变量对因变量的相关系数，按其绝对值从大到小排列；（3）取相关系数绝对值最大的自变量建立一元线性回归模型，检验所得回归方程的显著性，若检验表明回归效果显著则转入（4），若回归效果不显著则停止建模；（4）进行变量的追加、剔除和回归方程的更新操作。 4.3.2基于Matlab的最优回归方程求解 利用Matlab中stepwisefit函数（程序代码见附录二）根据最优回归方程的步骤得

12、出：（1）各变量在在回归方程中的地位：Matlab运行结果如下：因此我们可以得到回归系数显著性指标因为，所以最优回归模型为：五、模型评价5.1模型优缺点5.1.1模型优点 (1) 在问题(1）中，利用Excel作乘幂拟合操作简单方便，符合题目要求；(2) 在问题(2)中，多元线性模型合理的描述了体重与各项主要体型指标的关系，而且能明显看出相关性的大小；(3) 问题（3）利用stepwisefit函数合理描述出除主要体型指标外的其他指标与体重的关系，与题目相呼应。5.1.2模型缺点(1) 问题（2）中对异常数据的剔除对整体数据可能会有一定的影响。(2) 解决问题（3）时，未对异常数据进行剔除，可

13、能会影响最优方程的结果。5.2 模型改进在模型中还应考虑外界环境的变化对大鲵体重的影响加强大鲵体重与体型的相关性关系，使模型更加合理化。 参考文献1 周品著. MATLAB概率与数理统计. 北京：清华大学出版社，2006.2 胡运权，郭耀煌著. 运筹学教程（第四版）. 北京：清华大学出版社，2002. 附录一：clcclear%大鲵体重与体型关系研究%研究找出直接影响大鲵体重的主要指标:weight=9.6 13.8 15.7 13 22.6 10.7 10.4 8.6 9.5 10.4 10 12 15.1 13.5 16 9.9 11.7 11.1 10.6 14.2 11.2 11.9

14、12.4 12.9 11.1 13.9 11 22.8 47.3 9.6 24.9 19.7 18.1 49.6 26.8 13.9 13.2 15.9 10.4 13.8 19.3 12.8 11 12.2 15.6 12.8 14.6 9.9 9.4 26.8 16.6 17.7 9.5 11.9 11.3 13.6 9 101.2 15.3 64.9 17.4 17.1 15.6 12.2 14.3 64.2 15.6 16.9 13.1 13.6 12.3 11.7 20.3 11.6 3.4 14.1 10.7 14.9 15.3 12.3 13.1 14.5 11.9 21.1 1

15、6.5 13.1 16.5 12 11.6 12 9.7 12.3 8.8 15.4 11.6 33.1 17.7 6.1 5.9 7.2 55.8 4.6 5.8 11.5 6.9 5.8 5.9 8.5 8.7 28.9 6.1 11.5 8.4 8.3 3.4 8.8 9.1 8.6 8.9 10.4 7 11.7 8.9 10.3 8.7 9.2 10.1 4.6 6 6.8 7.3 6.1 7.5 4.9 4.6 6.1 4.6 5.9 8.1 4.4 3.7 5.5 4 4.7 6.4 3.7 4.1 2.8 4.5 5.7 3.4 3.7 3.5 3.6 3 3.8 2.7 4.

16、1 3.2 3.4 2.5 3.5 3.4 3.4 2.3 2.4 2.4 2.5 3 2.7 2.4 3;length1=8.8 10.2 10.5 9.5 10.9 9.3 9.1 8.5 9 9.2 8.9 10 10 9.7 9.8 9.5 9.5 9.4 9.3 10.3 9.6 9.7 9.8 9.5 9.4 9.4 9.5 11.6 15.5 8.6 12.2 11.2 11.2 14.9 12.4 9.9 10.4 10.1 9 10.1 11.3 10 9.1 9.3 10.5 9.5 10.4 9.3 8.6 12.2 11 10.7 8.8 9.7 9.4 9.8 9 1

17、8.4 10.8 15.1 11 10.9 10.6 10 10.3 15.9 10.7 11.6 10.1 10.1 9.8 9.7 11.6 9.9 13.7 10.3 10 10.8 10.7 10.1 10.3 10.4 9.7 11.4 10.9 10.2 10.8 9.9 9.7 10.1 9.4 10.3 9.2 10.6 9.8 13.9 10.6 7.5 7.6 7.9 15.8 7 7.4 9.9 7.8 8.2 7.8 8.4 8.9 13 7.6 9.1 8.7 8.6 6.5 9.6 8.3 8.5 8.5 9.6 8.1 9.6 8.5 9.7 8.6 8.9 9

18、7.1 9.6 7.5 8.5 8.1 8.5 7.1 7.1 7.6 6.9 8 8.5 6.9 6.8 7.6 6.7 7 7.7 6.6 6.6 6.2 7.1 7.4 6.3 6.6 6.2 6.5 6.3 6.6 6.2 6.9 6.6 6.4 5.9 6.5 6.3 6.5 5.7 5.7 5.7 5.9 6.2 6.05 5.8 6;length2=7.6 8.2 9.2 7.6 9.2 7.6 7.5 6.9 7.1 7.5 7.4 8.5 8.5 8.1 8.7 7.7 7.6 8 8.1 8.7 8 8.1 8.1 8.2 7.6 8.1 7.9 9.5 12.6 6.9

19、10.3 8.8 9.3 12.7 10.3 8.1 8.3 8.5 7.4 8.3 9.4 8.1 7.6 7.8 8.5 7.7 8.6 7.6 7.2 10 8.9 8.7 7.3 7.9 7.6 8.2 7.4 15.2 8.9 12.5 9.3 8.9 8.8 8.3 8.7 12.3 8.8 9.6 8.3 8.3 8.2 7.9 9.7 8.2 11.1 8.6 8.3 8.8 8.7 8.3 8.7 8.6 7.8 9.5 8.9 8.4 8.9 8.2 8.2 8.3 7.6 8.7 7.7 8.7 8.2 11.6 8.8 6.1 6.1 6.4 13.1 5.6 5.9

20、7.9 6.3 6.8 6.3 6.9 7.3 10.6 6.4 7.6 7.2 7 5.4 7.9 6.8 6.8 6.9 7.8 6.8 7.8 7.4 8.2 7.1 7.2 7.3 5.6 6.4 5.9 7 6.7 6.9 5.8 5.8 6.2 5.6 6.3 7.1 5.6 5.4 6.4 5.6 5.8 6.2 5.3 5.4 5.1 5.3 5.9 5.2 6.2 5.1 5.2 5.1 5.3 4.9 5.6 5.1 5.3 4.6 5.4 5.2 5.3 4.9 4.6 4.4 4.7 5.1 4.8 4.6 4.8;length3=2.3 2.9 3.1 2.7 3.5

21、 2.5 2.6 2.4 2.6 2.8 2.6 3.2 3 2.9 2.9 2.6 2.9 2.9 2.7 3 2.7 2.9 3.1 2.9 2.8 3.1 2.8 3.3 4.1 2.4 3 3.2 3.3 4.3 3.8 2.9 2.8 2.6 2.5 2.8 3.3 2.6 2.8 2.7 2.9 2.9 3.1 2.6 2.4 3.6 3.1 2.9 2.5 3.1 2.7 2.9 2 5.4 3 4.4 3.2 3.3 3.2 2.6 2.7 4.3 3.1 3.1 2.9 3 2.8 2.9 3.2 2.8 3.4 2.8 3 3.1 3 3 2.8 2.5 2.6 3.3 3

22、.2 3.1 3.1 2.7 2.8 2.8 2.7 2.9 2.8 3.1 2.9 4 3.02 2.02 2.04 2.15 4.5 2 2.1 2.75 2.05 2.3 2.2 2.2 1.7 3.4 2.1 2.4 2.35 2.43 1.8 2.45 2.4 2.2 2.4 2.7 2.2 2.6 2.4 2.7 2.5 2.5 2.4 2.1 2.1 2.1 2.3 2.3 2.4 2.1 2.1 2.2 2.1 2.1 2.1 2.1 1.8 2.2 1.8 1.9 2.1 1.8 1.8 1.75 2 2.1 1.7 2 1.9 1.8 1.7 1.9 1.7 1.8 1.7

23、 1.75 1.9 1.9 1.9 1.9 1.6 1.6 1.6 1.8 1.8 1.7 1.7 1.7;length4=1.6 2.1 1.8 1.8 2.1 1.7 1.6 1.3 1.6 1.7 1.6 1.6 1.7 1.6 1.8 1.5 1.6 1.6 1.6 1.7 1.6 1.8 1.8 1.7 1.5 1.6 1.5 2.3 2.6 1.5 2.3 1.9 1.7 2.5 2.3 2 2.7 1.8 1.5 1.6 1.7 1.5 1.4 1.4 1.6 1.7 1.6 1.3 1.5 2 1.8 1.7 1.5 1.6 1.6 1.7 1.4 3.3 1.5 2.3 1.

24、5 1.6 1.5 1.2 1.4 2.6 1.4 1.4 1.3 1.2 1.2 1.1 1.4 1.2 1.9 1.2 1 1.3 1.4 1.2 1.4 1.4 1.9 1.5 1.3 1.2 1.4 1.2 1.2 1.1 1 1.3 1.1 1.4 1.3 2.03 2.06 1.5 1.34 1.7 3.01 1.3 1.2 1.8 1.6 1.25 1.3 1.4 2.3 2.5 1.4 1.8 1.5 1.7 1 1.4 1.7 1.6 1.7 1.6 1.3 1.7 1.6 1.6 1.5 1.5 1.6 1.2 1.3 1.4 1.2 1.3 1.3 1.2 1.2 1.4

25、 1.3 1.25 1.5 1.1 1.1 1.3 1.1 1.2 1.3 1.2 1.2 1 1.1 1.4 1 1.2 1 1.1 1 1.1 1.1 1.1 1 1.7 1 1.1 1.2 0.9 0.9 0.9 0.9 1.1 1.2 1 1 1.1;length5=1.8 1.9 2.2 1.9 2.5 1.6 2 1.4 1.8 1.8 2 1.9 2.2 2.2 2.3 1.9 1.9 1.8 1.9 2.2 2 1.9 2 2 1.7 2.1 1.8 2.4 3.2 1.8 2.6 2.3 2.2 3.4 2.4 1.9 2 2.1 1.7 2 2.2 2 1.8 1.8 2.

26、2 1.9 1.9 1.7 1.8 2.5 2.1 2.1 1.7 1.9 2 1.8 1.6 4.3 2.2 3.6 2.2 2.1 2.2 2 2.1 3.5 2.2 2.2 1.9 2.1 1.9 2 2.4 1.8 2.8 2 2 2.1 2.1 2 1.9 2.1 2 2.5 2.2 1.8 2.2 1.8 1.8 1.9 1.8 2 1.8 2.1 1.9 2.57 2.05 1.45 1.3 1.7 3.3 1.3 1.4 1.7 1.6 1.3 1.54 1.7 1.5 2.5 1.4 1.8 1.5 1.6 1.15 1.6 1.7 1.7 1.7 1.8 1.5 1.8 1

27、.5 1.7 1.6 1.8 1.6 1.3 1.4 1.4 1.6 1.4 1.6 1.4 1.3 1.4 1.3 1.2 1.6 1.3 1.1 1.4 1.3 1.4 1.6 1.2 1.3 1.1 1.2 1.3 1.1 1.2 1.2 1.2 1.1 1.1 1.1 1.4 1.1 1.2 1 1.2 1.1 1.2 1 1.1 1.1 1 1.1 1.1 1.1 1.2;length6=1.5 1.8 1.9 1.8 1.7 1.7 1.4 1.7 1.6 1.3 1.3 1.7 1.6 1.8 2.1 1.6 1.6 1.6 1.5 1.4 1.6 1.5 1.6 1.5 1.5

28、 1.6 1.5 1.8 2.6 1.5 1.8 1.8 1.7 2.5 2.5 1.6 1.5 1.8 1.5 1.7 1.6 1.6 1.5 1.5 1.8 1.6 1.7 1.6 1.4 2.2 1.7 1.8 1.4 1.6 1.6 1.4 1.4 2.6 1.7 2.3 1.6 1.6 1.5 1.7 1.6 2.5 1.5 2 1.4 1.7 1.6 1.5 2.1 1.7 2.2 1.6 1.6 1.6 1.5 1.5 1.6 1.7 1.5 1.8 1.6 1.6 1.7 1.6 1.7 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.5 2.48 1.6 1.26 1.1 1.5

29、4 2.2 1.3 1.15 1.8 1.45 1.35 1.2 1.4 1.4 2.2 1.4 1.6 1.5 1.4 1 1.8 1.4 2 1.6 1.7 1.6 1.6 1.8 1.5 1.6 1.6 1.35 1.3 1.4 1.2 1.4 1.45 1.7 1.4 1.5 1.4 1.4 1.5 1.6 1.3 1.2 1.5 1.1 1.4 1.4 1.3 1.2 1.3 1.5 1.3 1.1 1.3 1.3 1.4 1.3 1.2 1.2 1.3 1.1 0.9 1.2 1.4 1.3 1.4 1.2 1.15 1.1 1.2 1.3 1 1.1 1.2;length7=7.

30、8 7.8 10 9.3 12.8 9.8 10.1 9.2 9.3 9.6 10.2 10.1 10.4 6.2 10 10.3 10.2 7.8 9.7 10.8 10.5 9.7 10.8 9.7 8.3 8.5 10.3 10.5 16 9.6 10.5 12.1 12 11.8 12 9.2 9.2 7.1 10.3 8.9 6.5 6.2 11.1 10.5 7.1 6.7 7.7 7.9 9.1 7.3 12 11.1 7.2 6.4 8.2 8.9 6.1 14.2 10.5 13.9 11.2 8 8.6 9.6 9.6 15.5 5.8 6.1 11.8 6.1 8.8 5.5 8.6 8 12 8 8 9.4 8.5 4.5 6.6 9.3 6.9 9.5 8.4 5.3 9.4 8.1 8.3 7.5 8.3 8 4.8 10.2 6 10.4 10.3 6.2 5.6 5.3 9.7 3.4 4.4 5.2 4.6 7.4 4.2 6.1 4.3 6.7 4.3 7.2 4.7 3.9 5.7 6.8 5.4 4.7 4.4 4.8 4.4 4.8 7.2 6.7 7.4 6.7 6.7 4 7.1 7.6 6 4 6.7 5 5.1 7.9 6 6.8 7.8 5 3.6 4.